Rambler's Top100Astronet    
  po tekstam   po klyuchevym slovam   v glossarii   po saitam   perevod   po katalogu 		 

Na pervuyu stranicu
Fizicheskie osnovy stroeniya i evolyucii zvezd
<< 2.2 Osnovnye parametry politropy | Oglavlenie | 2.4 Teoriya belyh karlikov >>

2.3 Chastnye sluchai politropnyh modelei

1. $ n=5$. Kak vidno iz vyshe privedennoi tablicy, pri $ n=5$ bezrazmernyi radius $ \xi_1 \to \infty$. Iz formul dlya $ {\cal{E}}, \;Q, \;U$ vidno, chto konechnye znacheniya energii zvezdy sovmestimy s konechnoi massoi tol'ko pri $ R \to \infty$. Resheniya uravneniya Emdena s $ n>5$ voobshe teryayut obychnyi fizicheskii smysl.

Sluchai $ n=5$ imeet analiticheskoe reshenie vida

$\displaystyle \Theta={(1+\xi^2/3)}^{-1/2},\;\xi_1=\infty. $

Legko proverit', chto polnaya massa zvezdy konechna. V samom dele, pri $ \xi \to \infty~~\Theta \sim {1/\xi}$, a vyrazhenie dlya massy $ M \sim \mu_1 \sim \int\limits_0^ \infty \Theta^5 \,\xi^2 \,d\xi$ shoditsya na verhnem predele. Polnyi moment inercii $ I \sim \int\limits_0^\infty \Theta^5 \,\xi^4 \,d\xi \sim \ln \xi \to \infty$, no $ I/M R^2 \to 0$, tak kak osnovnaya chast' massy sosredotochena v centre.

2. $ n=1$. Dlya davleniya v etom sluchae imeet mesto sootnoshenie

$\displaystyle P=K \,\rho^2 $

i, sledovatel'no, $ \rho \sim \Theta$ i $ H \sim E \sim T \sim {P/\rho} \sim \Theta$. Takim obrazom, poluchaem lineinoe uravnenie

$\displaystyle {1\over \xi^2} \,{d\over {d\xi}} \,\xi^2 \,{d\Theta\over {d\xi}}+\Theta=0, $

odno iz reshenii kotorogo, udovletvoryayushee granichnym usloviyam, imeet vid

$\displaystyle \Theta={\sin \xi \over \xi} $

\begin{wrapfigure}{r}{0.5\textwidth} \epsfxsize =0.45\textwidth \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{fig/f13.ai}\hss} \end{wrapfigure}
Ris. 13.

i obrashaetsya v nul' pri $ \xi_1=\pi$. V silu lineinosti zadachi radius zvezdy $ R$ ne zavisit ot massy. Pri dannom $ K$ velichiny $ E$ i $ H$ proporcional'ny $ \rho $, i v odin ob'em mozhno vlozhit' (ravnovesno!) raznoe kolichestvo veshestva. Pri uvelichenii massy rastet tol'ko central'naya plotnost' $ \rho_c$ (ris. 13).

Zadacha. Poluchite etot rezul'tat iz razmernostnyh soobrazhenii. Uchtite pri etom, chto razmernost' $ K$ zavisit ot indeksa $ n$.

3. $ n=0$ -- neszhimaemaya zhidkost'. Formal'no pri $ n \to 0$ iz uravneniya sostoyaniya $ P=K\rho^{1+1/n}$ sleduet, chto malye izmeneniya $ \rho $ dayut bol'shie izmeneniya $ P$. Eto daet nam pravo otozhdestvlyat' sluchai $ n=0$ s neszhimaemoi odnorodnoi zhidkost'yu $ \rho=$const$ =\rho_c$. Tak kak teplovaya energiya $ E$ ravna rabote, zatrachennoi na szhatie dannogo gazovogo ob'ema, v sluchae neszhimaemoi zhidkosti $ E=0$ i, sledovatel'no, $ Q=0$. Eto vidno i iz formuly $ Q={n\over {5-n}} \,{GM^2\over R}$ dlya $ n=0$. Polnaya energiya $ {\cal{E}}$, ochevidno, ravna gravitacionnoi $ U$.

