Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу 		 

<< Загадка черных дыр | Оглавление | Астрофизика черных дыр >>

Физика черных дыр

Плененный свет

Давайте поставим себя на место второй бабочки и рассмотрим черную дыру с точки зрения теоретической физики. Согласно простейшему определению, черная дыра - это область пространства-времени, в которой гравитационный потенциал $GM/R$ превосходит квадрат скорости света $c^2$. Преимуществом такого определения является независимость его от конкретной теории гравитации. Оно может быть использовано в рамках теории Ньютона. Из него также следует более известное определение, согласно которому черной дырой являются астрономические объекты со скоростью убегания, превышающей скорость света.

В действительности идея подобных объектов имеет более чем двухвековую историю. В журнале Philosophical Transactions of the Royal Society (1784), Джон Митчелл (John Michell) заметил, что "если бы радиус шара той же плотности, что и у Солнца, превзошел солнечный в 500 раз, (...) весь излученный таким телом свет должен был бы к нему вернуться", и, независимо, в 1796 Пьер Симон Лаплас (Pierre-Simon de Laplace) писал в работе Exposition du Syst\`eme du Monde: "Un astre lumineux de m\^eme densit\'e que la terre et dont le diam\`etre serait deux cents cinquante fois plus grand que celui du soleil, ne laisserait, en vertu de son attraction, parvenir aucun de ses rayons jusqu'\`a nous ; il est donc possible que les plus grands corps lumineux de l'univers soient, par cela m\^eme, invisibles". Поскольку в то время люди еще не могли представить себе плотностей существенно больших, чем у обычного вещества, размеры и масса таких "невидимых тел" получались огромными - порядка $10^7$ масс Солнца, что соответствует современным "сверхмассивным" черным дырам. Тем не менее, в расчетах, проведенных Митчеллом и Лапласом, узнается широко известная формула для критического радиуса тела массы $M$.

$$ R_S = {2 GM\over c^2} \approx 3 {M\over M_{\odot}} \textrm{км}, $$

где $M_{\odot}$ - масса Солнца. Любое сферическое тело массы $M$, заключенное внутри критического радиуса $R_{S}$, должно быть черной дырой.

Эти рассуждения были быстро забыты, главным образом из-за развития волновой теории света, в рамках которой вообще не было сделано ни одной оценки влияния гравитационного поля на распространение света. И только общая теория относительности, релятивистская теории тяготения, в рамках которой свет полностью подчинен гравитации, привела к появлению новых идей и гораздо более глубокому пониманию черных дыр.

Для наглядного описания черных дыр в пространстве-времени я буду использовать понятие светового конуса. Напомню, что это такое. На рисунке 1 световой импульс излучается в заданной точке пространства. Волновой фронт - это сфера, расширяющаяся со скоростью $c = 300\;000$ км/с. Он изображен на рис. a) в три разных момента времени. Представленный же на рис. b) световой цилиндр отражает полную историю волнового фронта на одной пространственно-временной диаграмме. При удалении одного пространственного измерения сферы становятся окружностями. Расширяющиеся световые окружности образуют конус с вершиной в источнике излучения. Если на этой диаграмме мы примем за единицу длины $300 000$ км, а времени - $1$ секунду, все световые лучи будут распространяться под углом $45^{\circ}$.

Световой цилиндр.
Рисунок 1. Световой цилиндр.

Световой конус позволяет нам изобразить причинную структуру любого пространства-времени. Возьмем для примера плоское пространство-время Минковского, используемое в специальной теории относительности (рисунок 2). Для любого события $E$ световые лучи образуют два конуса. Лучи, излученные в $E$, дают световой конус будущего, принятые в $E$ - прошлого. Физические частицы не могут двигаться быстрее света: их траектории должны оставаться внутри этих двух световых конусов.

Пространственно-временной континуум специальной теории относительности и
Рисунки 2 и 3. Пространственно-временной континуум специальной теории относительности и "гибкое" пространство-время общей теории относительности.

Ни один луч света или частица, прошедшие через точку $E$, не способны выйти за пределы, ограниченные световыми конусами. Инвариантность скорости света в вакууме отражает тот факт, что все конусы имеют один и тот же наклон. Это является следствием того, что пространственно-временной континуум специальной теории относительности, в котором отсутствует гравитирующее вещество, является плоским и "жестким". Как только появляется гравитация, пространство-время искривляется и в игру вступает общая теория относительности.

