A. A. Butkarev
|
|
Prostranstvo bez beskonechnosti
|
22.12.2009 11:32 |
|
|
Prostranstvo bez beskonechnosti.
A, deistvitel'no, esli Vselennaya ne beskonechna
Mozhet takoe byt'?
Okazyvaetsya, mozhet.
I dazhe ne v tom ponimanii, chto ona zanimaet chast' prostranstva. Vselennaya mozhet zanimat' i vse
prostranstvo, no eto prostranstvo ne imeet mest v matematike oboznachaemyh znakom ∞ (beskonechnost').
Chtoby ponyat' eto, nam predstoit sdelat' vsego tri shaga.
Snachala izobrazim takoe prostranstvo v obshih konturah, a zatem nachnem prorisovyvat' vse detali.
Itak, shag pervyi.
Odnomernoe prostranstvo.
V obydennom ponimanii ono predstavlyaetsya nam chem-to tipa chislovoi pryamoi.
Na pryamoi otmetim nachalo otscheta tochku O i ot nee v odnu storonu so znakom plyus (+), v druguyu so
znakom minus (-), cherez ravnye intervaly, nazyvaemye edinicei izmereniya, sdelaem razmetku +1, +2, +3, ,+
∞ i, sootvetstvenno, -1, -2, -3, , - ∞. To est' i s odnoi, i s drugoi storony stoyat znaki ∞ eto
odnomernoe beskonechnoe prostranstvo.
Zdes' zadaem nash vopros: Mozhet li sushestvovat' odnomernoe prostranstvo, ne soderzhashee ∞?
Okazyvaetsya, mozhet.
V pervonachal'noi zarisovke budem privodit' lish' te primery, kotorye nam budut neobhodimy i
dostatochny dlya ponimaniya suti i dal'neishego logicheskogo opisaniya sleduyushih shagov. Pri etom postaraemsya
izbegat' vvoda kakih-libo novyh opredelenii.
Nachertim okruzhnost'.
Eto tozhe odnomernoe prostranstvo.
No kak ne razmechaite takoe prostranstvo, esli za edinicu izmereniya voz'mem opredelennuyu konechnuyu
velichinu, to znak ∞ nigde v takom prostranstve postavit' ne udastsya.
Dannaya okruzhnost' lokal'nyi primer odnomernogo prostranstva, ne soderzhashego znaka ∞.
Shag vtoroi.
Dvuhmernoe prostranstvo.
Na ploskosti provedem dve vzaimno perpendikulyarnye pryamye. Razmetim ih tochno takzhe, kak i pryamuyu
na pervom shage, za tochku otscheta kazhdoi vzyav tochku peresecheniya. Takim obrazom opredelim dvuhmernoe
beskonechnoe prostranstvo.
Zdes' opyat' zadaem nash vopros: Mozhet li sushestvovat' dvuhmernoe prostranstvo, ne soderzhashee ∞?
Okazyvaetsya, tozhe mozhet.
Voz'mite v ruki globus.
Kak ne razmechaite ego poverhnost', znak ∞ postavit' nigde ne udastsya.
Dannaya sfera lokal'nyi primer dvuhmernogo prostranstva, ne soderzhashego ∞.
Perehodim k tret'emu shagu.
Cherez tochku peresecheniya dvuh vzaimno perpendikulyarnyh pryamyh provodim tret'yu pryamuyu,
perpendikulyarnuyu dvum pervym. Razmetim ee tochno takzhe, kak i na pervyh dvuh shagah. Poluchim trehmernoe
beskonechnoe prostranstvo, tochnee sposob ego otobrazheniya dekartovu sistemu koordinat.
Zadaem pervonachal'nyi vopros: Mozhet li sushestvovat' prostranstvo, ne soderzhashee znaka ∞?
Okazyvaetsya, mozhet.
Lokal'nogo primera, podobnogo primeram na pervyh dvuh shagah, zdes' privesti ne udastsya.
Eti lokal'nye primery byli privedeny lish' dlya togo, chtoby poluchit' sposob otobrazheniya takogo
prostranstva v dekartovoi sisteme koordinat, kotoryi pozvolit opredelit' sposob scheta ideal'no-
opredelennogo prostranstva prostranstva, ne soderzhashego znaka ∞, v global'nom ponimanii.
