Astronet > 8.1 Ideya iskrivlennogo prostranstva-vremeni

po tekstam po klyuchevym slovam v glossarii po saitam perevod po katalogu

Fizicheskie osnovy stroeniya i evolyucii zvezd

<< 8. Vvedenie v OTO | Oglavlenie | 8.2 Parallel'nyi perenos vektorov >>

8.1 Ideya iskrivlennogo prostranstva-vremeni

Vse tela nezavisimo ot ih massy padayut s odinakovym uskoreniem -- eto bylo izvestno so vremen Galileya. No imenno etot fakt stal opredelyayushim dlya Einshteina pri sozdanii obshei teorii otnositel'nosti (OTO). Zakon tyagoteniya N'yutona ochen' pohozh na zakon Kulona. Odnako v zakon N'yutona v kachestve gravitacionnogo zaryada vhodit velichina, proporcional'naya inertnoi masse. Pochemu zhe tyagoteniya svyazano s inertnoi massoi? S tochki zreniya n'yutonovskoi teorii eto nekotoraya sluchainost'. Odnako imenno ot etogo ottolknulsya Einshtein, kogda emu prishla v golovu ideya iskrivlennogo prostranstva.

Ris. 51.

V ploskom chetyrehmernom prostranstve ( $x,\;y,\;z,\;t$ ) dvizheniyu po pryamoi sootvetstvuet ravnomernoe pryamolineinoe dvizhenie. V ploskom prostranstve pryamaya -- eto kratchaishee rasstoyanie mezhdu dvumya tochkami, t. e. ekstremal'. Ideya Einshteina zaklyuchaetsya v tom, chto i v pole tyagoteniya vse tela dvizhutsya po ekstremal'nym (geodezicheskim) liniyam v prostranstve-vremeni, kotoroe, odnako, uzhe ne ploskoe, a iskrivlennoe. Prostranstvo-vremya iskrivlyayut massy, sozdayushie pole tyazhesti. Esli prostranstvo iskrivleno, i vse tela dvizhutsya po geodezicheskim, to eto oznachaet, chto tela raznoi prirody budut dvigayutsya po odinakovym traektoriyam, t. e. estestvenno ob'yasnyaetsya nezavisimost' uskoreniya svobodnogo padeniya ot prirody tela.

Chto takoe iskrivlennoe prostranstvo? Proshe vsego eto ponyat' na primere dvumernogo sluchaya. Rassmotrim poverhnost' shara . ``Pryamymi'' na etoi poverhnosti budut dugi bol'shogo kruga, tak kak im sootvetstvuyut kratchaishie rasstoyaniya na poverhnosti. Summa uglov treugol'nika uzhe ne ravna $\pi$ . Rassmotrim treugol'nik s vershinoi v polyuse i dvumya vershinami na ekvatore (ris. 51). Summa uglov v etom treugol'nike ravna $\pi+\alpha$ . Ploshad' treugol'nika ravna $\alpha R^2$ .

V dvumernom sluchae mozhno predstavit' krivoe prostranstvo vlozhennym v trehmernoe prostranstvo. Odnako prostranstvo dannoi razmernosti mozhno izuchat' i neposredstvenno, po vnutrennim svoistvam, ne obrashayas' k idee vlozheniya. Naprimer, tochki poverhnosti shara mozhno harakterizovat' dvumya nezavisimymi koordinatami $\theta$ i $\varphi$ (shirotoi i dolgotoi). Mozhno naiti vyrazhenie dlya elementa dliny na poverhnosti shara

$\displaystyle ds^2=R^2(d\theta^2+\sin^2\theta\;\varphi^2).$

Dalee my zadaemsya usloviem, chto $\varphi$ i $(2\pi+\varphi)$ pri dannom $\theta$ opisyvayut odnu i tu zhe tochku, a $\theta$ menyaetsya ot 0 do $\pi$ . (Zdes' my ne vdaemsya v vopros o tom, kak svyazany eti po sushestvu topologicheskie usloviya s vidom vyrazheniya dlya

). Vse svoistva sfery etim zadany.