Так как Принцип Эквивалентности постулирует влияние гравитации на все виды энергии, световые конусы искривляются вслед за пространственно-временным континуумом (рисунок 3). Однако, специальная теория относительности остается локально справедливой: мировые линии частиц остаются связанными со световыми конусами, даже когда последние сильно наклоняются и деформируются гравитацией.

Сферически-симметричный коллапс

Теперь проанализируем причинную структуру пространства-времени вокруг звезды, коллапсирующей под действием гравитации звезды - именно этот процесс, как считается, приводит к образованию черных дыр.

Пространственно-временная диаграмма, иллюстрирующая образование черной дыры в процессе гравитационного коллапса.
Рисунок 4. Пространственно-временная диаграмма, иллюстрирующая образование черной дыры в процессе гравитационного коллапса.

Рисунок 4 отражает полную историю коллапса сферически-симметричной звезды, от начального сжатия до формирования черной дыры и сингулярности.

Оси двух пространственных измерений горизонтальны, ось времени вертикальна и направлена вверх. Центру звезды соответствует $r=0$. Кривизна пространства-времени изображена с помощью световых конусов, образуемых траекториями фотонов. Вдали от гравитирующего центра кривизна настолько мала, что световые конусы являются прямыми. В более сильном поле из-за кривизны конусы деформированы и наклонены внутрь. На критической поверхности радиуса $r=2M$ конусы повернуты на $45^{\circ}$ и одна из их образующих становится вертикальной, так что все разрешенные траектории движения частиц и электромагнитных волн направлены внутрь. Это так называемый горизонт событий, граница черной дыры (серая область на рисунке). Внутри вещество продолжает коллапсировать в сингулярность нулевого объема и бесконечной плотности на $r=0$. Как только черная дыра сформировалась и все вещество исчезло в сингулярности, геометрия пространства-времени сама по себе продолжает коллапсировать к сингулярности, как показано с помощью световых конусов.

Испускание световых лучей в точках $E_1, E_2, E_3$ и $E_4$ и их прием удаленным астрономом в $R_1, R_2, R_3, ...$ наглядно иллюстрирует разницу между собственным временем, измеряемым часами, покоящимися на поверхности звезды, и истинным временем, измеряемым удаленным независимым наблюдателем. Интервалы собственного времени между четырьмя моментами испускания света равны. Однако, соответствующие интервалы между моментами приема сигналов становятся все больше и больше. В пределе, сигналы, испущенные в $E_4$, при формировании горизонта, достигают удаленного наблюдателя за бесконечное время. Это явление "остановки времени" - иллюстрация его чрезвычайной гибкости, предсказанной общей теорией относительности Эйнштейна, согласно которой время течет по-разному для двух ускоренных друг относительно друга наблюдателей - или, согласно Принципу Эквивалентности, находящихся в точках с различными гравитационными потенциалами. Поразительным следствием является то, что любому внешнему астроному никогда не удастся увидеть формирование черной дыры.

Рисунок 5 образно иллюстрирует эффект остановки времени. Задачей космического корабля является исследование внутренности черной дыры - желательно сверхмассивной, так чтобы он не был разрушен слишком рано приливными силами. На борту корабля капитан посылает торжественное приветствие человечеству как раз в тот момент, когда корабль пересекает горизонт событий. Его жест транслируется удаленным зрителям с помощью телевидения. Лента слева показывает, что происходит на корабле по его собственному времени, измеряемому часами на корабле, падающем в черную дыру. Приветствие космонавта разложено на отдельные кадры с промежутками между ними $0.2$ секунды собственного времени. Пересечение горизонта событий (у черных дыр нет твердой поверхности) не отмечено ничем примечательным. Пленка справа - то, что видят с помощью телевидения удаленные зрители. Она также разделена на отдельные кадры с интервалом $0.2$ секунды истинного времени. Вначале жест на экране лишь немного медленнее нестоящего, и кадры слева и справа практически идентичны. И только совсем рядом с горизонтом истинное время начинает стремительно замедляться; пленка справа изображает космонавта навечно застывшим в середине приветствия, бесконечно медленно приближающимся к последнему кадру, где он пересекает горизонт. Помимо этого, смещение частот в гравитационном поле (так называемый эффект Эйнштейна) приводит к тому, что картинка слабеет и скоро становится невидимой.

Приветствие космонавта.
Рисунок 5. Приветствие космонавта.