Pereidem k sposobu otobrazheniya ideal'no-opredelennogo prostranstva v dekartovoi sisteme koordinat.
Vernemsya k odnomernomu prostranstvu.
Kak mozhno otobrazit' okruzhnost' na pryamoi?
Na okruzhnosti otmetim lyubuyu tochku i primem ee za nachalo otscheta, oboznachiv tochno takzhe, kak i na
pryamoi O (s nulevym znacheniem). Ot tochki O otmeryaem polovinu okruzhnosti v lyubuyu storonu i etu otmetku
oboznachaem tochkoi M (to est' OM polovina okruzhnosti v lyubuyu storonu). Ot tochki O v odnu storonu so
znakom (+), v druguyu so znakom minus (-), tochno s takimi zhe odinakovymi intervalami po dline kak i na
pryamoi delaem razmetku. Pri etom tochka M poluchaet dva znacheniya +m i m.
Takaya razmetka opredelyaet i sposob scheta odnomernogo ideal'no-opredelennogo prostranstva (ne
soderzhashego ∞).
Chtoby otobrazit' okruzhnost' na pryamoi, razorvem okruzhnost' v tochke M i, sovmestiv tochki O
okruzhnosti i pryamoi, razvernem poluokruzhnosti OM na pryamuyu. Poluchim otrezok pryamoi [-m,+m], kotoryi i
otobrazit okruzhnost' na pryamoi i opredelit sposob scheta odnomernogo ideal'no-opredelennogo prostranstva na
pryamoi.
To est' pri dvizhenii po okruzhnosti ot tochki O v plyusovuyu storonu my dostignem tochki M so znacheniem +m,
kotoraya na pryamoi budet imet' odnovremenno znachenie m, i pri dal'neishem dvizhenii uidem v otricatel'nuyu
oblast' otrezka [-m,+m], a pri dal'neishem dvizhenii vernemsya v tochku O na pryamoi.
Otobrazhenie okruzhnosti na pryamoi nosit dostatochno prostoi harakter bez iskazhenii. Edinstvennym
uslozhneniem yavlyaetsya razdvoenie znacheniya tochki M, chto, sobstvenno, osobenno i ne meshaet zhit'.
Interesnei poluchaetsya pri otobrazhenii sfery na ploskost'.
Davaite vspomnim uroki geografii.
Est' globus, sfericheskaya poverhnost' kotorogo otobrazhaet zemnuyu poverhnost' bez osobyh iskazhenii.
Est' tak nazyvaemye karty mira otobrazhenie sfericheskoi poverhnosti na ploskosti. Mne
vspominayutsya po urokam geografii dva osnovnyh sposoba otobrazheniya: pervyi sposob dva polushariya v vide
dvuh krugov, vtoroi sposob chto-to vrode ellipsa, na kotorom zababahana srazu vsya sfericheskaya
poverhnost'.
V CUPe na pryamougol'nom ekrane izobrazhena vsya poverhnost' Zemli primerno po vtoromu sposobu, pri
etom okruzhnost' (orbita sputnika) otobrazhaetsya v vide kakoi-to zigzagi.
Ponyatno, otobrazit' sferu na ploskosti bez kakih-libo iskazhenii ne udaetsya.
My vybiraem takoi sposob otobrazheniya sfery na ploskost', kotoryi daet nam klyuch k sposobu scheta
ideal'no-opredelennogo prostranstva.
Dlya naglyadnosti za nachalo koordinat vyberem Severnyi polyus.
Po nulevomu meridianu nachnem dvizhenie ot Severnogo polyusa k Yuzhnomu.
Otobrazim eto dvizhenie na ploskosti.
Poluchim otrezok pryamoi, soedinyayushii Severnyi polyus s Yuzhnym.
Vernemsya na Severnyi polyus.
Na etot raz nachnem dvizhenie v protivopolozhnuyu storonu po meridianu (uzhe 180-mu) k
Yuzhnomu polyusu.
Poluchim otobrazhenie etogo meridiana na ploskosti v vide otrezka, soedinyayushego Severnyi polyus s
Yuzhnym v protivopolozhnuyu storonu. Yuzhnyi polyus pri etom razdvoitsya. Po suti, my otobrazili okruzhnost' na
pryamuyu.
