Astronet > 8.2 Parallel'nyi perenos vektorov

po tekstam po klyuchevym slovam v glossarii po saitam perevod po katalogu

Fizicheskie osnovy stroeniya i evolyucii zvezd

<< 8.1 Ideya iskrivlennogo ... | Oglavlenie | 8.3 Fizika iskrivlennogo ... >>

8.2 Parallel'nyi perenos vektorov

Chto takoe parallel'nyi perenos v evklidovom prostranstve, vsem ponyatno: pri perenose dolzhny ostavat'sya postoyannymi komponenty vektora v dekartovyh koordinatah. Odnako uzhe v ploskom prostranstve, no v krivolineinyh koordinatah, naprimer, v polyarnyh, eto ne tak prosto opredelit'.

Pri parallel'nom perenose v ploskom prostranstve sohranyaetsya napravlenie vektora. V chastnosti, sohranyayutsya ugly, obrazuemye vektorom s pryamoi (t. e. geodezicheskoi), soedinyayushei ishodnuyu i konechnuyu tochki perenosa. Pri obhode zamknutogo kontura polozhenie vektora sovpadaet s ishodnym. V iskrivlennom prostranstve eto ne tak. Legche vsego eto ponyat' na primere sfery^8.1 (sm. ris. 51). Vyidem iz polyusa s vektorom, napravlennym po meridianu. Doidem do ekvatora i perenesem vektor parallel'no samomu sebe vdol' ekvatora, posle chego vernemsya po drugomu meridianu na polyus. Ochevidno, chto konechnoe polozhenie vektora ne sovpadaet s ishodnym i ugol povorota $\alpha$ raven kak raz izbytku uglov treugol'nika nad $180^{\circ}$ . Pri malyh $\alpha$

$\displaystyle \vert\Delta\vec{A}\vert=\vert\vec{A}\vert\alpha=\vert\vec{A}\vert S/R^2,$

gde

-- ploshad' treugol'nika.

Prirashenie vektora $\Delta\vec{A}\perp\vec{A}$ , tak kak dlina vektora ne menyaetsya.

Ris. 52.

Krivizna dvumernoi poverhnosti harakterizuetsya tol'ko odnim chislom (naprimer, radiusom krivizny ). Nado ponimat', chto eta krivizna ne obuslovlena rassmatrivaniem ee iz trehmernogo mira. Eto chislo harakterizuet vnutrennyuyu geometriyu dvumernoi poverhnosti.

Naprimer, poverhnost' cilindra s tochki zreniya trehmernogo nablyudatelya iskrivlena. Ee vneshnyaya geometriya harakterizuetsya dvumya radiusami krivizny: odnim konechnym i drugim $R_{\infty}$ (ris. 52). No s tochki zreniya dvumernogo sushestva vse geometricheskie figury na etoi poverhnosti imeyut te zhe svoistva, chto i figury na ploskom liste (summa uglov treugol'nika ravna $\pi$ i t. p.). Takim obrazom, cilindr yavlyaetsya primerom ploskoi poverhnosti (ot obychnoi ploskosti on otlichaetsya tol'ko topologiei).

Drugoi primer -- konus. Konicheskaya poverhnost' vezde ploskaya, krome odnoi tochki, no v etoi tochke krivizna vedet sebya podobno $\delta$ -funkcii. Poetomu tam, gde vhodyat integraly ot krivizny, my poluchaem konechnyi vklad ot etoi odnoi tochki.

Prirashenie komponent vektora $\vec{A}=(A_1,\;A_2)$ pri parallel'nom perenose po beskonechno malomu konturu ploshadi $\Delta f$ na poverhnosti v nekotoroi sisteme koordinat , mozhno zapisat' v vide:

$\displaystyle \Delta A_1=\kappa\;A_2\;\Delta f,$

$\displaystyle \Delta A_2=-\kappa\;A_1\;\Delta f,$

t. e. matrica etogo preobrazovaniya imeet vid $\left(\begin{array}{cc} 0 & \kappa \\ -\kappa & 0 \\ \end{array}\right)$ . Zdes' $\kappa$ -- vnutrennyaya krivizna poverhnosti (na sfere $\kappa=1/R$ ). Takoi vid matricy preobrazovaniya svyazan s usloviem sohraneniya dliny vektora.

V trehmernom (i bolee obshem) sluchae izmenenie komponent vektora pri parallel'nom perenose zavisit takzhe ot orientacii elementarnyh ploshadok, opredelyaemyh konturom puti perenosa. Poetomu izmenenie komponent vektora pri parallel'nom perenose po konturu, ogranichivayushemu maluyu dvumernuyu poverhnost' $\Delta f^{lm}$ , opisyvaetsya formuloi

$\displaystyle \Delta A^i={1\over 2}R^i_{klm}A^k\,\Delta f^{lm},$

gde $R^i_{klm}$ -- tak nazyvaemyi tenzor krivizny. Kak eto prinyato, zdes' podrazumevaetsya summirovanie po povtoryayushimsya indeksam. V silu svoistv simmetrii v chetyrehmernom sluchae $R^i_{klm}$ imeet 20 nezavisimyh komponent.

Tenzor $R^i_{klm}$ vyrazhaetsya cherez metriku $g_{ik}$ , tochnee govorya cherez $g_{ik}$ , $\partial g_{ik}/\partial x^l$ i $\partial^2g_{ik}/\partial x^l\partial x^m$ .

Poetomu, esli izvestna metrika $g_{ik}$ , to izvestna i krivizna v kazhdoi tochke. I naoborot, esli izvesten tenzor krivizny $R^i_{klm}$ , to geometriya prostranstva polnost'yu izvestna. Zametim, chto esli $R^i_{klm}$ =0, to prostranstvo ploskoe, i sushestvuet takoe preobrazovanie koordinat, kotoroe preobrazuet vyrazhenie $ds^2= g_{ik}dx^i dx^k$ k psevdoevklidovu vidu: $ds^2=\delta ^{ik}dx^i dx^k$ .

HREF="node52.html">8.1 Ideya iskrivlennogo ... | Oglavlenie | 8.3 Fizika iskrivlennogo ... >>

Publikacii s klyuchevymi slovami: Evolyuciya zvezd - vnutrennee stroenie zvezd - termoyadernye reakcii - fizicheskie processy Publikacii so slovami: Evolyuciya zvezd - vnutrennee stroenie zvezd - termoyadernye reakcii - fizicheskie processy
Sm. takzhe: Pererabotka veshestva v Kassiopee A NGC 7789: Roza Karoliny Planetarnaya tumannost' NGC 2818 ot Habbla Nauchnaya konferenciya "Nablyudaemye proyavleniya evolyucii zvezd" v SAO RAN Planetarnye tumannosti Proshlye i budushie zvezdy Andromedy Tumannost' Ozherel'e Vse publikacii na tu zhe temu >>

Obsudit' etu publikaciyu

Versiya dlya pechati

Astrometriya - Astronomicheskie instrumenty - Astronomicheskoe obrazovanie - Astrofizika - Istoriya astronomii - Kosmonavtika, issledovanie kosmosa - Lyubitel'skaya astronomiya - Planety i Solnechnaya sistema - Solnce