---

<< Lekciya 6. Normal'naya Zemlya | Oglavlenie | Lekciya 8. Figura geoida >>

Razdely

• 7.1 Formula Somil'yany
• 7.2 Normal'naya sila tyazhesti
• 7.3 Vtorye proizvodnye gravitacionnogo potenciala
• 7.4 Vtorye proizvodnye potenciala prityazheniya v okolozemnom prostranstve

---

Lekciya 7. Normal'noe pole tyazhesti Zemli

Formula Somil'yany. Normal'naya sila tyazhesti. Vtorye proizvodnye gravitacionnogo potenciala. Lokal'noe uravnenie poverhnosti urovnya. Krivizny i radiusy krivizny normal'nogo secheniya poverhnosti urovnya. Vtorye proizvodnye normal'nogo potenciala. Pervye i vtorye proizvodnye gravitacionnogo potenciala v okolozemnom prostranstve.

7.1 Formula Somil'yany

Ital'yanskii geodezist Somil'yana (Somigliana) v 1929 godu poluchil tochnuyu formulu, pokazyvayushuyu raspredelenie sily tyazhesti na urovennoi poverhnosti ellipsoida vrasheniya. Vopreki pravilam russkogo yazyka eta formula voshla v russkuyu literaturu kak formula Somil'yana, kak esli by ego familiya byla Somil'yan. My budem sklonyat' ego familiyu, poetomu dolzhny nazvat' ego formulu imenem Somil'yany.

Kak my videli, potencial prityazheniya ellipsoida v ellipsoidal'nyh koordinatah imeet vid (formula (6.17)):

Potencial tyazhesti otlichaetsya tem, chto additivno vklyuchaet v sebya centrobezhnyi potencial

Takim obrazom

Uchityvaya, chto , poluchim

gde oboznacheno

Dlya togo, chtoby poluchit' silu tyazhesti na poverhnosti ellipsoida , neobhodimo prodifferencirovat' funkciyu vdol' koordinatnoi linii Element dugi v etom sluchae raven , gde -- koefficient Lame, kotoryi, v dannom sluchae, raven

Takim obrazom, proizvodnuyu potenciala tyazhesti po normali k poverhnosti ellipsoida mozhno zapisat' tak

gde

Ochevidno, chto , no , , poetomu

Teper' udel'nuyu silu tyazhesti na poverhnosti ellipsoida mozhno zapisat' tak

My poluchili iskomuyu formulu dlya udel'noi sily tyazhesti na poverhnosti urovennogo ellipsoida. Odnako nam neobhodimo izbavit'sya ot postoyannyh i . Zametim, chto tochka , sootvetstvuet polyusu ellipsoida, a tochka , -- ekvatoru. Budem snabzhat' oboznachenie dlya sily tyazhesti sootvetstvenno indeksami i e. Iz (7.2) poluchim

to est'

Teper' formulu (7.2) mozhno perepisat' sleduyushim obrazom

Dlya togo, chtoby poluchit' formulu Somil'yany v okonchatel'nom vide, neobhodimo ot ellipsoidal'noi sistemy koordinat pereiti k geodezicheskoi. Sopostavim dve sistemy koordinat dlya tochek poverhnosti ellipsoida

gde (sm. lekciyu 2, razdel 2.4).

Poskol'ku ( ponyatiya dolgoty v geodezicheskoi i ellipsoidal'noi sistemah koordinat sovpadayut), poetomu

Otsyuda

Imeem ochevidnye vyrazheniya dlya svyazi i :

Posle neslozhnyh uproshenii, okonchatel'no poluchim formulu Somil'yany

7.2 Normal'naya sila tyazhesti

V geodezii i geofizike osnovnoi harakteristikoi gravitacionnogo polya yavlyayutsya gravitacionnye anomalii, poluchennye kak raznost' mezhdu nablyudennym znacheniem udel'noi sily tyazhesti i predvychislennym. Odnako sravnivat' eti znacheniya mozhno tol'ko, v sluchae kogda nablyudennoe i normal'noe znacheniya otnosyatsya k odnoi i toi zhe tochke prostranstva. V deistvitel'nosti zhe normal'nuyu silu tyazhesti otnosyat k obshemu zemnomu ellipsoidu, a nablyudennoe -- k fizicheskoi poverhnosti Zemli. Takie anomalii v geodezii imenuyut smeshannymi anomaliyami. Inogda nablyudennoe znachenie reduciruyut, to est' vnosyat popravki, pozvolyayushie vychislit' znachenie sily tyazhesti v drugoi tochke ili na drugoi poverhnosti. Pri etom ispol'zuyut tu ili inuyu gipotezu o stroenii verhnih sloev Zemli. V etom sluchae ponyatie gravitacionnye anomalii utochnyayut, naprimer gravitacionnye anomalii v redukcii Faya ili gravitacionnye anomalii v redukcii Glenni.