Dalee tem, u kogo ne hvataet voobrazheniya, rekomenduetsya vzyat' v ruki karandash i listok bumagi.
Esli my tochno takim zhe obrazom proidem po vsem vozmozhnym meridianam, to Yuzhnyi polyus otobrazitsya u
nas na ploskosti v vide okruzhnosti s centrom Severnym polyusom i radiusom ravnym dline meridiana.
Tochka Yuzhnyi polyus na sfere otobrazitsya v vide okruzhnosti na ploskosti.
Severnyi polyus vzyat za nachalo koordinat lish' dlya naglyadnosti.
Ponyatno, chto za nachalo koordinat na sfere mozhet byt' vzyata lyubaya tochka.
Prodol'nyh iskazhenii (vdol' meridianov) pri takom otobrazhenii byt' ne mozhet (kak pri otobrazhenii
okruzhnosti na pryamuyu), a vot shiroty budut vyglyadet' kak koncentricheskie okruzhnosti, dliny kotoryh
uvelichivayutsya po mere udaleniya ot Severnogo polyusa.
Pri etom Yuzhnyi polyus, kak upominalos', budet otobrazhen v vide okruzhnosti.
Ishodya iz takoi kartinki, pri neobhodimosti mozhno vychislit' koefficient poperechnyh iskazhenii, a
luchshe koefficient popravki dlya lyuboi iz shirot.
Takim obrazom, esli okruzhnost' na pryamoi otobrazhaetsya v vide otrezka bez kakih-libo lineinyh
iskazhenii, to sfera na ploskosti otobrazitsya v vide kruga s sootvetstvuyushimi poperechnymi iskazheniyami.
Imeya koordinaty na kruge otobrazheniya, my budem imet' koordinaty i na sfere i takim obrazom
poluchaem tochnyi sposob scheta takogo prostranstva.
Okruzhnost' i sfera lokal'nye primery odnomernogo i dvuhmernogo ideal'no-opredelennogo
prostranstva.
Teper' my podgotovleny k tret'emu reshayushemu shagu opredeleniyu trehmernogo ideal'no-opredelennogo
prostranstva v global'nom ponimanii (prostranstva, ne soderzhashego znaka ∞).
Chtoby ne bylo nikakih brozhenii v mozgah, nado chetko uyasnit', chto vse opredeleniya, v tom chisle
pryamoi, okruzhnosti, sfery, dany nam v dekartovoi sisteme koordinat. I, hotya otobrazhenie ideal'no-
opredelennogo prostranstva v dekartovoi sisteme koordinat imeet iskazheniya, imenno dekartova sistema
koordinat daet nam vozmozhnost' tochnogo scheta ideal'no-opredelennogo prostranstva (ne soderzhashego ∞).
Za tochku otscheta ideal'no-opredelennogo prostranstva mozhno prinyat' lyubuyu tochku etogo prostranstva.
Privyazhem k etoi tochke tochku nachala otscheta dekartovoi sistemy koordinat i nachnem poluchat' otobrazhenie
ideal'no-opredelennogo prostranstva v dekartovoi sisteme koordinat. Vyberem lyubuyu pryamuyu v dekartovoi
sisteme koordinat, prohodyashuyu cherez nachalo otscheta. Odnomernoe ideal'no-opredelennoe prostranstvo v etom
napravlenii otobrazitsya na etoi pryamoi v vide otrezka, seredina kotorogo sovpadaet s tochkoi otscheta,
podobno tomu, kak v lokal'nom primere otobrazhaetsya okruzhnost' na pryamoi. Drugimi slovami, esli nashe
prostranstvo ne soderzhit ∞, to, proidya po etoi pryamoi iz nachala sistemy koordinat v odnu i druguyu storonu
na vpolne opredelennoe odinakovoe rasstoyanie, nazyvaemoe dlinoi meridiana Vselennoi, my okazhemsya v odnoi i
toi zhe tochke, nazyvaemoi protivopolozhnym polyusom otnositel'no tochki nachala otscheta. Odna i ta zhe tochka
(polyus) otobrazit'sya na etoi pryamoi v vide dvuh tochek podobno tomu, kak pri otobrazhenii okruzhnosti na
otrezke pryamoi. Dvizhenie po etoi pryamoi v odnomernom ideal'no-opredelennom prostranstve otobrazit'sya na
etoi pryamoi v vide dvizheniya po otrezku otobrazheniya odnomernogo ideal'no-opredelennogo prostranstva na
pryamoi v dekartovoi sisteme koordinat. Eto dvizhenie budet proschityvat'sya tochno takzhe kak i v pervom
lokal'nom primere.
