Astronet > 1.5 Davlenie gaza. Uravnenie ravnovesiya zvezdy

po tekstam po klyuchevym slovam v glossarii po saitam perevod po katalogu

Fizicheskie osnovy stroeniya i evolyucii zvezd

<< 1.4 Energiya gravitacionnogo vzaim... | Oglavlenie | 1.6 Osnovy termodinamiki zvezd >>

1.5 Davlenie gaza. Uravnenie ravnovesiya
zvezdy

Dlya zvezdy, nahodyasheisya v ravnovesii, sila gravitacionnogo prityazheniya, deistvuyushaya na kakoi-libo element massy , dolzhna byt' skompensirovana ravnoi po velichine i protivopolozhnoi po napravleniyu siloi. Takaya uravnoveshivayushaya gravitaciyu sila v zvezdah obuslovlena davleniem veshestva (tochnee, gradientom davleniya).

V obshem sluchae davlenie yavlyaetsya velichinoi, pozvolyayushei opisat' silu, deistvuyushuyu na vydelennyi v zhidkosti ili gaze ob'em proizvol'noi formy so storony okruzhayushego ego veshestva, kak integral po razdelyayushei poverhnosti

$\displaystyle \vec F = -\int\limits_S Pd\vec S,$

(1.4)

gde davlenie

zavisit tol'ko ot sostoyaniya veshestva na etoi poverhnosti. Vektor $d\vec S=\vec n dS$ ( $\vec n$ -- normal' k elementu poverhnosti

) napravlen v lyuboi tochke naruzhu ot poverhnosti, poetomu v (1.4) pered integralom stoit znak minus. Iz (1.4) sleduet razmernost' davleniya

din/sm

Dlya zhidkosti, v kotoroi davlenie odnorodno ( const), imeem ochevidnoe vyrazhenie dlya sily, deistvuyushei na zamknutuyu poverhnost': $\vec F=0$ . Pust' teper' davlenie neodnorodno. V obshem sluchae v maloi okrestnosti nekotoroi tochki, raskladyvaya v ryad, mozhno zapisat':

$\displaystyle P=P_0+\vec r\, \nabla P+r_ir_k($ vtorye proizvodnye $\displaystyle )+ \cdots \; .$

(1.5)

Podstavlyaya (1.5) v (1.4), naidem, chto s tochnost'yu do velichin vtorogo poryadka malosti sila, deistvuyushaya na ob'em

, ogranichennyi poverhnost'yu

, ravna $d\vec F_P=-\nabla PdV$ , t.e. sila davleniya yavlyaetsya ob'emnoi siloi -- ona proporcional'na

i napravlena iz oblasti bol'shego davleniya v oblast' men'shego. Massa ob'ema

ravna $dm=\rho \;dV$ . Sila gravitacionnogo prityazheniya, kotoraya yavlyaetsya massovoi siloi, ravna $d\vec F_g= -\nabla\varphi dm$ .

V ravnovesii dlya nevrashayusheisya zvezdy eti dve sily dolzhny kompensirovat' drug druga, t.e.

$\displaystyle d\vec F=-\nabla\varphi \;dm-\nabla PdV=0 \; .$

Okonchatel'no uslovie mehanicheskogo ravnovesiya zapisyvaetsya v vide

$\displaystyle {1\over \rho} \,\nabla P+\nabla \varphi=0.$

$\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth} \epsfxsize =0.5\textwidth \hbox to0.5\textwidth{\epsfbox{fig/f07.ai}\hss} \end{wrapfigure}$

Ris. 7.

Dlya sfericheski-simmetrichnyh zvezd uravnenie gidrostaticheskogo ravnovesiya imeet vid

$\displaystyle {1\over \rho} \,{dP\over dr}+{Gm(r)\over r^2}=0.$

(1.6)

Sila gravitacionnogo prityazheniya napravlena k centru zvezdy. Uravnoveshivayushaya sila davleniya proporcional'na $- \,\nabla P$ , t.e. dlya podderzhaniya ravnovesiya zvezdy davlenie dolzhno s neobhodimost'yu monotonno rasti ot poverhnosti k centru zvezdy.

Vydelim vnutri zvezdy edinichnyi cilindricheskii ob'em ( $dV=dSdr=1 \;$ sm $^3, dr=1 \;$ sm $, dS=1 \;$ sm) tak, chtoby osnovaniya cilindra byli perpendikulyarny radiusu. Dlya takogo ob'ema sila, obuslovlennaya davleniem, ravna $-{dP\over dr} \;[$ din/sm. Vydelim teper' sharovoi sektor s rastvorom telesnogo ugla $d \Omega$ (sm. ris. 7). Kazalos' by, poskol'ku sila davleniya na vneshnyuyu poverhnost' sharovogo sektora ravna ${r^2}Pd\Omega$ , to rezul'tiruyushaya sila davleniya, deistvuyushaya na edinichnyi ob'em etogo sektora, ravna $-{1\over r^2} \, {d\over dr} \,({r^2}P)$ . Ne budet li bolee pravil'nym podstavlyat' eto vyrazhenie v (1.6) vmesto velichiny $-{dP\over dr}$ ? Okazyvaetsya net. Pri vyvode sily, deistvuyushei na sharovoi sektor, my ne uchli davlenie na bokovye poverhnosti sektora, chto daet dobavochnuyu silu vdol' radiusa ${P\over r^2} \, {dr^2\over dr}$ . S uchetom poslednego my opyat' prihodim k vyrazheniyu dlya sily gazovogo davleniya $-{dP\over dr}$ .