Itak, normal'noe znachenie sily tyazhesti otnosyat k obshemu zemnomu ellipsoidu, kotoroe mozhno vychislit' po strogoi formule (7.4). Eta formula strogaya lish' v tom sluchae, kogda poverhnost' ellipsoida est' poverhnost' urovnya, chego v deistvitel'nosti net. Na praktike v zadachah geodezii i geofiziki primenyayut priblizhennuyu formulu dlya normal'noi sily tyazhesti. Prichem chislennye znacheniya koefficientov, vhodyashie v etu formulu, utverzhdayut na General'noi assamblee Mezhdunarodnogo Soyuza geodezii i geofiziki.

Vernemsya k formule Somil'yany. Uprostim ee, otbrasyvaya malye velichiny poryadka kuba szhatiya. Vvedem v obrashenie ponyatiya geometricheskogo szhatiya i gravitacionnogo szhatiya . Obe velichiny my budem schitat' odnogo poryadka malosti. V formule Somil'yany my dolzhny zamenit' velichinoi , a vmesto vzyat' :

Razlagaya poluchennoe vyrazhenie v stepennoi ryad otnositel'no i , budem imet'

Poskol'ku , poluchennaya formula prinimaet vid

Itak, sila tyazhesti na poverhnosti ellipsoida vrasheniya (urovennogo) s tochnost'yu do malyh vtoroi stepeni otnositel'no szhatiya mozhet byt' predstavlena formuloi

chislennye znacheniya koefficientov opredelyayutsya empiricheski. Na General'noi Assamblee Mezhdunarodnogo Soyuza, sostoyavsheisya v Moskve v 1971 godu rekomendovany sleduyushie znacheniya (sila tyazhesti -- v milligalah)

7.3 Vtorye proizvodnye gravitacionnogo potenciala

Gravitacionnyi potencial, a vernee silovaya funkciya dlya udel'noi sily tyazhesti yavlyaetsya nepreryvnoi funkciei. Prinimayushei edinstvennoe znachenie v kazhdoi tochke prostranstva. Poverhnosti ravnogo potenciala (ekvipotencial'nye poverhnosti) kak ugodno plotno zapolnyayut vneshnee prostranstvo, nigde ne peresekayas'. Vektor sily tyazhesti v tochke P napravlen perpendikulyarno k ekvipotencial'noi poverhnosti, prohodyashei cherez etu tochku. Takim obrazom, gravitacionnyi potencial vo vneshnem prostranstve obrazuet silovoe pole. Ono pronizano silovymi liniyami, prichem napravlenie sily tyazhesti sovpadaet s kasatel'noi k silovoi linii.

Iz skazannogo sleduet, chto silovye linii ne mogut peresekat'sya, tak kak v tochke peresecheniya ne mozhet sushestvovat' dva vektora sily tyazhesti. Vektor sily tyazhesti (udel'noi) mozhno zapisat' sleduyushim obrazom

gde -- orty, napravlennye sootvetstvenno vdol' osei PX, PY iPZ. Ochevidno, chto sostavlyayushie vektora sily tyazhesti sut' pervye proizvodnye potenciala tyazhesti

V geodezicheskoi i geofizicheskoi praktike rassmatrivayut takzhe i vtorye proizvodnye gravitacionnogo potenciala, kotorye otmechayut dvoinymi nizhnimi indeksami

Vtorye proizvodnye potenciala mozhno izobrazit' v vide kvadratnoi matricy

Poluchennaya matrica imeet 9 elementov, no ne vse oni nezavisimy. Sovershenno ochevidno, chto , , . Krome togo, sled etoi matricy est' laplasian, poetomu

Ostaetsya 5 nezavisimyh elementov etoi matricy, kotoraya predstavlyaet soboi tenzor vtoryh proizvodnyh gravitacionnogo potenciala.