Esli my vyberem opyat' zhe lyubuyu druguyu pryamuyu, prohodyashuyu cherez nachalo koordinat, to poluchim eshe
dve tochki v prostranstve, nahodyashiesya uzhe na etoi pryamoi na tom zhe samom rasstoyanii ot nachala otscheta,
nazyvaemom dlinoi meridiana Vselennoi 1 mer (odin meridian).
Prodelav etu proceduru po vsem vozmozhnym napravleniyam, my poluchim sovokupnost' tochek, obrazuyushih
sferu s radiusom 1 mer.
Na samom dele eta sfera v dekartovoi sisteme koordinat otobrazhaet odnu edinstvennuyu tochku v
ideal'no-opredelennom prostranstve, nazyvaemuyu polyusom otnositel'no nachala otscheta. Cherez etu tochku
peresekayutsya vse linii, prohodyashie cherez nachalo koordinat i otobrazhaemye diametrami obrazovannogo shara v
dekartovoi sisteme koordinat, podobno tomu, kak peresekayutsya vse diametry kruga otobrazheniya dvuhmernogo
ideal'no-opredelennogo prostranstva pri otobrazhenii sfery na ploskost' vo vtorom lokal'nom primere. Sam
poluchivshiisya shar nazyvaetsya sharom otobrazheniya ideal'no-opredelennogo prostranstva v dekartovoi sisteme
koordinat.
Vsyakii diametr etogo shara yavlyaetsya otrezkom otobrazheniya odnomernogo ideal'no-opredelennogo
prostranstva i proschityvaetsya tochno takzhe kak v pervom lokal'nom primere pri otobrazhenii okruzhnosti na
otrezok pryamoi i nazyvaetsya ideal'noi liniei, prohodyashei cherez nachalo otscheta. Ideal'nye linii budem
nazyvat' prosto ideal'nymi, podobno pryamym v dekartovoi sisteme koordinat.
Vsyakii krug etogo shara, peresekayushii ego centr, yavlyaetsya krugom otobrazheniya dvuhmernogo ideal'no-
opredelennogo prostranstva i proschityvaetsya tochno takzhe kak vo vtorom lokal'nom primere pri otobrazhenii
sfery na ploskost' i nazyvaetsya ideal'noi poverhnost'yu, prohodyashei cherez nachalo otscheta.
Krug otobrazheniya opredelyaet i sposob scheta ideal'no-opredelennogo prostranstva v celom.
Naprimer, nado rasschitat' rasstoyanie mezhdu dvumya tochkami, zadannymi v share otobrazheniya
opredelennymi koordinatami. Dlya etogo my opredelyaem ugol mezhdu radius-vektorami, zadayushimi eti tochki.
Posle etogo perehodim v krug otobrazheniya, peresekayushii oba etih radius-vektora. Opredelyaem koordinaty
tochek v etom kruge otobrazheniya. Po etim koordinatam opredelyaem rasstoyanie mezhdu etimi tochkami po sfere,
opredelyaemoi etim krugom otobrazheniya, kak vo vtorom lokal'nom primere.
Hotya konechnaya formula, opredelyayushaya eto rasstoyanie, imeet gromozdkuyu formu, ona proschityvaetsya na lyubom
domashnem komp'yutere zaprosto. Pri etom eto vychislenie imeet absolyutnuyu matematicheskuyu tochnost', to est'
takoe prostranstvo proschityvaetsya absolyutno. Prichem dlya vseh etih raschetov dostatochno znanii obychnoi
shkol'noi matematiki.
Zdes' stoit sdelat' ostanovku kak govorili drevnie: Umnomu dostatochno.
Ostalos' vychislit' dlinu meridiana Vselennoi i zolotoi klyuchik u nas v karmane.
