![]() |
po tekstam po klyuchevym slovam v glossarii po saitam perevod po katalogu |
![Na pervuyu stranicu](http://images.astronet.ru/img/bookicon.gif)
<< 8.1 Ideya iskrivlennogo ... | Oglavlenie | 8.3 Fizika iskrivlennogo ... >>
8.2 Parallel'nyi perenos vektorov
Chto takoe parallel'nyi perenos v evklidovom prostranstve, vsem ponyatno: pri perenose dolzhny ostavat'sya postoyannymi komponenty vektora v dekartovyh koordinatah. Odnako uzhe v ploskom prostranstve, no v krivolineinyh koordinatah, naprimer, v polyarnyh, eto ne tak prosto opredelit'.
Pri parallel'nom perenose v ploskom prostranstve sohranyaetsya napravlenie vektora.
V chastnosti, sohranyayutsya ugly, obrazuemye vektorom s pryamoi (t. e. geodezicheskoi),
soedinyayushei ishodnuyu i konechnuyu tochki perenosa. Pri obhode zamknutogo kontura
polozhenie vektora sovpadaet s ishodnym. V iskrivlennom prostranstve eto ne tak.
Legche vsego eto ponyat' na primere sfery8.1
(sm. ris. 51). Vyidem iz polyusa
s vektorom, napravlennym po meridianu. Doidem do ekvatora i perenesem vektor parallel'no
samomu sebe vdol' ekvatora, posle chego vernemsya po drugomu meridianu na polyus.
Ochevidno, chto konechnoe polozhenie vektora ne sovpadaet s ishodnym i ugol povorota
raven kak raz izbytku uglov treugol'nika nad
. Pri malyh
![$\displaystyle \vert\Delta\vec{A}\vert=\vert\vec{A}\vert\alpha=\vert\vec{A}\vert S/R^2,
$](https://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img1668.gif)
![$ S$](https://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img27.gif)
Prirashenie vektora
, tak kak dlina vektora ne menyaetsya.
Krivizna dvumernoi poverhnosti harakterizuetsya tol'ko odnim chislom (naprimer, radiusom
krivizny ). Nado ponimat', chto eta krivizna ne obuslovlena rassmatrivaniem ee iz
trehmernogo mira. Eto chislo harakterizuet vnutrennyuyu geometriyu dvumernoi poverhnosti.
Naprimer, poverhnost' cilindra s tochki zreniya trehmernogo nablyudatelya iskrivlena.
Ee vneshnyaya geometriya harakterizuetsya dvumya radiusami krivizny: odnim konechnym
i drugim
(ris. 52).
No s tochki zreniya dvumernogo sushestva vse geometricheskie
figury na etoi poverhnosti imeyut te zhe svoistva, chto i figury na ploskom liste
(summa uglov treugol'nika ravna
i t. p.). Takim obrazom, cilindr yavlyaetsya
primerom ploskoi poverhnosti (ot obychnoi ploskosti on otlichaetsya tol'ko topologiei).
Drugoi primer -- konus. Konicheskaya poverhnost' vezde ploskaya, krome odnoi tochki,
no v etoi tochke krivizna vedet sebya podobno -funkcii. Poetomu tam, gde
vhodyat integraly ot krivizny, my poluchaem konechnyi vklad ot etoi odnoi tochki.
Prirashenie komponent vektora
pri parallel'nom perenose po
beskonechno malomu konturu ploshadi
na poverhnosti v nekotoroi sisteme
koordinat
,
mozhno zapisat' v vide:
![$\displaystyle \Delta A_1=\kappa\;A_2\;\Delta f,
$](https://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img1678.gif)
![$\displaystyle \Delta A_2=-\kappa\;A_1\;\Delta f,
$](https://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img1679.gif)
![$ \left(\begin{array}{cc}
0 & \kappa \\
-\kappa & 0 \\
\end{array}\right)$](https://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img1680.gif)
![$ \kappa$](https://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img1681.gif)
![$ \kappa=1/R$](https://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img1682.gif)
V trehmernom (i bolee obshem) sluchae izmenenie komponent vektora pri parallel'nom
perenose zavisit takzhe ot orientacii elementarnyh ploshadok, opredelyaemyh konturom
puti perenosa. Poetomu izmenenie komponent vektora pri parallel'nom perenose po
konturu, ogranichivayushemu maluyu dvumernuyu poverhnost'
, opisyvaetsya
formuloi
![$\displaystyle \Delta A^i={1\over 2}R^i_{klm}A^k\,\Delta f^{lm},
$](https://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img1684.gif)
![$ R^i_{klm}$](https://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img1685.gif)
![$ R^i_{klm}$](https://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img1685.gif)
Tenzor vyrazhaetsya cherez metriku
, tochnee govorya cherez
,
i
.
Poetomu, esli izvestna metrika , to izvestna i krivizna v kazhdoi tochke.
I naoborot, esli izvesten tenzor krivizny
, to geometriya prostranstva
polnost'yu izvestna. Zametim, chto esli
=0, to prostranstvo ploskoe, i
sushestvuet takoe preobrazovanie koordinat, kotoroe preobrazuet vyrazhenie
k psevdoevklidovu vidu:
.
HREF="node52.html">8.1 Ideya iskrivlennogo ... | Oglavlenie | 8.3 Fizika iskrivlennogo ... >>
Publikacii s klyuchevymi slovami:
Evolyuciya zvezd - vnutrennee stroenie zvezd - termoyadernye reakcii - fizicheskie processy
Publikacii so slovami: Evolyuciya zvezd - vnutrennee stroenie zvezd - termoyadernye reakcii - fizicheskie processy | |
Sm. takzhe:
Vse publikacii na tu zhe temu >> |