Rassuzhdeniya mozhno prodolzhit' i dal'she, obrazuya tret'i proizvodnye, chetvertye i t.d. No uzhe tret'i proizvodnye nel'zya izobrazit' v vide matricy: eto budet kub razmerom 3h3, kotoryi na dvuhmernom liste bumagi izobrazit' trudno. Sovershenno nevozmozhno izobrazit' v vide geometricheskih figur proizvodnye bolee vysokih poryadkov. Eto budut tenzory vysokih valentnostei.

Ekvipotencial'nuyu poverhnost' v okrestnosti tochki mozhno approksimirovat' ploskost'yu -- eto budet kasatel'naya ploskost' -- ellipsoidom, giperboloidom i drugimi poverhnostyami vtorogo poryadka. V poslednem sluchae uravnenie etoi poverhnosti budet imet' vid

Uravnenie kasatel'noi ploskosti poluchim, otbrasyvaya v (7.7) kvadratichnuyu formu

gde . Velichiny -- sut' komponenty vektora sily tyazhesti. Izmenyaya postoyannuyu , poluchim semeistvo ploskostei, parallel'nyh toi, chto prohodit cherez tochku P.

Dlya uprosheniya vykladok, chasto napravlenie mestnoi geodezicheskoi sistemy vybirayut sleduyushim obrazom: os' PX napravlyayut na sever, os' PY -- strogo na vostok, a os' PZ sovpadaet s vektorom sily tyazhesti i napravlena vertikal'no vniz. V etom sluchae . Uravnenie(7.8) prinimaet vid . Oboznachim prirashenie vysoty bukvoi , poluchim formulu dlya vychisleniya prirasheniya potenciala , kotoruyu chasto nazyvayut formuloi Brunsa.

Opredelim kriviznu normal'nogo secheniya urovennoi poverhnosti . Reshim eto uravnenie otnositel'no peremennoi : . Togda radius krivizny v tochke po formule Monzha opredelyaetsya formuloi , gde -- ugol, kotoryi obrazuet os' PX s ploskost'yu normal'nogo secheniya. V dannoi formule bukvami oboznacheny vtorye proizvodnye

Nasha poverhnost' urovnya zadana ne razreshennoi otnositel'no vertikal'noi koordinaty. Poetomu nam nuzhno poluchit' formulu dlya krivizny secheniya poverhnosti, zadannoi v neyavnom vide. Prodifferenciruem zavisimost' po odnoi iz koordinat, naprimer po . Togda

Differenciruya vtoroi raz, poluchim:

No tochka est' tochka kasaniya, gde , poetomu . Ispol'zuya oboznacheniya Monzha, budem imet' . Rassuzhdaya analogichnym obrazom, legko poluchim , . Teper' formula Monzha prinimaet vid

Rassmotrim vazhnye chastnye sluchai:

• Meridional'noe sechenie (A=0). Radius krivizny: . Krivizna:

  (7.10)

  
  

• Sechenie v pervom vertikale (A=90°). Radius krivizny: . Krivizna:

  (7.11)

  
  

Itak, vtorye proizvodnye potenciala tyazhesti opredelyayut kriviznu (radius krivizny) normal'nogo secheniya urovennoi poverhnosti. Ostaetsya vyyasnit' fizicheskii ili geometricheskii smysl eshe treh vtoryh proizvodnyh: .

Poskol'ku , to Gorizontal'nuyu komponentu etogo gradienta nazyvayut gorizontal'nym gradientom sily tyazhesti, a vertikal'nuyu komponentu -vertikal'nym gradientom sily tyazhesti.

Vyvedem teper' formulu dlya vertikal'nogo gradienta sily tyazhesti. Esli tochka vneshnyaya, to spravedlivo uravnenie . Dlya vnutrennei tochki uravnenie Laplasa dlya potenciala prityazheniya prevrashaetsya v uravnenie Puassona, togda . Perepishem ravenstvo v nashih oboznacheniyah

Iz formul (7.10) i (7.11) sleduet, chto , , poetomu

My vidim, chto dlya vychisleniya vertikal'nogo gradienta sily tyazhesti neobhodimo znat' radiusy krivizny normal'nyh sechenii urovennoi poverhnosti, plotnost' i uglovuyu skorost' vrasheniya Zemli. Naoborot, esli nas interesuet plotnost' porod, okruzhayushih tochku nablyudeniya, nuzhno izmerit' vertikal'nyi gradient sily tyazhesti. Poetomu izmerenie vertikal'nogo gradienta yavlyaetsya ochen' vazhnoi zadachei dlya celei gravitacionnoi razvedki.

