Rambler's Top100Astronet    
  po tekstam   po klyuchevym slovam   v glossarii   po saitam   perevod   po katalogu
 

Na pervuyu stranicu
Fizicheskie osnovy stroeniya i evolyucii zvezd

<< 1.6 Osnovy termodinamiki zvezd | Oglavlenie | 1.8 Teorema viriala >>

1.7 Variacionnyi princip

\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth}
\epsfxsize =0.45\textwidth
\hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{fig/f10.ai}\hss}
\end{wrapfigure}
Ris. 10.

V himicheski odnorodnoi zvezde neobyazatel'no perenosit' veshestvo: k tem zhe rezul'tatam otnositel'no ustoichivosti mozhno priiti, prosto izmenyaya raspredelenie veshestva $ \rho (r)$, ne menyaya pri etom vzaimnogo raspolozheniya sloev (ris. 10). Mozhno utverzhdat', chto esli ravnovesie zvezdy slegka narushit', to energiya pri etom ne izmenitsya. Tochnaya formulirovka etogo utverzhdeniya: uslovie ekstremuma polnoi energii zvezdy $ {\cal{E}}$ sovpadaet s usloviem ravnovesiya.

Rassmatrivaem zvezdu s proizvol'nym raspredeleniem entropii $ S(r)$. Polnaya energiya zvezdy $ {\cal{E}}$ skladyvaetsya iz teplovoi energii $ Q=\int\limits_0^M E(v,S) dm$ i gravitacionnoi energii1.2 $ U=-\int\limits_0^M {Gm\over r}\,dm$:

$\displaystyle {\cal{E}}=\int\limits_0^M E(v,S) dm-G\int\limits_0^M {m\over r}\,dm\,.
$

Naidem uslovie ekstremuma $ {\cal{E}}$, ispol'zuya $ m$ v kachestve lagranzhevoi koordinaty. Raspredelenie plotnosti polnost'yu opredeleno, esli zadana funkciya $ \rho (m)$. Budem var'irovat' $ r(m)$, t.e. smeshat' otdel'nye sloi, schitaya entropiyu $ S(m)$ fiksirovannoi, pri etom u nas budut opredeleny variacii i vseh ostal'nyh velichin. Imeem:

$\displaystyle \delta U=-G\int\limits_0^M mdm \,\delta \left({1\over r}\right)=G\int\limits_0^M {mdm\over
r^2} \delta r;
$

$\displaystyle dm=4\pi r^2 \,\rho \,dr=\rho \,d\left({4\pi \over 3}r^3\right),$   poetomu$\displaystyle \;v={d\over dm}\left({4\pi \over 3}r^3\right)\,.
$

Togda $ \delta Q=\int\limits_0^M \left({\partial E\over \partial v}\right)_S \delta v
\,dm=-\int\limits_0^M P{d\over dm}\left(\delta {4\pi\over 3}r^3\right)dm$. Integriruya po chastyam s uchetom togo, chto $ r(0)=0, \;P(M)=0,$ poluchim

$\displaystyle \delta Q=\int\limits_0^M \delta {\left({4\pi \over 3}r^3\right)}{...
...=\int\limits_0^M {1\over \rho} \,{\partial P \over \partial r} \,\delta
r\,dm.
$

V rezul'tate

$\displaystyle \delta {\cal{E}}=\int\limits_0^M dm \,\left[{1\over \rho} \,{\partial P \over \partial r}
+{Gm\over r^2}\right] \,\delta \,r.
$

Esli $ {\cal{E}}$ ekstremal'no, to $ \delta {\cal{E}}=0$ pri lyubyh $ \delta \,
r(m)$, sledovatel'no, iz ekstremal'nosti $ {\cal{E}}$ sleduet uravnenie ravnovesiya

$\displaystyle {1\over \rho} \,{\partial P \over \partial r}=-{Gm\over r^2}.
$

Chem polezen variacionnyi princip? Okazyvaetsya, chto s pomosh'yu etogo principa issledovat' ustoichivost' mnogo proshe, chem ispol'zuya uravnenie ravnovesiya. V etom mozhno ubedit'sya sleduyushim obrazom. Zapishem vyrazhenie dlya polnoi energii zvezdy, ne predpolagaya ravenstva nulyu skorostei dvizheniya veshestva zvezdy:

$\displaystyle {\cal{E}}=\int\limits_0^M \left[E(v,S)-{Gm\over r}+{u^2\over 2}\right] \,dm,
$

gde $ u$ -- skorost' elementa massy. Ochevidno, chto ravnovesnoe rasstoyanie (kotoroe vsegda sootvetstvuet ekstremumu energii) budet ustoichivym, esli ekstremum yavlyaetsya minimumom. Deistvitel'no, togda iz nego ne mozhet vozniknut' nikakoe drugoe sostoyanie, ni s $ u=0$ (no drugim $ r(m)$), ni tem bolee s $ u^2>0$. Sledovatel'no, issledovanie ustoichivosti svoditsya k nahozhdeniyu uslovii, pri kotoryh vtoraya variaciya energii $ \delta^2 {\cal{E}}>0$.

Pomimo issledovaniya ustoichivosti variacionnyi princip pozvolyaet nahodit' priblizhennye resheniya dlya struktury zvezdy.



<< 1.6 Osnovy termodinamiki zvezd | Oglavlenie | 1.8 Teorema viriala >>

Publikacii s klyuchevymi slovami: Evolyuciya zvezd - vnutrennee stroenie zvezd - termoyadernye reakcii - fizicheskie processy
Publikacii so slovami: Evolyuciya zvezd - vnutrennee stroenie zvezd - termoyadernye reakcii - fizicheskie processy
Sm. takzhe:
Vse publikacii na tu zhe temu >>

Ocenka: 3.0 [golosov: 120]
 
O reitinge
Versiya dlya pechati Raspechatat'

Astrometriya - Astronomicheskie instrumenty - Astronomicheskoe obrazovanie - Astrofizika - Istoriya astronomii - Kosmonavtika, issledovanie kosmosa - Lyubitel'skaya astronomiya - Planety i Solnechnaya sistema - Solnce


Astronet | Nauchnaya set' | GAISh MGU | Poisk po MGU | O proekte | Avtoram

Kommentarii, voprosy? Pishite: info@astronet.ru ili syuda

Rambler's Top100 Yandeks citirovaniya