Все эти эффекты достаточно очевидно следуют из уравнений. В общей теории относительности, пространство-время в пустоте вокруг сферически-симметричного тела описывается метрикой Шварцшильда (Schwarzschild)

$$ ds^2 = - \left(1- \frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2, $$

где $d\Omega^2 = d\theta^2 + sin^2\theta \;d\phi^2$ - метрика на единичной двумерной сфере, и мы положили постоянную тяготения $G$ и скорость света $c$ равными единице. Это решение описывает внешнее гравитационное поле вокруг произвольного сферически-симметричного не обязательно статического тела (теорема Биркгофа, Birkhoff's theorem, 1923; естественно, допустимые движения должны быть также сферически-симметричными, то есть чисто радиальными)

Когда радиус тела больше критического $2M$, существует внутреннее решение, зависящее от уравнения состояния вещества, которое не имеет сингулярности в центре и сшивается с внешним решением на поверхности. Однако, как только тело коллапсирует под сферу критического радиуса, метрика Шварцшильда становится единственным решением для гравитационного поля образовавшейся сферической черной дыры. Горизонт событий, сфера радиуса $r=2M$, является координатной сингулярностью, которой можно избежать надлежащим выбором системы координат. Истинная же сингулярность (в смысле расходимости инвариантов кривизны) находится в центре ($r=0$) и не может быть устранена преобразованием координат. Однако сингулярность сама по себе не принадлежит пространственно-временному континууму.

Два времени черной дыры.
Рисунок 6. Два времени черной дыры.

Внутри горизонта событий радиальная координата $r$ становится времениподобной, и следовательно каждая частица, пересекшая горизонт, неизбежно захватывается центральной сингулярностью. Для радиального свободного падения вдоль траектории с $r \rightarrow 0 $, собственное время (измеряемое падающими часами) дается выражением

$$ \tau = \tau_0 - \frac{4M}{3}\left(\frac{r}{2M}\right)^{3/2} $$

и не имеет особенностей на горизонте событий. Истинное время (измеряемое удаленным наблюдателем) имеет вид

$$ t = \tau - 4M\left(\frac{r}{2M}\right)^{1/2} + 2M \ln\frac{\sqrt{r/2M}+1}{\sqrt{r/2M}-1}, $$

и расходится при $r \to 2M$, см. рисунок 6.

Координаты Шварцшильда, покрывающие только $2M \le r \lt \infty , - \infty \lt t \lt + \infty $, не вполне пригодны для анализа причинной структуры пространства-времени вблизи горизонта, так как световые цилиндры, описываемые как $dr = \pm (1-\frac{2M}{r})dt$, не определены на горизонте. Потому лучше использовать так называемые координаты Эддингтона-Финкельштейна (Eddington-Finkelstein coordinates) - открытые, однако, еще Леметром (Lema\^{\i}tre) в 1933 году, но оставшиеся незамеченными. Вводя "падающую" координату

$$ v = t+r+2Mln(\frac{r}{2M}-1) $$

преобразуем метрику Шварцшильда к виду

$$ ds^2 = - (1-\frac{2M}{r})dv^2 + 2 dvdr + r^2d\Omega^2. $$

Теперь световые конусы определены везде. Направленные внутрь лучи света даются выражением

$$ dv = 0, $$

а идущие наружу -

$$ dv = \frac{2dr}{1-\frac{2M}{r}}. $$

Метрика может быть аналитически продолжена на все $r \gt 0$ и более не имеет сингулярности при $r=2M$. Действительно, на рисунке 4 эта координатная система была использована для всего пространства.

Несферический коллапс

Черные дыры могут также образовываться и при асимметричном гравитационном коллапсе. Однако деформации горизонта событий быстро диссипируют и уносятся излучением гравитационных волн; горизонт событий колеблется в соответствии с так называемыми "квазинормальными модами", и черная дыра эволюционирует к конечному осесимметричному равновесному состоянию.

Гравитационный коллапс звезды.
Рисунок 7. Гравитационный коллапс звезды.

Самым фундаментальным свойством черной дыры является то, что это асимптотическое равновесное решение зависит только от трех параметров - массы, электрического заряда и углового момента. Остальные особенности падающего вещества забываются. Доказательство следует из результатов пятнадцатилетней работы полудюжины ученых, но само это свойство изначально было высказано как предположение Джоном Уилером (John Wheeler), который использовал наглядную формулировку: "черные дыры не имеют волос".

