Rambler's Top100Astronet    
  po tekstam   po klyuchevym slovam   v glossarii   po saitam   perevod   po katalogu 		 

Na pervuyu stranicu
Fizicheskie osnovy stroeniya i evolyucii zvezd
<< 1.2 Vektornoe pole uskorenii ... | Oglavlenie | 1.4 Energiya gravitacionnogo vzaimodeistviya >>

1.3 Sfericheski-simmetrichnye polya tyagoteniya, polnaya i tekushaya massy zvezd, eilerovy i lagranzhevy koordinaty


Rassmotrim tonkii sfericheskii sloi s radiusom $ r$, tolshinoi $ \delta \ll r$ i poverhnostnoi plotnost'yu $ \mu$ [g/sm$ ^2$]. Naidem silu prityazheniya so storony sfery, kotoraya deistvuet na probnuyu chasticu edinichnoi massy, pomeshennuyu v kakoi-libo tochke $ A$ vnutri sfery. Iz ris.2 naglyadno vidno, chto sily prityazheniya dvuh elementov mass, vyrezannyh na sfere telesnym uglom $ d \Omega$, odinakovy po velichine i protivopolozhny po napravleniyu. Bolee blizkii k tochke $ A$ element $ dm_1$ imeet men'shuyu massu, i sila prityazheniya, sozdavaemaya im v tochke $ A$,

$\displaystyle dF_1=G{dm_1 \over r_1^2}={G \mu dS_1 \over r_1^2}={G\;\mu\;d\Omega \over \cos\;\theta}\;. $

Tak kak pravaya chast' etogo vyrazheniya zavisit lish' ot velichiny telesnogo ugla $ d \Omega$ i $ \cos\; \theta$, kotorye odinakovy dlya $ dm_1$ i $ dm_2$, to so storony $ dm_2$ deistvuet ravnaya po velichine sila $ dF_2=-dF_1$. Takim obrazom, lyubaya para uchastkov sfery vnutri dvoinogo konusa $ d \Omega$ daet polnuyu silu, ravnuyu nulyu, i probnaya chastica vnutri sfery ne ispytyvaet sily i uskoreniya. Etot rezul'tat ostaetsya v sile i dlya sfery konechnoi tolshiny ( $ \delta \sim r$).

\begin{figure*}\centerline{\hss \epsfysize=0.35\textwidth\epsfbox{fig/f02.ai} ... ... \vbox{\hsize=0.45\textwidth} \hss \vbox{\hsize=0.45\textwidth} }\end{figure*}
Ris. 2.Ris. 3.

Teper' raspolozhim nashu probnuyu chasticu vne sfery (ris. 3). Sila, deistvuyushaya na chasticu v etom sluchae, ravna

$\displaystyle F=-{GM \over r^2}$ (1.2)

i napravlena k centru sfery. Zdes' $ M$ -- polnaya massa sfericheskoi obolochki, $ r$ -- rasstoyanie ot $ A$ do centra sfery. Napravlennost' k centru sfery ochevidna iz simmetrii zadachi, a to, chto deistvie takoe zhe, kak ot tochechnoi massy, pomeshennoi v centre, mozhno poluchit' prostym integrirovaniem.

Rassmotrim zvezdu radiusa $ R$ c peremennoi plotnost'yu $ \rho (r)$ i polnoi massoi

$\displaystyle M=4\pi \;\int\limits_0^R\rho (r)\;r^2dr. $

Polnaya sila, deistvuyushaya na probnuyu chasticu pri $ r>R$ ravna

$\displaystyle F=-{GM \over r^2}\;, $

no vnutri zvezdy ($ r<R$)

$\displaystyle F=-{Gm(r) \over r^2}\;. $

Velichinu $ m(r)=4\pi \int\limits_0^r\rho (q)q^2 dq$ obychno nazyvayut tekushei massoi. Velichina $ m(r)$ estestvenno poyavlyaetsya pri rassmotrenii ravnovesiya zvezd.

