<< Lekciya 3. Teoriya potenciala | Oglavlenie | Lekciya 5. Analiticheskoe predstavlenie ... >>
- 4.1 Polinomy Lezhandra i ih svoistva
- 4.2 Normirovannye sfericheskie funkcii
- 4.3 Analiticheskoe predstavlenie funkcii, zadannoi na poverhnosti sfery, ryadom Laplasa
Lekciya 4. Sfericheskie funkcii
Polinomy Lezhandra i sfericheskie funkcii. Ortogonal'nost' sfericheskih funkcii. Normirovanie. Ryad Laplasa. Analiticheskoe predstavlenie funkcii, zadannyh na sfere. Funkcii Laplasa.
4.1 Polinomy Lezhandra i ih svoistva
Kak my videli, dlya vychisleniya sfericheskih funkcii neobhodimo pol'zovat'sya polinomami i funkciyami Lezhandra, kotorye vhodyat v analiticheskii vid sfericheskoi funkcii. Dlya vychislenii znachenii polinomov, i vypolneniya ryada analiticheskih vykladok ves'ma poleznymi yavlyayutsya nekotorye svoistva polinomov, na kotoryh my zdes' ostanovimsya.
Rekurrentnaya formula pozvolyaet vychislit' polinom 
stepeni, esli izvestny znacheniya polinomov 
i 
stepenei
Proizvodyashaya funkciya polinomov Lezhandra ispol'zuetsya v predstavlenii potenciala prityazheniya ryadom po sfericheskim funkciyam. Ona imeet vid
4.1.1 Ortogonal'nost' sfericheskii funkcii
Ortogonal'nost' polinomov Lezhandra opredelyaetsya formuloi
gde
-- simvol Kronekera. Prisoedinennye funkcii Lezhandra
takzhe obladayut svoistvom ortogonal'nosti. Iz teorii special'nyh funkcii
izvestno, chto
Sfericheskie funkcii takzhe obrazuyut klass ortogonal'nyh funkcii. Dokazhem
svoistvo ortogonal'nosti sfericheskih funkcii.
Voz'mem dve sharovye funkcii pervogo roda
i
.
Primenim k nim vtoruyu formulu Grina dlya sfery. Uchityvaya, chto
, formula Grina
prinimaet vid
Dlya sfery proizvodnaya po normali sovpadaet s proizvodnoi po radius-vektoru
, poetomu
Podstavlyaya poluchennye vyrazheniya v formulu (4.5), budem imet'
Poskol'ku radius-vektor -- postoyannaya velichina, poluchennoe vyrazhenie mozhno perepisat' v sleduyushem vide
Pri 
privedennyi integral raven nulyu, chto ukazyvaet na
ortogonal'nost' sfericheskih funkcii.
Vernemsya teper' k sfericheskim funkciyam stepeni , zadannoi v obshem vide
Funkcii vida
nazyvayutsya sfericheskimi garmonikami. Ochevidno, chto
,
. Mozhno pokazat', chto
Vse osnovnye vykladki mozhno naiti v uchebnikah po special'nym funkciyam.
4.2 Normirovannye sfericheskie funkcii
Kak my videli, srednie znacheniya kvadratov sfericheskih garmonik dostatochno
slozhno vyrazhayutsya cherez postoyannye 
i . Odnako, kazhduyu iz garmonik mozhno
umnozhit' na postoyannye tak, chtoby integraly v formulah (4.9) byli ravny
edinice. Eta operaciya nazyvaetsya normirovkoi. Oboznachaya chertoi sverhu normirovannye funkcii,
mozhno zapisat'
gde
-- normirovochnyi mnozhitel'. Vyberem ego tak, chtoby
vypolnyalis' ravenstva
Obrashayas' k formulam (4.9) legko ustanavlivaem, chto
Poluchennuyu formulu mozhno perepisat' sleduyushim obrazom
Operacii normirovki podvergayut ne tol'ko sfericheskie garmoniki, no i polinomy i funkcii Lezhandra. V chastnosti, esli normirovannaya sfericheskaya funkciya imeet vid
to
4.3 Analiticheskoe predstavlenie funkcii, zadannoi na poverhnosti sfery, ryadom Laplasa
Svoistvo ortogonal'nosti sfericheskih funkcii delaet ih nezamenimymi dlya analiticheskogo predstavleniya fizicheskogo polya, rel'efa ili drugih velichin, zadannyh v vide karty na sfericheskoi poverhnosti. Sfericheskie funkcii igrayut tu zhe rol', chto i trigonometricheskie dlya priblizhennogo predstavleniya proizvol'noi funkcii, zadannoi na otrezke ryadom Fur'e. Ryad, zadannyi v vide summy sfericheskih garmonik, inogda nazyvayut ryadom Laplasa.