Как следствие, есть только 4 точных решения уравнений Эйнштейна, описывающих черные дыры, имеющие или не имеющие заряд и угловой момент:

Трехпараметрическое семейство Керра-Ньюмена - наиболее общее решение, соответствующее конечному состоянию равновесия черной дыры. В координатах Бойера-Линдквиста (Boyer-Lindquist) метрика Керра-Ньюмена дается выражением

$$ ds^2 = - (1- \frac{2Mr}{\Sigma})dt^2 - 4Mra \frac{sin^2\theta}{\Sigma}dtd\phi + (r^2 + a^2 + \frac{2Mr a^2 sin^2\theta}{\Sigma})sin^2\theta d\phi^2 + \frac{\Sigma}{\Delta}dr^2 + \Sigma d\theta^2 $$

где $\Delta \equiv r^2 - 2 Mr + a^2 + Q^2$, $ \Sigma \equiv r^2 + a^2 cos^2\theta$, $a \equiv J/M$ - угловой момент на единицу массы. Горизонт событий находится на радиусе $r_+ = M + \sqrt{M^2 - Q^2 - a^2}$.

Из этой формулы видно, однако, что параметры черной дыры не могут быть произвольными. Электрический заряд и угловой момент не могут быть больше значений, соответствующих исчезновению горизонта событий. Должны выполняться следующие ограничения: $ a^2 + Q^2 \le M^2$.

Когда эти ограничения нарушаются, горизонт событий исчезает, и решение вместо черной дыры описывает "голую" сингулярность. Такие странные объекты не должны существовать в реальной вселенной, (это так называемый Принцип Космической Цензуры, строго до сих пор, к сожалению, не доказанный) К примеру, для незаряженной вращающейся черной дыры условие $J_{max} = M^2$ соответствует исчезновению тяготения на горизонте событий из-за приливных сил; соответствующая метрика называется предельным решением Керра. Аналогично, максимальный заряд равен $Q_{max} = M \approx 10^{40} e \, M/M_{\odot}$, где $e$ - заряд электрона; однако следует заметить, что в реалистичных ситуациях черные дыры не должны быть сколь либо значительно заряжены. Это является следствием предельной слабости гравитационного взаимодействия по сравнению с электромагнитным. Представьте черную дыру, образовавшуюся с положительным зарядом $Q$ порядка $M$. В реалистичной ситуации черная дыра не находится в пустоте, но окружена заряженными частицами межзвездной среды, протонами и электронами. Черная дыра будет преимущественно притягивать электроны и отталкивать протоны заряда $e$ своим электромагнитным полем, и преимущественно притягивать протоны массой $m_p$ гравитационным. Сила электромагнитного отталкивания для протона больше силы гравитационного притяжения в $eQ/m_pM \approx e/m_p \approx 10^{18}$. раз. Следовательно, черная дыра почти мгновенно теряет свой заряд, и решение Керра, получаемое при $Q=0$, может быть использовано для описания любой астрофизической черной дыры. Также оно является хорошим приближением для метрики обычной (несколлапсировавшей) звезды на больших расстояниях, хотя оно и не сшивается ни с одним известным решением для ее внутренних частей.

Метрика Керра в координатах Бойера-Линдквиста сингулярна на оси симметрии $\theta=0$ (это очевидная координатная сингулярность) и при $\Delta=0$. Можно записать $\Delta = (r-r_+)(r-r_-)$, где $r_+ = M +\sqrt{M^2 - a^2}$. На радиусе $r_+$ находится внешний горизонт событий (поверхность вращающейся черной дыры), а $r_-$ определяет внутренний горизонт. Как и в метрике Шварцшильда (где $r_+$ и $r_-$ сходятся к $2M$), сингулярности на $r=r_+$ и $r=r_-$ являются координатными, и их можно избежать надлежащим преобразованием системы координат по аналогии с координатами Эддингтона-Финкельштейна для метрики Шварцшильда. Строгое математическое исследование метрики Керра можно найти в работах Чандрасекара (Chandrasekhar, 1992) и О'Нейла (O'Neill, 1995)

Водоворот черной дыры

Можно заметить глубокое сходство вращающейся черной дыры и известного эффекта вихря - например, гигантского водоворота, порождения морских течений. Если мы посмотрим на срез светового конуса в фиксированный момент времени (горизонтальная плоскость на рисунке 8), полученное сечение будет "навигационным эллипсом", определяющим пределы возможных траекторий. Если световой конус значительно наклонится в гравитационном поле, точка излучения оказывается за пределами навигационного эллипса. Разрешенные траектории ограничены касательными к окружности, и возврат назад становится невозможен.

Навигационные окружности в водовороте черной дыры.
Рисунки 8 и 9. Навигационные окружности в водовороте черной дыры.