Reshenie nestacionarnyh zadach szhatiya zvezd, kak i lyubyh gidrodinamicheskih zadach, mozhno provodit' dvumya sposobami. Vybiraya v kachestve nezavisimyh peremennyh koordinatu $ \vec r$ i vremya $ t$, mozhno rassmatrivat' izmeneniya fizicheskih velichin (plotnosti, davleniya i t.d.) v kakoi-libo fiksirovannoi tochke prostranstva (eilerov podhod). No chasto byvaet udobno sledit' za povedeniem vybrannyh zaranee chastic veshestva (lagranzhev podhod), v etom sluchae nezavisimymi peremennymi yavlyayutsya nachal'nye koordinaty $ r_0(t_0)$ i vremya $ t$, a koordinata $ \vec r(t)$ yavlyaetsya funkciei $ r_0$. Lagranzhev podhod chashe vsego osushestvlyaetsya v zadachah, obladayushih kakoi-libo simmetriei dvizhenii, naprimer, pri sfericheski-simmetrichnom rasshirenii (ili szhatii) zvezdy. Zadadim v nachal'nyi moment v kachestve lagranzhevoi koordinaty rasstoyanie do centra zvezdy $ r_0$. Sfera s radiusom $ r_0$ soderzhit vpolne opredelennuyu chast' massy zvezdy $ m(r_0)$, velichina kotoroi pri sfericheskih dvizheniyah ne menyaetsya so vremenem. V etom sluchae tekushaya massa $ m(r)$ mozhet byt' vybrana v kachestve nezavisimoi (lagranzhevoi) koordinaty.

Rassmotrim neskol'ko primerov:

\begin{wrapfigure}{r}{0.5\textwidth} \epsfxsize =0.45\textwidth \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{fig/f04.ai}\hss} \end{wrapfigure}
Ris. 4.

1. Shar radiusa $ R$ imeet postoyannuyu plotnost' $ \rho=$ const. Ochevidno, chto reshenie uravneniya (1.1) imeet vid

$\displaystyle \varphi=kr^2+$const$\displaystyle . $

Podstavlyaya eto reshenie v uravnenie (1.1), poluchim

$\displaystyle \Delta\varphi=6k=4\pi G \rho $

i naidem, chto

$\displaystyle \varphi={2\pi \over 3}G\;\rho\;r^2+$const$\displaystyle \;(r\le R). $

Snaruzhi, pri $ r>R$, imeem $ \varphi=-GM/r$. Znachenie const nahodim iz usloviya nepreryvnosti potenciala pri $ r=R$ (sm. ris. 4) (proizvodnye pri etom sshivayutsya avtomaticheski):

$\displaystyle \left.-{GM \over r}\right\vert _R=\left.{2\pi \over 3}G\;\rho\;r^2 \right\vert _R +$const$\displaystyle . $

Uchtem, chto $ M={4\pi \over 3}\rho R^3$, i poluchim

$\displaystyle \varphi={2\pi \over 3}G\;\rho\;r^2-2\pi \;G \;\rho\;R^2=-{GM \over R}\left( {3\over 2}-{1\over 2}{r^2\over R^2}\right)\quad($ pri$\displaystyle ~r\le R). $

2. Teper' predpolozhim, chto

$\displaystyle \rho(r)=\mu \delta\;(r-R) $

( $ \delta(r-R)$ -- del'ta-funkciya Diraka), t.e. $ \rho=0$ pri $ r<R$ i $ r>R$, a massa

$\displaystyle M=4\pi\;\int\limits_0^\infty \rho(r)r^2dr=4\pi \mu R^2. $

Ochevidno, chto $ \mu$ imeet smysl poverhnostnoi plotnosti (razmernost' $ [\mu]=$g/sm$ ^2$). Poskol'ku $ a=d \varphi/ dr=0$ vnutri sfery $ R$, yasno, chto $ \varphi =$ const pri $ r<R$. Snaruzhi po-prezhnemu $ \varphi=-GM/r$. Sshivaya potencial pri $ r=R$, poluchim (ris. 5)

\begin{displaymath} \varphi=\left\{ \begin{array}{ll} -\frac{GM}{R} \quad & (r\... ... & \cr -\frac{GM}{r} \quad & (r\ge R). \cr \end{array}\right. \end{displaymath}

\begin{figure*}\centerline{ \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfxsize=0.45\textwidth... ... \vbox{\hsize=0.45\textwidth} \hss \vbox{\hsize=0.45\textwidth} }\end{figure*}
Ris. 5.Ris. 6.

