---

<< Lekciya 2. Geodezicheskie sistemy koordinat | Oglavlenie | Lekciya 4. Sfericheskie funkcii >>

Razdely

• 3.1 Formuly Grina
• 3.2 Garmonicheskie funkcii
• 3.3 Sharovye funkcii

---

Lekciya 3. Osnovnye formuly teorii potenciala

Integral Dirihle, pervaya, vtoraya i tret'ya formuly Grina. Garmonicheskie funkcii i ih svoistva, teoremy o garmonicheskih funkciyah. Sharovye i sfericheskie funkcii. Differencial'noe uravnenie dlya sfericheskih funkcii i ego reshenie.

V dannom razdele perechislim bez vyvoda osnovnye formuly teorii potenciala, kotorye nahodyat primenenie v teorii figury Zemli. Ostanovimsya lish' na nekotoryh, naibolee vazhnyh teoremah.

Vvedem vektornyi operator nabla :

, gde -- edinichnye, vzaimno ortogonal'nye vektora. S vektornym operatorom mozhno obrashat'sya, kak s obyknovennym vektorom. Naprimer, skalyarnoe proizvedenie dvuh operatorov nabla daet operator Laplasa: .

Dopustim, chto v nashem rasporyazhenii imeetsya nekotoraya skalyarnaya funkciya . Togda

3.1 Formuly Grina

3.1.1 Formula Ostrogradskogo

S pomosh'yu operatora Laplasa integrirovanie po ob'emu mozhno zamenit' integrirovaniem po poverhnosti. V dal'neishem dlya oboznacheniya predelov integrirovaniya my budem ispol'zovat' sleduyushii priem. Vse dvukratnye ili trehkratnye integraly my budem izobrazhat' odnokratnym integralom. Pod integralom budem ispol'zovat' simvol () esli integrirovanie vedetsya po telu, ogranichennomu poverhnost'yu , ili prosto znachkom , esli integrirovanie vedetsya po poverhnosti . S etimi gde ogovorkami formula Ostrogradskogo (3.1) prinimaet vid

gde -- element ob'ema, -- element poverhnosti, a bukvoi oboznachena vneshnyaya normal'.

3.1.2 Pervaya formula Grina

Vvedem oboznachenie operatora

togda pervaya formula Grina primet vid

Integral po ob'emu ot funkcii nazyvaetsya integralom Dirihle:

Ochevidno, chto v formule Grina funkcii i mozhno menyat' mestami, to est' vmesto (3.3) mozhno napisat'

3.1.3 Vtoraya formula Grina

Vychitaya levye i pravye chasti formul (3.3) i (3.5), poluchim vtoruyu formulu Grina

3.1.4 Tret'ya formula Grina

Rassmotrim chastnyi sluchai, kogda , gde -- rasstoyanie mezhdu dvumya tochkami P(x,y,z) i Pervaya tochka imeet fiksirovannye koordinaty, a vtoraya -- prinadlezhit telu i imeet tekushie koordinaty, prinadlezhashie elementu ob'ema. Togda

Netrudno ubedit'sya, chto dlya , imeet mesto ravenstvo . Imeem

Prodelaem sleduyushie vykladki

Obratimsya snova k vtoroi formule Grina. Perepishem ee dlya sluchaya, kogda . Vozmozhny tri varianta, kogda tochka lezhit vne tela, vnutri ego i na poverhnosti, kotoroe ogranichivaet eto telo.

• Tochka R -- vneshnyaya. V etom sluchae vo vsem vnutrennem prostranstve tela, po kotoromu vedetsya integrirovanie, radius-vektor r ne obrashaetsya v nul' i . Vtoraya formula Grina (3.6) prinimaet vid

  (3.7)

  
  
  My poluchili tret'yu formulu Grina dlya vneshnei tochki.