Этот метод проекций полезен для изображения причинной структуры пространства-времени вокруг вращающейся черной дыры (см. рисунок 9). Ее гравитационное поле напоминает космический водоворот. Пролетающий мимо космический корабль засасывается в центр как обычная лодка. Пока он находится вне так называемого предела статичности он еще может двигаться куда захочет. В области (показанной серым цветом) между пределом статичности и горизонтом событий он уже вынужден вращаться в том же направлении, что и черная дыра; его возможность свободного перемещения все более уменьшается при дальнейшем засасывании, но он еще может выбраться наружу, двигаясь по раскручивающейся спирали. Черным показана внутренность горизонта: оттуда уже нельзя спастись, даже двигаясь со скоростью света. Ситуацию прекрасно иллюстрирует повесть Эдгара По "Погружение в Мальстрем"(1840)

Предел статичности - это гиперповерхность вращения, определяемая уравнением $r = M + \sqrt{M^2 - a^2 cos^2\theta}$. Как видно из рисунка 10, она касается горизонта на полюсах $\theta = 0,\pi$ и лежит вне его для других значений $\theta$. Область между пределом статичности и горизонтом называют эргосферой. Любой находящийся там стационарный наблюдатель должен вращаться с положительной угловой скоростью. В эргосфере лежат траектории с отрицательной полной энергией. Это свойство породило идею извлечения энергии из вращающейся черной дыры. Роджер Пенроуз (Roger Penrose, 1969) предложил следующий механизм. Удаленный экспериментатор запускает снаряд в эргосферу по соответствующей траектории (рисунок 10). В эргосфере снаряд разделяется на две части, одна из которых падает в черную дыру, а вторая вылетает из эргосферы обратно к экспериментатору. Пенроуз показал, что можно выбрать такую траекторию для снаряда, что вернувшаяся половинка будет обладать большей энергией, чем исходный целый снаряд. Это возможно, если захваченная черной дырой половина снаряда падает по траектории с удельным моментом меньшим, чем у черной дыры, и, упав, уменьшает ее момент. В результате черная дыра теряет часть своей вращательной энергии, которая уносится второй половинкой снаряда.

Сечение вращающейся черной дыры.
Рисунок 10. Сечение вращающейся черной дыры.

Количество энергии, которую можно извлечь из черной дыры, было посчитано Кристодулу и Руффини (Christodolou and Ruffini, 1971). Полная масса-энергия черной дыры есть

$$ M^2 = \frac{J^2}{4M_{ir}^2} + (\frac{Q^2}{4 M_{ir}} + M_{ir})^2 $$

, где $M_{ir} \equiv \frac{1}{2}\sqrt{\left(M+\sqrt{M^2-Q^2-a^2}\right)^2+a^2}$. Первый член соответствует вращательной энергии, второй - кулоновской, а третий описывает "неприводимую" энергию черной дыры. Вращательная и кулоновская энергии могут быть извлечены, например, процессом Пенроуза, суперрадиацией (аналогом индуцированного излучения в атомной физике) или электродинамическими процессами, тогда как неприводимая часть не может быть уменьшена классическими (не квантовыми) процессами. Максимально извлекаемая энергия может достигать $29\%$ для вращательной и $50\%$ для кулоновской компонент. Это - гораздо большая эффективность, чем, скажем, для ядерного горения ($0.7\%$ для водорода).

Термодинамика черных дыр

Заметим, что неприводимая масса черной дыры связана с площадью горизонта черной дыры $A$ как $M_{ir} = \sqrt{A/16\pi}$. Соответственно, площадь горизонта событий не может уменьшаться со временем при любом классическом процессе. Это было впервые отмечено Стивеном Хокингом (Stephen Hawking), предложившим замечательную аналогию с обычной термодинамикой, в рамках которой энтропия системы никогда не уменьшается со временем. Это привело к тому, что в 70х годах прошлого века значительные теоретические усилия были направлены на изучение законов динамики черных дыр - например, законов, описывающих изменения массы, площади поверхности и других характеристик при взаимодействии черной дыры с остальной вселенной - а также развитие и углубление аналогий с классической термодинамикой. Эволюция черных дыр управляется четырьмя законами, соответствующими четырем началам классической термодинамики:

В термодинамике: все части системы при термодинамическом равновесии имеют одинаковую температуру $T$.