Dlya elementa dliny v ploskom dvumernom prostranstve mozhno zapisat'

$\displaystyle ds^2=dx^2+dy^2=R^2(d\theta^2+\theta^2\;d\varphi^2)$

(

-- masshtabnyi faktor). Zdes' koordinata $\theta$ mozhet menyat'sya ot 0 do $\infty$ v otlichie ot sfery, gde $\theta$ menyaetsya ot 0 do $\pi$ (tak kak $\sin\theta=0$ pri $\theta=\pi$ ).

Itak, otlichie krivoi poverhnosti ot ploskoi mozhno obnaruzhit', issleduya geometriyu samoi dvumernoi poverhnosti, bez vlozheniya.

Obratimsya k trehmernomu sluchayu.

V ploskom prostranstve kvadrat elementa dliny mezhdu dvumya beskonechno blizkimi tochkami zapisyvaetsya v vide ( $dx,\;dy,\;dz$ -- sootvetstvuyushie raznosti koordinat)

$\displaystyle ds^2=dx^2+dy^2+dz^2.$

Vvedem novye koordinaty, $\xi,\;\eta,\;\zeta$ sleduyushim obrazom:

$\displaystyle x=x(\xi,\;\eta,\zeta),$

$\displaystyle y=y(\xi,\;\eta,\zeta),$

$\displaystyle z=z(\xi,\;\eta,\zeta).$

Togda

$\displaystyle dx={\partial x\over{\partial\xi}}d\xi+{\partial x\over{\partial\eta}}d\eta+ {\partial x\over{\partial\zeta}}d\zeta,$

$\displaystyle dy={\partial y\over{\partial\xi}}d\xi+{\partial y\over{\partial\eta}}d\eta+ {\partial y\over{\partial\zeta}}d\zeta,$

$\displaystyle dz={\partial z\over{\partial\xi}}d\xi+{\partial z\over{\partial\eta}}d\eta+ {\partial z\over{\partial\zeta}}d\zeta.$

Kvadrat elementa dliny v novyh koordinatah zapisyvaetsya v vide

$\displaystyle ds^2=g_{11}d\xi^2+g_{12}d\xi d\eta+...\;,$

gde

$\displaystyle g_{11}=\left({\partial x\over{\partial\xi}}\right)^2+ \left({\par... ...over{\partial\xi}}\right)^2+ \left({\partial z\over{\partial\xi}}\right)^2 \;,$

$\displaystyle g_{12}=\left({\partial x\over{\partial\xi}}\right) \left({\partia... ...l z\over{\partial\xi}}\right) \left({\partial z\over{\partial\eta}}\right) \;,$

i t.d.

Poka my tol'ko lish' v novom vide opisali ploskoe prostranstvo. Imeem 9 velichin $g_{ik}\,$ , iz kotoryh tol'ko 6 nezavisimy, tak kak $g_{ik}=g_{ki}\,$ . Mozhno pokazat', chto v ploskom prostranstve sami velichiny $g_{ik}\,$ , ih pervye i vtorye proizvodnye opredelennym obrazom svyazany. Umesten vopros, chto budet, esli vybrat' $g_{ik}\,$ , chtoby eti svyazi ne vypolnyalis'? Togda okazhetsya, chto takaya metrika opisyvaet iskrivlennoe prostranstvo, kotoroe uzhe trudno predstavit' naglyadno. Pri etom $g_{ik}$ opredelyayut kak koordinatnuyu setku, tak i kriviznu prostranstva.

Zdes' umestno sdelat' istoricheskoe zamechanie: Lobachevskii i Bol'yai rassmatrivali prostranstvo, krivizna kotorogo vezde postoyanna. Ne vyrazhaya etoi mysli v yavnom vide, oni ishodili iz idei, chto sushestvuyut absolyutno zhestkie tela. Takoe telo mozhet peremeshat'sya v prostranstve postoyannoi krivizny.