Kstati, shkol'niki mogut poreshat' zadachki tipa kak budet vyglyadet' zvezdnoe nebo noch'yu budet li
polnaya zasvetka, kak budet vyglyadet' traektoriya dvizheniya zvezdy, esli ona dvizhetsya po ideal'noi, to est'
bez vozdeistviya na nee kakih-libo sil, kak budet raspredelyat'sya massa Vselennoi. Mozhno prikinut', pri
kakih rasstoyaniyah otnositel'no 1 mer budut zametny poperechnye iskazheniya.
1 mer dlina meridiana Vselennoi
2 mera sootvetstvenno, dlina lyuboi ideal'noi
Mozhno ispol'zovat' desyatichnye dol'nye edinicy izmereniya rasstoyanii:
1 mmer (millimer), 1 mkmer (mikromer), 1 nmer (nanomer) i t.d.
Ochevidno, chto vmesto planimetrii zdes' pridetsya ispol'zovat' sferometriyu.
Chtoby razgovarivat' vsem na odnom yazyke, davaite ispol'zovat' zdes' sleduyushuyu terminologiyu:
odep odnomernoe ideal'no-opredelennoe prostranstvo (russkoe proiznoshenie abbreviatury: odiop -
odiop - odep), ona zhe ideal'naya
otep otrezok otobrazheniya odepa
dep dvuhmernoe ideal'no-opredelennoe prostranstvo, ona zhe ideal'naya poverhnost'
kodep krug otobrazheniya depa yavlyaetsya klyuchom scheta epa
ep ideal'no-opredelennoe prostranstvo
sharoep shar otobrazheniya epa
odep dep ep
otep kodep sharoep
Dalee mozhno porassuzhdat' nad nekotorymi utverzhdeniyami.
Naprimer: vse ideal'nye (oni zhe odepy), prinadlezhashie odnomu i tomu zhe depu, peresekayutsya drug s
drugom v dvuh tochkah (nazovem ih polyusami), kotorye delyat eti ideal'nye popolam.
Stoit li dokazyvat' eto utverzhdenie?
Posmotrite na globus, i vam vse stanet yasno.
Kstati, zdes' stoit otvetit' na kontrol'nyi vopros: Kakie linii na globuse yavlyayutsya ideal'nymi
dlya dannogo lokal'nogo primera depa?
Nu, esli s peresecheniyami ideal'nyh v depe vse ponyatno, to s peresecheniyami ideal'nyh v epe vse ne
tak ochevidno. Zdes' stoit nemnogo porassuzhdat'.
Takzhe mozhet pokazat'sya neochevidnym i nashe utverzhdenie, chto vse ideal'nye v epe, prohodyashie cherez
nachalo koordinat, peresekayutsya v odnoi i toi zhe tochke (polyuse otnositel'no nachala koordinat), otobrazhaemoi
v sharoepe v vide sfery.
Privedem zdes' sleduyushie rassuzhdeniya.
Voz'mem dve lyubye ideal'nye, peresekayushiesya v nachale koordinat. Peresechem eti ideal'nye kodepom
(na samom dele eti dve peresekayushiesya ideal'nye celikom opredelyayut etot kodep v epe podobno tomu, kak dve
peresekayushiesya pryamye opredelyayut ploskost' v prostranstve v dekartovoi sisteme koordinat). Tochka nachala
koordinat epa yavlyaetsya tochkoi nachala koordinat i kodepa. Znachit v kodepe oni peresekut'sya v odnoi i toizhe
tochke, otobrazhaemoi v kodepe v vide okruzhnosti (radius okruzhnosti raven 1 mer).
Voz'mem lyubuyu tret'yu ideal'nuyu, prohodyashuyu cherez nachalo koordinat. Posledovatel'no peresekaya etu
ideal'nuyu kodepami, prohodyashimi cherez pervye dve ideal'nye, prihodim k vyvodu, chto vse eti tri ideal'nye
peresekayutsya v odnoi i toi zhe tochke.