4. $ n=3$. Sluchai $ n=3$ yavlyaetsya naibolee interesnym i fizicheski vazhnym. Kak my uvidim nizhe, on osushestvlyaetsya i v belyh karlikah, i v bol'shih goryachih zvezdah, gde $ P=\varepsilon /3, \;P \sim \rho^{4/3}$ (zdes' $ \varepsilon$ -- plotnost' energii $ [$erg$ /$sm$ ^3]$). I dazhe dlya Solnca naibolee blizki k real'nosti politropnye modeli s $ n=3$.

V chem osobennost' etogo sluchaya? Vo-pervyh, teoriya politropnyh sharov pri dannom uravnenii sostoyaniya (pri dannom $ K$) i dannoi masse $ M$ ne pozvolyaet vychislit' radius zvezdy. Krome togo, polnaya energiya zvezdy $ {\cal{E}}=0$, t.e. $ U=-Q$.

Pochemu eto proishodit? Rassmotrim poryadkovye ocenki. Teplovaya energiya $ Q$ pri $ n=3$ po poryadku ravna $ Q \sim MP/\rho \sim MK\rho^{1/3}$. Dlya gravitacionnoi energii vsegda imeem $ U \sim -GM^2/R \sim -GM^2/{(M/\rho)}^{1/3}$. Polnaya energiya $ {\cal{E}}= Q+U$. Ochevidno, chto dlya raznyh $ M$ energiya $ {\cal{E}}$ po raznomu zavisit ot $ \rho ^{1/3}$ (ris. 14). V lyubom sluchae zavisimost' $ {\cal{E}}(\rho^{1/3})$ lineinaya. Ochevidno, chto pri $ {\cal{E}}>0$ sistema pri malyh vozmusheniyah nachnet razletat'sya ($ {\cal{E}}$ stremitsya umen'shit'sya), a pri $ {\cal{E}}<0$ budet neogranichenno szhimat'sya (kollapsirovat'). Ravnovesie vozmozhno tol'ko pri $ {\cal{E}}=0$, dlya etogo sluchaya imeetsya tol'ko odno opredelennoe znachenie massy:

$\displaystyle KM=GM^{5/3} \to M \sim {\left({K\over G}\right)}^{3/2}. $

Tochnoe vyrazhenie

$\displaystyle M={4\mu_1\over \pi^{1/2}}{\left({K\over G}\right)}^{3/2}.$ (2.1)

Takim obrazom, ravnovesnaya model' s $ n=3$ imeet tri vazhnyh svoistva:

1) ravnovesie vozmozhno tol'ko pri odnom opredelennom znachenii massy (esli $ K$ fiksirovano), 2) polnaya energiya $ {\cal{E}}=0$, 3) radius zvezdy $R$ mozhet byt' lyubym, t.e. ravnovesie bezrazlichnoe.

Ris. 14.Ris. 15.

Rassmotrim kratko, kak vedet sebya polnaya energiya $ {\cal{E}}$ v zavisimosti ot plotnosti pri $ n\gtrless3$ (ris. 15). V sluchae $ n<3$ nabor krivyh dlya raznyh mass imeet minimum, a pri $ n>3$ maksimum. Ochevidno, chto tochki $ {\partial {\cal{E}}\over \partial \rho^{1/3}}=0$ yavlyayutsya polozheniyami ravnovesiya, no pri $ n<3$ eto ravnovesie ustoichivo, a pri $ n>3$ neustoichivo.


<< 2.2 Osnovnye parametry politropy | Oglavlenie | 2.4 Teoriya belyh karlikov >>

Publikacii s klyuchevymi slovami: Evolyuciya zvezd - vnutrennee stroenie zvezd - termoyadernye reakcii - fizicheskie processy
Publikacii so slovami: Evolyuciya zvezd - vnutrennee stroenie zvezd - termoyadernye reakcii - fizicheskie processy
Sm. takzhe:
Vse publikacii na tu zhe temu >>

Obsudit' etu publikaciyu
Ocenka: 3.0 [golosov: 120]
 
O reitinge
Versiya dlya pechati Raspechatat'

Astrometriya - Astronomicheskie instrumenty - Astronomicheskoe obrazovanie - Astrofizika - Istoriya astronomii - Kosmonavtika, issledovanie kosmosa - Lyubitel'skaya astronomiya - Planety i Solnechnaya sistema - Solnce

Astronet | Nauchnaya set' | GAISh MGU | Poisk po MGU | O proekte | Avtoram

Kommentarii, voprosy? Pishite: info@astronet.ru ili syuda

Rambler's Top100 Yandeks citirovaniya