• Tochka R -- vnutrennyaya. V odnoi tochke vnutrennego prostranstva radius-vektor obrashaetsya v nul' i funkciya obrashaetsya v beskonechnost'. Opishem vokrug etoi tochki sferu s malym radiusom. Integrirovanie po telu, ogranichennomu poverhnost'yu , mozhno razbit' na dva etapa: integrirovaniyu po vsem tochkam tela, isklyuchaya maluyu sferu, soderzhashuyu tochku , i integrirovanie po malomu sharu, ogranichennomu maloi sferoi :
  
  gde -- telo s vykolotoi tochkoi . Poskol'ku vo vsem vnutrennem prostranstve , to pervoe slagaemoe v pravoi chasti poluchennoi formuly obrashaetsya v nul', tak kak . Zaimemsya vtorym slagaemym. Budem schitat', chto radius maloi sfery nastol'ko mal, chto funkciyu vnutri etoi sfery -- postoyannaya velichina. Togda
  

  Vospol'zuemsya formuloi Ostrogradskogo, v kotoroi polozhim , togda vmesto integrirovaniya po ob'emu budem integrirovat' po poverhnosti maloi sfery

  

  Otnoshenie est' elementarnyi telesnyi ugol , pod kotorym "viden" iz tochki element poverhnosti sfery. Ponyatno, chto, esli tochka nahoditsya vnutri etoi sfery, to rassmatrivaemyi integral budet raven polnomu telesnomu uglu, po kotorym vidna poverhnost' sfery iznutri. Ochevidno, chto on raven , to est'

  

  Perepishem formulu (3.6) v sleduyushem vide

  
  V sluchae , dlya vneshnei tochki poluchim

  (3.8)

  
  

• Tochka P lezhit na poverhnosti. Tretii sluchai -- eto kogda tochka ne yavlyaetsya ni vnutrennei ni vneshnei: ona lezhit na poverhnosti tela. Mozhno pokazat', chto v etom sluchae
  
  noindent poetomu tret'ya formula Grina prinimaet vid

  (3.9)

  
  

  Formuly (3.7), (3.8) i (3.9) mozhno zapisat' odnoi formuloi

  (3.10)

  
  

3.2 Garmonicheskie funkcii

Garmonicheskoi funkciei koordinat nazyvaetsya funkciya, nepreryvnaya vmeste so svoimi pervymi i vtorymi proizvodnymi v nekotoroi oblasti , udovletvoryayushaya vo vseh tochkah etoi oblasti uravneniyu Laplasa .

3.2.1 Svoistva garmonicheskih funkcii

1. Lineinaya kombinaciya dvuh i bolee garmonicheskih funkcii est' funkciya garmonicheskaya.

   Pust' U(x,y,z) i V(x,y,z) -- dve garmonicheskie funkcii, to est' i . Voz'mem ih lineinuyu kombinaciyu . Ochevidno, chto . Poskol'ku , , to i , chto i dokazyvaet nashe utverzhdenie.

2. Esli -- garmonicheskaya funkciya, to vse ee chastnye proizvodnye garmonicheskie funkcii. Dokazatel'stvo osnovano na vzaimnoi perestavimosti operatora Laplasa i proizvodnyh. Pust'
   
   togda
   

3. Lineinoe preobrazovanie koordinat (povorot osei, izmenenie masshtaba) ne narushaet svoistvo garmonichnosti.

   Pust' -- garmonicheskaya funkciya. Vvedem novye koordinaty

   

   V matrichnom vide privedennoe ravenstvo vyglyadit sleduyushim obrazom

   
   ili
   

   Podstavim v funkciyu lineinye vyrazheniya dlya , , , dlya chego vospol'zuemsya vtorym iz privedennyh vyshe ravenstv, poluchim V( . Dokazhem, chto esli funkciya garmonicheskaya, to i yavlyaetsya garmonicheskoi funkciei.

   Ochevidno, chto

   

   Analogichno

   
   

   Zapishem poluchennye ravenstva v matrichnoi forme

   

   Poskol'ku operator Laplasa est' kvadrat vektornogo operatora nabla , to

   

   V pravoi chasti budem imet'

   

   Poskol'ku matricy napravlyayushih kosinusov yavlyayutsya ortonormirovannymi, ih proizvedeniya ravny edinichnoi matrice i operator Laplasa prinimaet vid

   

   Otsyuda sleduet, chto operator Laplasa yavlyaetsya invariantom po otnosheniyu k povorotu osei, a pri izmenenii masshtaba mnozhitelem s izmenyaetsya na mnozhitel' . Drugimi slovami, esli , to .

3.2.2 Teoremy o garmonicheskih funkciyah

1. Teorema Gaussa: Potok gradienta garmonicheskoi funkcii cherez zamknutuyu poverhnost' raven nulyu. Potokom nazyvaetsya integral po zadannoi poverhnosti ot normal'noi proizvodnoi funkcii.