Tak posledovatel'no peresekaya kodepami etu ideal'nuyu so vsemi drugimi ideal'nymi epa, prohodyashimi
cherez nachalo koordinat, prihodim k vyvodu, chto vse ideal'nye, prohodyashie cherez nachalo koordinat,
peresekayutsya v odnoi i toi zhe tochke, otobrazhaemoi v sharoepe v vide sfery, yavlyayusheisya polyusom v epe
otnositel'no nachala koordinat.
Sobstvenno, eti rassuzhdeniya i opredelyayut ep.
Teper' vernemsya k globusu. Globus v ideale eto shar. Na samom dele zemnaya poverhnost' imeet kakoi-
to rel'ef, da i, voobshe, Zemlya eto ne shar, a chto-to tipa sferoida.
Tak vot, ep eto ponyatie global'noe.
Pochemu eto prostranstvo ideal'noe potomu, chto v nem kazhdaya ideal'naya (odep) proschityvaetsya kak
ideal'naya okruzhnost', kazhdyi dep proschityvaetsya kak ideal'naya sfera.
To est' nikakih rel'efov, tem bolee nikakih samoperesechenii v epe net.
Krome togo v epe otsutstvuet neopredelennost' ∞, ono proschityvaetsya absolyutno. Poetomu eto
prostranstvo ideal'no-opredelennoe. Koroche, eto ep.
V pervom i vtorom lokal'nom primere my ispol'zovali dlya predstavleniya odnomernogo i dvuhmernogo
ideal'no-opredelennogo prostranstva sleduyushee izmerenie: na pervom shage odnomernaya liniya okruzhnost'
predstavlena v dvuhmernom prostranstve na ploskosti; na vtorom shage dvuhmernaya poverhnost' sfera v
trehmernoi dekartovoi sisteme koordinat. Tret'ego lokal'nogo primera my, voobshe, privesti ne smogli iz-za
togo, chto chetvertogo izmereniya my predstavit' sebe ne mozhem.
Zdes' u mnogih mozhet poyavit'sya soblazn pogovorit' o sushestvovanii chetvertogo izmereniya. Poetomu
davaite zdes' vse-taki starat'sya rasstavlyat' vse tochki nad e.
Opredelenie ponyatiya razmernosti prostranstva lezhit v lokal'noi oblasti. Chto znachit trehmernoe
prostranstvo. Eto znachit, chto cherez lyubuyu tochku etogo prostranstva my mozhem provesti tol'ko tri vzaimno
perpendikulyarnyh otrezka pryamyh. Chetvertogo otrezka pryamoi vzaimno perpendikulyarnogo pervym trem cherez etu
tochku my provesti nikak ne smozhem. Poetomu nashe prostranstvo trehmernoe, i o chetvertom izmerenii nashego
prostranstva govorit' bessmyslenno.
Sobstvenno, eta e-teoriya prostranstva ne daet nam nichego v chisto prakticheskom plane, krome chuvstva
ideal'noi opredelennosti, v silu togo, chto real'nye prostranstva, s kotorymi my imeem delo na praktike,
znachitel'no men'she teh razmerov, pri kotoryh budut zametny hot' kakie-to iskazheniya. Eto podobno tomu, kak
na poverhnosti Zemli my ne zamechaem, chto ona kruglaya, i etu poverhnost' svobodno schitaem ploskost'yu.
A, voobshe-to, na samom dele, geometriya poluchaetsya krivaya. Posmotrite na globus. Zdes' i
parallel'nye peresekayutsya drug s drugom (na ekvatore vse meridiany parallel'ny), i summa uglov
treugol'nika bol'she 180 (posmotrite na treugol'nik, obrazovannyi ekvatorom i dvumya meridianami).
Krome togo, pri otobrazhenii v sharoepe (a drugogo predstavleniya nashego prostranstva my ne
pridumali) nekotorye poperechnye podobnye figury na samom dele mogut byt' ravny. Kstati, shkol'niki mogut
poreshat' eti zadachki.
Otobrazhenie epa v sharoepe nosit sil'no iskazhennyi harakter. No i otobrazhenie poverhnosti Zemli na
kartah mira takzhe neset iskazheniya. Odnako, eto ne meshaet nam zhit'. Samoe glavnoe, chto eto daet nam
vozmozhnost' predstavlyat' takoe prostranstvo i proschityvat' ego s absolyutnoi matematicheskoi tochnost'yu
(vypisyvat' absolyutno tochnye formuly raschetov).