В механике черных дыр: все участки горизонта событий равновесной черной дыры имеют одинаковую поверхностную гравитацию $g$. Поверхностная гравитация определяется формулой Смарра (Smarr) $M = gA/4\pi + 2 \Omega_HJ + \Phi_H Q$, где $\Omega_H$ - угловая скорость на горизонте и $\Phi_H$ - электрический потенциал в синхронно с горизонтом вращающейся системе отсчета. Это достаточно интересное свойство по сравнению с обычными небесными телами, для которых поверхностная гравитация зависит от широты. Но, так как черная дыра немного сплющивается под действием центробежных сил, для нее эта величина постоянна во всех точках поверхности.

В термодинамике: бесконечно малая вариация внутренней энергии системы с температурой $T$ и давлением $P$ связана с вариациями энтропии $dS$ и давления $dP$ как $dU = T dS - PdV$.

В динамике черных дыр: бесконечно малая вариация массы $M$, заряда $Q$ и углового момента $J$ при возмущении стационарной черной дыры связаны как $dM = \frac{g}{8\pi}dA + \Omega_H dJ +\Phi_H dQ$.

В термодинамике, энтропия системы не может уменьшаться: $dS \ge 0$.

В динамике черных дыр, площадь поверхности черной дыры не может уменьшаться: $dA \ge 0$.

Это начало говорит, например, что площадь поверхности черной дыры, получающейся при слиянии двух меньших, больше суммы их площадей (см; рисунок 11). Отсюда также следует, что черная дыра не может фрагментировать, то есть ее нельзя разделить на 2 части.

В термодинамике, оно отражает недостижимость абсолютного нуля температуры, точнее - невозможность снизить температуру системы до нуля в конечном числе процессов.

В механике черных дыр, невозможно снизить поверхностную гравитацию до нуля конечным числом операций. Для керровских черных дыр мы видели, равенство нулю поверхностной гравитации соотсвтствует "предельному" решению $J=M^2$.

Необратимый рост черных дыр.
Рисунок 11. Необратимый рост черных дыр.

Видно, что площадь поверхности черной дыры играет формально роль энтропии, в то время как поверхностная гравитация - роль температуры. Однако, как впервые заметил Бекенштейн (Bekenstein), если бы у черной дыры была температура, как у обычной термодинамической системы, она должна была бы терять энергию на излучение, в противоречии со сформулированными выше основными свойствами. Эта загадка была решена Стивеном Хокингом, когда он открыл испарение черных дыр в результате квантовых процессов.

Квантовая черная дыра

Попробуем на пальцах разобраться, что такое хокинговское излучение (см. рисунок 12). Пусть гравитация черной дыры описывается (классической) общей теорией относительности, тогда как окружающий вакуум - квантовой теорией поля. Квантовое испарение аналогично процессу рождения пар в сильном магнитном поле за счет поляризации вакуума. В море Ферми пар частиц-античастиц, постоянно рождающихся и аннигилирующих, возможны четыре процесса, схематически изображенных на рисунке 12.

Квантовое испарение черной дыры за счет поляризации вакуума.
Рисунок 12. Квантовое испарение черной дыры за счет поляризации вакуума.

Некоторые пары частиц, родившись из квантовых флюктуаций, просто аннигилируют вне горизонта (процесс I). Другие, возникшие слишком близко к нему, безвозвратно исчезают в черной дыре (процесс IV). Другие же разделяются - одна из частиц захватывается черной дырой, в то время как другая улетает прочь (процессы II и III). Расчеты показывают, что преимущественно реализуется процесс II, так как (классический) гравитационный потенциал поляризует квантовый вакуум. Как следствие, черная дыра излучает частицы с тепловым спектром, причем характеристическая температура точно описывается формулой, следующей из термодинамической аналогии:

$$ T = \hbar \,\frac{g}{2\pi} = 10^{-7} \frac{M_{\odot}}{M} \textrm{K}, $$

где $\hbar$ - постоянная Планка. Легко видеть, что температура пренебрежимо мала для любой астрофизической черной дыры с массой порядка солнечной. Однако для "миниатюрных" черных дыр с массами $10^{15}$ грамм (типичная величина для астероида) хокинговская температура становится порядка $10^{12} K$. Время "испарения" черной дыры за счет излучения примерно определяется выражением

$$ t_E \approx 10^{10} years \, \left(\frac{M}{10^{15} grams}\right)^3 $$

Соответственно, черные дыры с массой, меньшей типичной массы астероида (и размером меньше $10^{-13}$ см) испаряются на временах, меньших время жизни вселенной. Некоторые из них должны испаряться прямо сейчас, давая огромные всплески жесткого излучения. Но ничего подобного до сих пор не наблюдалось (гамма-всплески объясняются совершенно по-другому). Такое наблюдательное ограничение дает верхний предел на плотность мини-черных дыр $100 /(\textrm{св. год})^3$.