Pust'
-- izvestnaya, kusochno-nepreryvnaya funkciya,
zadannaya v sfericheskih koordinatah. Approksimaciyu etoi funkcii zadadim v
vide konechnogo ryada, soderzhashego 
sfericheskih garmonik
Opredelim koefficienty etogo razlozheniya tak, chtoby funkciya
approksimirovala funkciyu
s
naimen'shim srednekvadraticheskim otkloneniem
Dlya opredeleniya koefficientov 
i 
vospol'zuemsya usloviyami
i , zadannye chisla. Vypolnyaya differencirovanie,
s uchetom (4.13), poluchim
V poluchennye vyrazheniya nuzhno podstavit' vmesto
pravuyu chast' formuly (4.13), zameniv v nei indeksy summirovaniya i na 
i
. My poluchim integraly vida
Vsledstvie ortogonal'nosti sfericheskih garmonik tol'ko te iz integralov otlichny ot nulya, kotorye soderzhat proizvedeniya odnoimennyh garmonik s odinakovymi indeksami. Vypolniv operacii, poluchim
Itak, nailuchshaya srednyaya kvadraticheskaya approksimaciya funkcii
zadannoi na sfere, mnogochlenom, sostavlennym iz normirovannyh
sfericheskih garmonik stepeni i poryadka , imeet vid
gde
-- normirovannaya prisoedinennaya funkciya
Lezhandra.
Special'noe issledovanie pokazalo, chto nash ryad pri neogranichennom uvelichenii
chisla chlenov pri nekotoryh dopolnitel'nyh usloviyah, nakladyvaemyh na funkciyu
, shoditsya. Odnako, issledovanie skorosti etoi
shodimosti lezhit za predelami nashego kursa.
4.3.1 Integral'naya forma ryada Laplasa
My uzhe govorili, chto razlozheniya vida (4.17) est' analog ryada Fur'e, v
kotorom rol' trigonometricheskih funkcii vypolnyayut sfericheskie funkcii.
Sushestvuet takzhe i analog integrala Fur'e -- integral'naya forma ryada
Laplasa. Dlya togo, chtoby ee poluchit', podstavim v (4.17) postoyannye
i ,
kotorye opredelyatsya s pomosh'yu integralov (4.16).
Peremennye,
po kotorym proizvoditsya integrirovanie my budem pomechat' shtrihom. Takim
obrazom
Prinimaya vo vnimanie, chto
poluchim
Dlya dal'neishego uprosheniya poluchennoi integral'noi formuly vospol'zuemsya tak nazyvaemoi teoremoi slozheniya sfericheskih funkcii.
Pust' tochka 
imeet postoyannye koordinaty, a tochka 
prinadlezhit elementu
poverhnosti i imeet shtrihovannye koordinaty. Oboznachim central'noe
rasstoyanie mezhdu etimi dvumya tochkami grecheskoi bukvoi 
. Togda teorema
slozheniya dlya normirovannyh sfericheskih funkcii vyglyadit tak
Teper' formulu (4.18) mozhno perepisat' sleduyushim obrazom
Kazhdoe slagaemoe v poluchennoi formule chasto nazyvayut funkciyami Laplasa
<< Lekciya 3. Teoriya potenciala | Oglavlenie | Lekciya 5. Analiticheskoe predstavlenie ... >>
|
Publikacii s klyuchevymi slovami:
gravimetriya - potencial - gravitacionnoe pole - figura Zemli - geodeziya
Publikacii so slovami: gravimetriya - potencial - gravitacionnoe pole - figura Zemli - geodeziya | |
Sm. takzhe:
Vse publikacii na tu zhe temu >> | |