Da, zdes' vse ne tak pryamolineino, parallel'no i perpendikulyarno kak-to ne po-armeiski
poluchaetsya. No zhizn', kak izvestno, nemnogo shire, chem armiya.
I vmesto planimetrii sferometriya.
A vmesto stereometrii sploshnaya sharoepiya.
Odnim slovom: Dobro pozhalovat' v ep!
Prisoedinyaites', budet ochen' interesno. Zdes' net ogranichenii ni po vozrastu, ni po polu, ni po
nacional'nosti , dazhe ni po umstvennym sposobnostyam. Dostatochno znaniya shkol'noi matematiki, i mozhno
prodvinut'sya ochen' gluboko, tuda, gde eshe nikto ne byl.
Bolee togo, kogda v etom proekte budut rasstavleny vse tochki nad e, obeshayu vam takzhe prosten'ko i
veselo rasskazat' nemnogo o stroenii materii i prirode sil.
U kogo vdrug ne okazhetsya elektronnoi pochty, mozhete obrashat'sya ko mne po-prostomu, po-derevenski:
140184, Moskovskaya obl., g.Zhukovskii, ul.Chapaeva, d.14a, kv.48
Butkarev Aleksei Alekseevich
Na vsyakii sluchai, moi e-mail: bootal@yandex.ru , esli ego nikto ne grohnet.
Tema: e-prostranstvo Butkareva
Vozmozhno, Vy uzhe poluchili rezul'taty, izlozhennye nizhe. Davaite sverim ih. Esli ya gde-to oshibsya,
to, pozhaluista, podskazhite.
1.Real'noe rasstoyanie mezhdu dvumya nepodvizhnymi zvezdami (t) budet vychislyat'sya po sleduyushei formule:
t=((2*M)/π)*(Arcsin((1/2)*(√(((sin((π*r2)/M))*(cosγ)(sin((π*r1)/M)))2+
+((sin((π*r2)/M))*(sinγ))2+((cos((π*r2)/M))(cos((π*r1)/M)))2)))
gde cosγ=(r12+ r22(r1*cosα1*cosβ1 r2*cosα2*cosβ2)2(r1*sinα1*cosβ1 r2*sinα2*cosβ2)2
(r1*sinβ1 r2*sinβ2)2)/(2*r1*r2)
a sinγ=(√(1(cosγ)2))
r1 i r2 rasstoyaniya do etih zvezd, kotorye my vidim v teleskop pod sootvetstvuyushimi uglami
((r1,α1,β1) i (r2,α2,β2)), M dlina meridiana Vselennoi
(r1 i r2 lezhat v otrezke [0,M]).
Eti vychisleniya aktual'ny dlya sverhdal'nih ob'ektov.
2.Koefficient poperechnyh lineinyh iskazhenii (K) budet vychislyat'sya posleduyushei formule:
K=(π*r)/(M*(sin((π*r)/M))
Sootvetstvenno, poperechnaya lineinaya popravka (P)
P=1/K P=(M*(sin((π*r)/M))/(π*r)
gde r rasstoyanie do ob'ekta, M dlina meridiana Vselennoi
(r lezhit v otrezke [0,M]).
3.Vy uzhe vychislili real'nyi ob'em Vselennoi po dline meridiana M?
Davaite sverim rezul'taty.
Ya, voobshe-to, priyatno udivlen, chto Vy ne skazali mne nichego o chetvertom izmerenii, gipersfere i
t.p. Eto daet nadezhdu, chto Vy nastroeny myslit' konkretno i prakticheski s cel'yu polucheniya real'nyh
rezul'tatov.
Sharya teleskopami po raznym uglam Vselennoi, my tem samym vystraivaem dekartovu sistemu koordinat,
tochnee, polyarnuyu sfericheskuyu, chto prakticheski odno i to zhe. Fakticheski poluchaetsya otobrazhenie prostranstva
Vselennoi (epa) v dekartovoi sisteme koordinat sharoep. V sharoepe otobrazhenie poluchaetsya s poperechnymi
lineinymi i poperechnymi poverhnostnymi iskazheniyami. V svyazi s etim dlya sverhdal'nih ob'ektov mozhet
nablyudat'sya ves'ma strannaya nebesnaya mehanika.