Энтропия черной дыры определяется как

$$ S = \frac{k_B}{\hbar} \frac{A}{4} $$

(где $k_B$ - постоянная Больцмана), что в числах дает $S \approx 10^{77} k_B(\frac{M}{M_{\odot}})^2$ для шварцшильдовской черной дыры. Так как энтропия несколлапсировавшей звезды типа Солнца по порядку величины равна $10^{58} k_B$, можно отметить глубокий смысл "теоремы об отсутствии волос" у черной дыры - черная дыра является огромным резервуаром энтропии. Из-за хокинговского излучения уменьшается неприводимая масса, или, что то же самое, площадь горизонта черной дыры, что нарушает Второе Начало термодинамики черных дыр. Оно должно быть обобщено - в него надо добавить учет энтропии во внешнем пространстве-времени. Тогда полной энтропией излучающей черной дыры будет $S = S_{BH} + S_{ext}$, где, так как хокинговское излучение является тепловым, $S_{ext}$ растет, и в конечном счете $S$ всегда будет неубывающей функцией.

В заключение вопроса отметим, что даже если мини-черные дыры очень редки, или даже совсем отсутствуют во вселенной (например, если Большой Взрыв не дал подобных флюктуаций пространства-времени) - они все равно являются огромным шагом вперед в нашем понимании связи гравитации и квантовой теории.

Отображения пространства-времени

Различные математические методики позволяют геометру надлежащим образом изобразить сложную структуру пространства-времени, образуемую черными дырами.

Диаграмма погружения -- Пространство-время, индуцируемое сферической массой $M$, описывается метрикой Шварцшильда:

$$ ds^2 = - \left(1- \frac{2M(r)}{r}\right)dt^2 + \left(1-\frac{2M(r)}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2 $$

где $M(r)$ - масса, заключенная внутри радиуса $r$. Так как геометрия статична и сферически-симметрична, мы не потеряем существенной информации, если будем рассматривать только экваториальный срез $\theta = \pi/2$ в фиксированный момент времени $t=constant$. Мы тогда получаем искривленную 2--геометрию с метрикой $(1-\frac{2M(r)}{r})^{-1}dr^2 + r^2 d\phi^2$. Эта поверхность может быть наглядно представлена погружением ее в евклидово 3--пространство $ds^{2} = dz^{2} + dr^{2} + d\phi^{2}$. Для несколлапсировавшей звезды радиуса $R$ внешнее решение $z(r) = \sqrt{8M(r-2M)}$ при $r\geq R \ge 2M$ является асимптотически плоским и сшивается с несингулярным внутренним решением $z(r) = \sqrt{8M(r)(r-2M(r))}$ при $0 \le r\le R$ (рисунок 13). Для черной дыры такое погружение определено только для $r \geq 2M$. Соответствующая поверхность - параболоид Фламма (Flamm) $z(r) = \sqrt{8M(r-2M)}$. Такая асимптотически плоская поверхность состоит из двух параллельных плоскостей, соединенных "горловиной Шварцшильда" радиуса $2M$. Две плоскости можно рассматривать или как две различных асимптотически плоских "параллельных" вселенных (какой бы физический смысл за этим ни стоял), в которых черная дыра верхней соединена с обращенной во времени "белой дырой" нижней вселенной (рисунок 14), или как одно асимптотически плоское пространство-время, содержащее пару черной и белой дыр, соединенных так называемой "червячной норой" (рисунок 15). Такая свобода интерпретации следует из топологической неопределенности общей теории относительности, которая позволяет нам отождествить между собой некоторые удаленные точки пространства-времени, не меняя локальной метрики.

Погружение несколлапсировавшей сферической звезды (13) и метрики Шварцшильда.
Рисунки 13 и 14. Погружение несколлапсировавшей сферической звезды (13) и метрики Шварцшильда.
Кротовая нора в пространстве-времени.
Рисунок 15. Кротовая нора в пространстве-времени.

Однако, методика погружения не дает возможности исследовать области пространства-времени внутри горизонта событий.