   Pust' -- garmonicheskaya funkciya. Predpolozhim, chto zadana zamknutaya poverhnost' S, ogranichivayushaya oblast', vnutri kotoroi eta funkciya -- garmonicheskaya. Togda, ispol'zuya formulu Ostrogradskogo (3.1), poluchim

   

   No tak kak funkciya garmonicheskaya, to , poetomu

   

   V sluchae, kogda -- potencial prityazheniya, to spravedlivo uravnenie Puassona , gde -- plotnost' prityagivayushih mass. Togda formula (3.1) privodit k formule Gaussa.

   (3.11)

   
   

2. Garmonicheskaya funkciya v zamknutoi oblasti D ne imeet ni minimuma, ni maksimuma.

   Prepolozhim obratnoe: vnutri oblasti sushestvuet tochka , v kotoroi garmonicheskaya funkciya imeet maksimum. V maloi okrestnosti etoi tochki na sfere normal'naya proizvodnaya funkcii budet otricatel'noi, togda , chto protivorechit teoreme Gaussa.

3. textitPotencial prityazheniya vne prityagivayushih mass ne mozhet imet' ni minimuma, ni maksimuma; vnutri etoi oblasti mozhet imet' tol'ko maksimum.

   Lyubaya oblast' vne prityagivayushego tela est' oblast' opredeleniya garmonicheskoi funkcii, vnutri kotoroi, soglasno teoreme 2, ne mozhet imet' ni minimuma, ni maksimuma. Predpolozhim obratnoe: vnutri prityagivayushego tela sushestvuet tochka , v kotoroi potencial prityazheniya dostigaet minimuma. V etoi tochke spravedlivo uravnenie Puassona . Po formule Ostrogradskogo budem imet'

   

   My prishli k protivorechiyu: vsledstvie minimuma vnutri maloi sfery, normal'naya proizvodnaya na poverhnosti etoi sfery budet polozhitel'noi, sledovatel'no i privedennye vyshe integraly budut polozhitel'ny, chto protivorechit sdelannomu vyshe vyvodu. Takim obrazom, teoremu mozhno schitat' dokazannoi.

4. Teorema Gaussa. Znachenie garmonicheskoi funkcii v centre sfery ravno srednemu iz znachenii etoi funkcii na poverhnosti.

   Obratimsya k tret'ei formule Grina, kogda tochka vnutrennyaya. Dlya garmonicheskoi funkcii , poetomu na sfere formula (3.8) prinimaet vid

   
   Na poverhnosti sfery normal'naya proizvodnaya sovpadaet s proizvodnoi po radius-vektoru, poetomu
   
   Krome togo, na poverhnosti sfery , poetomu
   
   no soglasno teoreme Gaussa o potoke pervoe slagaemoe v poluchennom vyrazhenii ravno nulyu, to est'
   
   chto i trebovalos' dokazat'.

3.3 Sharovye funkcii

Sharovoi funkciei stepeni nazyvaetsya garmonicheskaya funkciya, yavlyayushayasya odnorodnym stepennym polinomom vida

gde -- postoyannye. Voz'mem sfericheskuyu sistemu koordinat

gde -- dolgota, -- polyarnoe rasstoyanie, -- radius-vektor tochki . Ochevidno, chto

Funkciya vida

nazyvaetsya sfericheskoi funkciei.

Itak, sharovaya funkciya stepeni imeet vid

Sushestvuet i drugoi klass sharovyh funkcii, kotoryi privedem zdes' bez vyvoda

gde -- ta zhe sfericheskaya funkciya, kotoraya vhodit i v formulu (3.16).

Chislo postoyannyh sharovoi funkcii stepeni ravno . Ubedimsya v etom na pri mere sharovoi funkcii tret'ei stepeni:

Vsego odnorodnyi polinom tret'ei stepeni imeet 10 postoyannyh. Odnako ne vse postoyannye nezavisimy. Sharovye funkcii podchinyayutsya uravneniyu Laplasa. Vypolniv neobhodimye vykladki, poluchim

Sledovatel'no, iz 10 postoyannyh 3 lineino svyazany uravneniem Laplasa. Ostaetsya 10-3=7 nezavisimyh postoyannyh.