V obshem sluchae neizotropnogo davleniya sleduet primenyat' vyrazhenie

$\displaystyle F_r=-{1\over r^2} \,{d({r^2}P_{rr})\over {dr}}+{P_{\theta \theta}\over r^2} {dr^2 \over dr},$

gde $P_{rr} \ne P_{\theta \theta}$ . Dlya obychnyh gazovyh zvezd davlenie izotropno -- vypolnyaetsya zakon Paskalya: $P_{rr}=P_{\theta \theta}$ i $F_r=-{dP\over dr}$ .

Predpolozhim, chto nam izvestno uravnenie sostoyaniya v vide $P=P \,(\rho)$ , t.e. davlenie yavlyaetsya funkciei tol'ko plotnosti. Zadadimsya znacheniyami v centre $\rho_c$ i $P_c \;(r=0)$ . Togda imeem sistemu dvuh obyknovennyh differencial'nyh uravnenii pervogo poryadka:

$\displaystyle {1\over \rho} \,{dP\over d \,\rho} \,{d \,\rho\over dr}=-{Gm(r)\over r^2},$

(1.7)

$\displaystyle {dm\over dr}=4\pi \rho \; r^2,$

(1.8)

reshaya kotoruyu, poluchaem raspredelenie plotnosti i davleniya vdol' radiusa.

Rassmotrim asimptoticheskoe povedenie resheniya v centre ( $r \to 0$ ) i na krayu zvezdy ( $r \to R$ ). Pri $r \to 0$ poluchim

$\displaystyle m \approx {4\pi\over 3} \;\rho_c r^3,$

$\displaystyle P=P_c-k_1 r^2=P_c-{2\pi\over 3}G{\rho_c}^2 r^2,$

$\displaystyle \rho=\rho_c-k_2 r^2=\rho_c-{\left(\partial P\over \partial \;\rho\right)}^{-1} {2\pi\over 3}G\rho_c^2 r^2,$

t.e. v centre

i ${d\rho/dr}=0$ .

Na krayu zvezdy imeem i, integriruya uravnenie ravnovesiya (1.7), poluchim

$\displaystyle \int {dP\over \rho}={GM\over r}+$ const $\displaystyle .$

Dlya togo chtoby zvezda imela opredelennuyu vneshnyuyu granicu, integral $\int{dP/ \rho}$ dolzhen shodit'sya pri $\rho \to 0$ . Naprimer, dlya izotermicheskoi atmosfery $P \,\sim \,\rho T \;(T=$ const

integral rashoditsya, t.e. izotermicheskaya atmosfera dolzhna byt' beskonechna.

Esli davlenie yavlyaetsya stepennoi funkciei plotnosti $P=K \,\rho^\gamma$ , to neobhodimym (no ne dostatochnym) usloviem konechnosti atmosfery yavlyaetsya $\gamma> 1$ . V etom sluchae

$\displaystyle \rho^{\gamma-1}\sim \,A+{GM\over r}.$

Iz usloviya $\rho \to 0$ pri $r \to R$ poluchim $A+{GM\over R}=0$ i

$\displaystyle \rho^{\gamma-1} \,\sim \,M\left({1\over r}-{1\over R}\right) \,\s... ..., {{M(R-r)} \over R^2}, \; \mbox{t.e.} \;\rho \sim {(R-r)}^{1\over {\gamma-1}}$

vblizi kraya zvezdy. Dlya chastnogo, no vstrechayushegosya chasto sluchaya $\gamma=4/3 \; (\rho \sim T^3, \;P \sim \rho T \sim \rho^{4/3})$ , poluchim $\rho \sim {(R-r)}^3\;$ pri $\; r \to R$ .

$\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth} \epsfxsize =0.45\textwidth \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{fig/f08.ai}\hss} \end{wrapfigure}$

Ris. 8.

Pri opredelennom uravnenii sostoyaniya $P(\rho)$ ne vsegda mozhno reshit' zadachu dlya dannoi massy (mozhet okazat'sya, chto reshenii dlya vybrannoi massy voobshe ne sushestvuet). Odnako, zadavayas' central'noi plotnost'yu $\rho_c$ , mozhno naiti nabor reshenii s razlichnymi massami, t.e. postroit' krivuyu $M(\rho_c)$ (ris. 8). Posle etogo uzhe vidno, kakie resheniya sootvetstvuyut dannoi masse, pri kakih massah sushestvuyut resheniya (t.e. sostoyaniya ravnovesiya) i t.p.

Takoi zhe podhod primenim i v OTO. Kachestvenno vse ostaetsya po-prezhnemu: reshenie mozhno nahodit', integriruya ot centra, tak kak vneshnie sloi ne sozdayut uskoreniya.

<< 1.4 Energiya gravitacionnogo vzaim... | Oglavlenie | 1.6 Osnovy termodinamiki zvezd >>

Publikacii s klyuchevymi slovami: Evolyuciya zvezd - vnutrennee stroenie zvezd - termoyadernye reakcii - fizicheskie processy Publikacii so slovami: Evolyuciya zvezd - vnutrennee stroenie zvezd - termoyadernye reakcii - fizicheskie processy
Sm. takzhe: Pererabotka veshestva v Kassiopee A NGC 7789: Roza Karoliny Planetarnaya tumannost' NGC 2818 ot Habbla Nauchnaya konferenciya "Nablyudaemye proyavleniya evolyucii zvezd" v SAO RAN Planetarnye tumannosti Proshlye i budushie zvezdy Andromedy Tumannost' Ozherel'e Vse publikacii na tu zhe temu >>

Obsudit' etu publikaciyu

Versiya dlya pechati

Astrometriya - Astronomicheskie instrumenty - Astronomicheskoe obrazovanie - Astrofizika - Istoriya astronomii - Kosmonavtika, issledovanie kosmosa - Lyubitel'skaya astronomiya - Planety i Solnechnaya sistema - Solnce