Диаграмма Крускала (Kruskal) -- Используем для анализа внутренней структуры пространства-времени максимальное аналитическое продолжение метрики Шварцшильда. Это достигается преобразованием координат, открытым Крускалом:

$$ u^{2} - v^{2} = (\frac{r}{2M}-1)e^{r/2M} $$ \begin{eqnarray} \frac{v}{u} = \left\{\begin{array}{c}\coth {t\over4M}\\1\\\tanh {t\over4M}\end{array}\right\} \quad\textrm{for}\quad r\left\{\begin{array}{c}<2M\\=2M\\>2M\end{array}\right\}\nonumber. \end{eqnarray}

Метрика тогда переходит в

$$ ds^{2} = \frac{32M^3}{r} e^{-r/2M}(-dv^{2} + du^{2})+ r^{2}d\Omega^{2} $$

В плоскости $(v,u)$ пространство-время Крускала разделяется на две внешних асимптотически плоских области и два региона внутри горизонта событий, ограниченных сингулярностями прошлого и будущего. Только незакрашенная область покрывается координатами Шварцшильда. Черная область лежит вне пространства-времени. На диаграмме Крускала (рисунок 16) свет всегда движется под углом $45^{\circ}$, линии постоянного радиуса - гиперболы, линии постоянного времени походят через начало координат. Внутри горизонта событий будущего лежит черная дыра, горизонта событий прошлого - белая. Однако ясно, что через кротовую нору нельзя пройти по времениподобной траектории: ни одна траектория не может вести из одной вселенной в другую, не проходя через сингулярность при $r=0$.

Изучение сферической черной дыры с помощью диаграммы Крускала.
Рисунок 16. Изучение сферической черной дыры с помощью диаграммы Крускала.
Урезанная диаграмма Крускала, описывающая коллапс звезды в черную дыру.
Рисунок 17. Урезанная диаграмма Крускала, описывающая коллапс звезды в черную дыру.

Более того, продолжение Крускала - не более чем математическая идеализация черной дыры по той причине, что она неявно предполагает то, что черная дыра существует вечно. Однако для реальной вселенной черная дыра не прописана жестко в начальных условиях, она может образоваться только в результате гравитационного коллапса. В этом случае мы имеем "урезанную" диаграмму Крускала( рисунок 17), содержащую только горизонт событий и сингулярность будущего, находящиеся в асимптотически плоском пространстве-времени. А это не дает ни единого шанса для путешествий в пространстве-времени...

Диаграммы Пенроуза-Картера (Penrose, Carter) -- Диаграммы Пенроуза-Картера используют конформное преобразование координат $g_{\alpha \beta} \to \Omega^{2}g_{\alpha \beta}$, отображающее пространственно- и времениподобные бесконечности на конечные расстояния, что дает возможность отобразить пространство-время внутри квадрата. Диаграмма Пенроуза-Картера для шварцшильдовской черной дыры не дает новой информации по сравнению с крускаловской, но, наверно, является лучшим инструментом для изучения сложной пространственно-временной структуры вращающейся черной дыры. Рисунок 18 изображает многослойную структуру решения Керра; он показывает, что некоторые времениподобные траектории ($B,C$) могут пересекать внешний $EH$ и внутренний $IH$ горизонты событий и переходить из одной асимптотически плоской внешней вселенной в другую, не проходя при этом сквозь сингулярности. Это является следствием того, что сингулярность $S$ времени-, а не пространственноподобна. Кроме того, по форме сингулярность представляет собой кольцо в экваториальной плоскости, так что некоторые траектории ($A$) могут проходить через это кольцо и попадать в асимптотически плоское пространство-время внутри черной дыры, где гравитация является силой отталкивания. Однако, анализ возмущений такой идеализированной Керровской дыры показывает, что она неустойчива, и потому не физически маловероятна.

Диаграмма Пенроуза для вращающейся черной дыры
Рисунок 18. Диаграмма Пенроуза для вращающейся черной дыры.
<< Загадка черных дыр | Оглавление | Астрофизика черных дыр >>

Публикации с ключевыми словами: черные дыры - ядра активных галактик - Общая теория относительности - рентгеновские двойные - Сверхмассивные черные дыры
Публикации со словами: черные дыры - ядра активных галактик - Общая теория относительности - рентгеновские двойные - Сверхмассивные черные дыры
См. также:
Все публикации на ту же тему >>

Мнения читателей [17]
Оценка: 3.6 [голосов: 136]
 
О рейтинге
Версия для печати Распечатать

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце

Астронет | Научная сеть | ГАИШ МГУ | Поиск по МГУ | О проекте | Авторам

Комментарии, вопросы? Пишите: info@astronet.ru или сюда

Rambler's Top100 Яндекс цитирования