3.3.1 Differencial'noe uravnenie dlya sfericheskih funkcii

Poskol'ku sharovye funkcii udovletvoryayut uravneniyu Laplasa, to est'

to dolzhny vypolnyat'sya i uravneniya

V poslednem variante sharovye funkcii zapisany v sfericheskih koordinatah, poetomu nam neobhodimo uravnenie Laplasa perepisat' takzhe v sfericheskih koordinatah.

Iz differencial'noi geometrii izvestno, chto esli , , -- obobshennye koordinaty, to element dugi v etoi sisteme koordinat budet imet' vid

gde , , -- koefficienty Lame:

Teper' operator Laplasa mozhno opredelit' sleduyushim obrazom (bez vyvoda)

Opredelim koefficienty Lame dlya sfericheskoi sistemy koordinat. V dannom sluchae , , , poetomu

Operator Laplasa dlya sfericheskih koordinat budet vyglyadet' tak

Primenim etot operator k sharovoi funkcii vida Ochevidno, chto operator Laplasa dlya sharovoi funkcii raven nulyu, poetomu

Takim obrazom, differencial'noe uravnenie dlya sfericheskoi funkcii poryadka imeet vid

Predlagaem samostoyatel'no ubedit'sya v tom, chto differencial'noe uravnenie dlya funkcii vhodyashuyu v sharovuyu funkciyu vtorogo roda sovpadaet s uravneniem (3.20).

3.3.2 Integrirovanie differencial'nogo uravneniya

Zamenim peremennuyu na . togda . Ochevidno, chto

poetomu differencial'noe uravnenie (3.20) mozhno perepisat' tak

Budem iskat' reshenie etogo uravneniya v vide . Podstaviv eto vyrazhenie v differencial'noe uravnenie, budem imet'

Umnozhiv kazhdyi chlen poluchennogo vyrazheniya na i podeliv na , poluchim

Vidim, chto pervye dva chlena zavisyat tol'ko ot , a poslednii -- tol'ko ot Dlya togo, chtoby uravnenie vypolnyalos' dlya lyubyh i , neobhodimo, chtoby eti funkcii vyrodilis' v konstanty. Naprimer, uravnenie budet vypolnyat'sya, esli

Vtoroe uravnenie est' uravnenie garmonicheskih kolebanii

Ego reshenie dlya lyubyh deistvitel'nyh znachenii imeet vid

gde i -- postoyannye integrirovaniya. Reshenie pervogo iz privedennyh vyshe uravnenii, zavisit kak ot postoyannoi , tak i ot postoyannoi . Oboznachiv reshenie cherez , poluchim

Funkciya pri celochislennyh znacheniyah nosit nazvanie prisoedinennoi (associativnoi) funkcii Lezhandra. V sluchae , eti funkcii stanovyatsya stepennymi polinomami, kotorye nazyvayutsya polinomami Lezhandra. Polagaya v uravnenii (3.23) , poluchim differencial'noe uravnenie dlya polinomov Lezhandra

V teorii special'nyh funkcii svoistva funkcii i polinomov Lezhandra dostatochno horosho izucheny. Privedem lish' nekotorye svedeniya (bez vyvoda), kotorye mogut prigodit'sya v nashem kurse. Prisoedinennye funkcii Lezhandra i polinomy Lezhandra svyazany mezhdu soboi sootnosheniem

Podvodya itog skazannomu, vypishem okonchatel'nyi vid resheniya differencial'nogo uravneniya dlya sfericheskih funkcii

Zametim, chto poryadok proizvodnoi v (3.25) ne mozhet byt' bol'she stepeni polinoma Lezhandra. Po etoi prichine postoyannye i nazyvayut stepen'yu i poryadkom sfericheskih funkcii.

---

<< Lekciya 2. Geodezicheskie sistemy koordinat | Oglavlenie | Lekciya 4. Sfericheskie funkcii >>

Publikacii s klyuchevymi slovami: gravimetriya - potencial - gravitacionnoe pole - figura Zemli - geodeziya Publikacii so slovami: gravimetriya - potencial - gravitacionnoe pole - figura Zemli - geodeziya
Sm. takzhe: Sagitovskie chteniya - 2007 Venera: proletaya mimo Sagitovskie chteniya - 2006 K 90-letiyu Nikolaya Panteleimonovicha Grushinskogo Sagitovskie chteniya - 2005 Prosteishaya forma predstavleniya gradienta gravitacionnogo potenciala nebesnyh tel Gora Olimp s orbity Vse publikacii na tu zhe temu >>