My vidim, chto v etom sluchae $ d \varphi/ dr$ imeet razryv (ris. 6). Mozhno pokazat', chto etot rezul'tat sovershenno obshii: konechnaya massa, sosredotochennaya v beskonechno tonkom sloe s konechnoi poverhnost'yu, daet razryv normal'noi proizvodnoi potenciala:

$\displaystyle \left.{d\varphi \over dn}\right\vert _1-\left.{d\varphi \over dn}\right\vert _2=4\pi G \mu. $

3. Dano: $ \varphi=-GM/r$. Chemu ravno $ \Delta\varphi$? Neposredstvennoe vychislenie proizvodnyh daet nul' vezde, za isklyucheniem tochki $ r=0$. V samom dele

$\displaystyle {1\over r}={1\over \sqrt{x^2+y^2+z^2}},\quad{\partial^2 r^{-1} \over \partial x^2}= {2x^2-y^2-z^2 \over (x^2+y^2+z^2)^{5/2}}, $

i legko ubedimsya, chto $ \Delta\varphi=0$, krome $ x=y=z=0$, gde imeem neopredelennost' 0/0.

Eshe proshe v dannom sluchae vychislenie v sfericheskih koordinatah. Dlya potenciala, ne zavisyashego ot ugla $ \Delta \varphi={1 \over r^2} {\partial \over \partial r}r^2{\partial\varphi\over\partial r}$, i podstavlyaya $ \varphi=1/r$, snova poluchim $ \Delta\varphi=0$. Odnako nepravil'no bylo by otvechat', chto vezde $ \Delta(1/r)=0$. Takoi otvet ne veren, tak kak potok $ d \varphi/ dr$ cherez lyubuyu poverhnost', okruzhayushuyu nachalo koordinat, otlichen ot nulya i raven $ 4\pi GM$. Pravil'nyi otvet:

$\displaystyle \Delta\varphi=4\pi\;Gm\delta_3(\vec r). $

Zdes' $ \delta_3(\vec r)$ -- trehmernaya del'ta-funkciya Diraka. Takim obrazom, otvechaya, chto $ \Delta\varphi=0$, nuzhno dobavit': vezde, krome nachala koordinat, gde vtorye proizvodnye ot $ \varphi$ stremyatsya k beskonechnosti.

4. Rassmotrim teper' obshii sluchai sfericheski-simmetrichnogo raspredeleniya plotnosti $ \rho (r)$. Opredelim, kak ran'she, tekushuyu massu

$\displaystyle m(r)=4\pi \int\limits_0^r\;\rho (q)q^2dq\,. $

Integriruya uravnenie Puassona, posledovatel'no poluchim

\begin{displaymath} \begin{array}{ll} \varphi(r)&=\int\limits_\infty^r {d\;\varp... ...over r}-G\int\limits_r^\infty {dm(q)\over q}\;. \cr \end{array}\end{displaymath}

Cmysl poluchennogo vyrazheniya dlya $ \varphi$ legko ponyat'. Pervyi chlen -- eto potencial sfericheski-simmetrichnoi massy, raspolozhennoi vnutri sfery radiusa $ r$. Vtoroi chlen yavlyaetsya summoi potencialov ot vneshnih sloev.

C uchetom sootnosheniya dlya $ m(r)$ zapishem vyrazhenie dlya potenciala v vide

$\displaystyle \varphi(r)=-4\pi\;G\left({1\over r}\int\limits_0^r \rho(q)q^2dq+\int\limits_r^R \rho(q)qdq\right). $

V poslednem integrale my zamenili verhnii predel $ \infty$ na $ R$, predpolagaya, chto pri $ r>R$ plotnost' $ \rho=0$.



<< 1.2 Vektornoe pole uskorenii ... | Oglavlenie | 1.4 Energiya gravitacionnogo vzaimodeistviya >>

Publikacii s klyuchevymi slovami: Evolyuciya zvezd - vnutrennee stroenie zvezd - termoyadernye reakcii - fizicheskie processy
Publikacii so slovami: Evolyuciya zvezd - vnutrennee stroenie zvezd - termoyadernye reakcii - fizicheskie processy
Sm. takzhe:
Vse publikacii na tu zhe temu >>

Obsudit' etu publikaciyu
Ocenka: 3.0 [golosov: 120]
 
O reitinge
Versiya dlya pechati Raspechatat'

Astrometriya - Astronomicheskie instrumenty - Astronomicheskoe obrazovanie - Astrofizika - Istoriya astronomii - Kosmonavtika, issledovanie kosmosa - Lyubitel'skaya astronomiya - Planety i Solnechnaya sistema - Solnce

Astronet | Nauchnaya set' | GAISh MGU | Poisk po MGU | O proekte | Avtoram

Kommentarii, voprosy? Pishite: info@astronet.ru ili syuda

Rambler's Top100 Yandeks citirovaniya