Harakterizuya prostranstvo metricheskimi koefficientami $g_{ik}$ , yavlyayushimisya proizvol'nymi funkciyami koordinat, Riman vvel v rassmotrenie prostranstvo, krivizna kotorogo menyaetsya ot tochki k tochke. V etot zhe period voznikayut pervye idei o tom, chto krivizna prostranstva mozhet byt' svyazana s fizicheskimi faktorami. Otkaz ot idei absolyutno zhestkogo tela stal vpolne estestvennym pozzhe, s razvitiem elektronnoi teorii i otkrytiem lorenceva sokrasheniya tel.

V iskrivlennom prostranstve mozhno opredelyat' krivuyu, dayushuyu minimum rasstoyaniya mezhdu dvumya tochkami:

$\displaystyle l_{12}=\int\limits^{\xi_2\eta_2\zeta_2}_{\xi_1\eta_1\zeta_1}\;ds=\min\;($ po vsem putyam iz 1 v 2 $\displaystyle ).$

V ploskom sluchae srazu poluchaetsya

$\displaystyle x=a_1+b_1t,$

$\displaystyle y=a_2+b_2t,$

$\displaystyle z=a_3+b_3t,$

t. e. parametricheskoe vyrazhenie pryamoi.

V obshem sluchae iskrivlennogo prostranstva takoi prostoi zavisimosti ne budet; mozhno napisat' tol'ko differencial'nye uravneniya -- uravneniya geodezicheskoi.

Nakonec, sleduyushii shag zaklyuchaetsya v tom, chto rassmatrivaetsya kak ishodnoe, chetyrehmernoe prostranstvo Minkovskogo, ili, drugimi slovami, kompleks, sostoyashii iz vremeni i trehmernogo prostranstva (v uzkom smysle slova).

Eto chetyrehmernoe mnogoobrazie preobrazuetsya po Lorencu, a ne po Galileyu, t. e. tak, chto ostaetsya invariantnym

$\displaystyle s^2=c^2\;t^2-x^2-y^2-z^2,$

ili v malom

$\displaystyle ds^2=c^2\;dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.$

Pri perehode ot odnoi sistemy koordinat k drugoi, dvizhusheisya otnositel'no pervoi so skorost'yu

, menyaetsya takzhe vremya $t'=\frac{t-\beta x/c}{\sqrt{1-\beta^2}}$ , gde $\beta=v/c$ . Takuyu metriku -- ne evklidovu, a psevdoevklidovu (vsledstvie raznogo znaka u

) nado sdelat' ``krivoi'', vvodya $g_{ik}$ funkcii koordinat i vremeni.

<< 8. Vvedenie v OTO | Oglavlenie | 8.2 Parallel'nyi perenos vektorov >>

Publikacii s klyuchevymi slovami: Evolyuciya zvezd - vnutrennee stroenie zvezd - termoyadernye reakcii - fizicheskie processy Publikacii so slovami: Evolyuciya zvezd - vnutrennee stroenie zvezd - termoyadernye reakcii - fizicheskie processy
Sm. takzhe: Pererabotka veshestva v Kassiopee A NGC 7789: Roza Karoliny Planetarnaya tumannost' NGC 2818 ot Habbla Nauchnaya konferenciya "Nablyudaemye proyavleniya evolyucii zvezd" v SAO RAN Planetarnye tumannosti Proshlye i budushie zvezdy Andromedy Tumannost' Ozherel'e Vse publikacii na tu zhe temu >>

Obsudit' etu publikaciyu

Versiya dlya pechati

Astrometriya - Astronomicheskie instrumenty - Astronomicheskoe obrazovanie - Astrofizika - Istoriya astronomii - Kosmonavtika, issledovanie kosmosa - Lyubitel'skaya astronomiya - Planety i Solnechnaya sistema - Solnce