Krome togo, nablyudaemaya plotnost' ob'ektov budet iskazhat'sya po zakonu n*P2 (en pe kvadrat).
O chetvertom izmerenii v fizicheskom plane govorit' bessmyslenno.
No esli uzh tak hochetsya poshizovat', to privedu takoe rassuzhdenie.
Zamykaya odnomernoe prostranstvo v okruzhnost', my poluchaem beskonechnuyu ploskost'. Zamykaya dvuhmernuyu
poverhnost' v sferu, my poluchaem beskonechnoe trehmernoe prostranstvo. Zamykaya trehmernoe prostranstvo vo
chto-to takoe, tipa gipersfery, vy poluchaete chetyrehmernoe beskonechnoe prostranstvo. T.e. ot beskonechnosti-
to vy takim obrazom pri etom ne izbavlyaetes'! Eto-to hot' vy ponimaete? Mozhete shizovat' tak dal'she do
pyatogo desyatogo izmereniya, no vse ravno budete poluchat' beskonechnoe prostranstvo.
S drugoi storony, esli vy prinimaete prostranstvo beskonechnym, to, pozhaluista, pokazhite mne mesto
v takom prostranstve, kotoroe vy oboznachaete znakom beskonechnost', ili hotya by rasskazhite, kak takoe mesto
naiti.
Ep nuzhno vosprinimat' kak iznachal'nuyu obuslovlennost', tochno tak zhe, kak desyatichnuyu sistemu
ischisleniya, dekartovu sistemu koordinat. Ona bolee slozhnaya? A kto skazal, chto iznachal'naya obuslovlennost'
dolzhna byt' prosta? Lish' by ona byla ponyatna. Nu obladaet nashe prostranstvo takimi svoistvami, poetomu
otobrazhaetsya v dekartovoi sisteme koordinat s takimi poperechnymi iskazheniyami. I v nem bessmyslenno
govorit' o chetvertom izmerenii, iskrivlenii prostranstva. Dvigayas' po ideal'noi, my ne otklonyaemsya ni
vpravo, ni vlevo, ni vverh, ni vniz, mozhem dvigat'sya tol'ko vpered ili nazad. Dvigayas' po ideal'noi
poverhnosti, my mozhem dvigat'sya tol'ko vpered, nazad, vpravo, vlevo, no ne mozhem dvigat'sya vverh i vniz.
Pri etom kazhdaya ideal'naya proschityvaetsya kak okruzhnost', kazhdaya ideal'naya poverhnost' proschityvaetsya kak
sfera. A dalee chitaite vse snachala.
V konce-to koncov, praktika pokazhet tak eto ili ne tak. I chto my teryaem? Proschityvat' takoe
prostranstvo mozhet lyuboi bolee-menee soobrazitel'nyi shkol'nik, t.e. eto ne predstavlyaet nam nikakogo
truda. Tak v chem zhe delo?
Nemnogo o skrytoi materii.
Vozmozhno, vy uzhe vychislili real'nyi ob'em Vselennoi (Vr) po dline meridiana M. Privozhu vam svoi
rezul'taty:
Vr = (4*M3/π2)*(π/2-1)
Pri etom vidimo-otobrazhaemyi ob'em Vselennoi (ob'em sharoepa Vsh) raven:
Vsh = (4/3)*π*M3
Vr/Vsh = (3*(π/2-1))/π3
Takim obrazom, Vr sostavlyaet primerno 5,5% ot Vsh, a vidimo-skrytyi ob'em Vselennoi sostavlyaet,
sootvetstvenno, primerno 94,5% (eto uzhe vy poluchaite s kakoi ugodno vam tochnost'yu).
Vopros o skrytoi materii napryamuyu zavyazan s temi iskazheniyami, kotorye poluchayutsya pri otobrazhenii
real'nogo prostranstva v dekartovoi sisteme koordinat.
Pri etom takaya skrytost' raspredelyaetsya neravnomerno. Chem dal'she k polyusu, tem skrytnee, tem vse
kazhetsya chudnee.
Takim obrazom vse stanovitsya prosto i ponyatno.
Vrode by ob'yasneno vse narodno-populyarno.
|
|