V zaklyuchenii, privedem osnovnye formuly dlya vtoryh proizvodnyh normal'nogo potenciala. Kak my videli, poverhnost'yu urovnya v etom sluchae yavlyaetsya ellipsoid vrasheniya. Radius krivizny meridional'nogo secheniya ellipsoida raven , a secheniya v pervom vertikale

Ogranichivayas' malymi poryadka szhatiya, poluchim

gde nuzhno vzyat' iz normal'noi formuly (7.5).

Zametim, chto -- dostatochno malaya velichina. Osnovnoi vklad v vertikal'nyi gradient sily tyazhesti vnosit . Legko videt', chto vtorye proizvodnye potenciala po gorizontal'nym koordinatam priblizitel'no v dva raza men'she vertikal'nogo gradienta sily tyazhesti i imeyut protivopolozhnyi znak. Dlya togo, chtoby privesti chislennye znacheniya koefficientov v formulu (7.14) neobhodimo dogovoritsya o edinicah izmereniya. V geofizike prinyato gradient sily tyazhesti izmeryat' v Etveshah, po imeni vengerskogo uchenogo Loranda Etvesha, kotoryi sozdal pribor dlya izmereniya vtoryh proizvodnyh gravitacionnogo potenciala. Ustanovleno, chto odin Etvesh (1 E) raven gradientu, sootvetstvuyushemu 0,0001 mGal/m ili v metricheskoi sisteme edinic .

Prezhde, chem privesti chislennye znacheniya, sdelaem eshe odno zamechanie. So vremeni Etvesha osnovnym instrumentom dlya izmereniya vtoryh proizvodnyh potenciala tyazhesti sluzhit koromyslo, na koncah kotorogo zakrepleny na raznoi vysote massy. Os' vrasheniya koromysla -- vertikal'na. Neodnorodnost' polya tyazhesti sozdaet moment, vrashayushii koromyslo, kotoryi uravnoveshivaetsya momentom uprugoi sily. Ne ostanavlivayas' na podrobnostyah ( eto ne predmet obsuzhdeniya dlya nashego kursa) ukazhem lish', chto s etim priborom mozhno poluchit' chetyre parametra gravitacionnogo polya , , , . Privedem chislennye znacheniya, soglasovannye s normal'noi formuloi dlya sily tyazhesti (sm. Shokin P.F., "Gravimetriya" Geodezizdat, 1960)

Pri izmerenii elementov gravitacionnogo polya v kosmicheskom prostranstve ser'eznoi pomehoi yavlyaetsya nevesomost': probnoe telo ne vzaimodeistvuet s oporoi i sila, kotoraya deistvuet na probnoe telo, ne mozhet byt' izmerena. Odnako nevesomost', strogo govorya, imeet mesto tol'ko v odnoi tochke kosmicheskogo apparata: v centre mass. Esli probnye tela razmestit' v raznyh tochkah kosmicheskogo apparata, to gravitacionnye sily budut deistvovat' po-raznomu. Differencial'nye izmereniya polozheniya etih probnyh tel pozvolyaet poluchit' vtorye proizvodnye gravitacionnogo potenciala.

7.4 Vtorye proizvodnye potenciala prityazheniya v okolozemnom prostranstve

Kak my uzhe govorili, glavnym prepyatstviem dlya izmereniya sily tyazhesti na bortu kosmicheskogo apparata sluzhit nevesomost'. Odnako sushestvuet principial'naya vozmozhnost' izmeryat' elementy tenzora vtoryh proizvodnyh potenciala.

Pust' tochka est' tochka, sovpadayushaya s centrom mass kosmicheskogo apparata. Vyberem pryamougol'nuyu sistemu koordinat, svyazannuyu s kosmicheskim apparatom (soprovozhdayushii trehgrannik). Nachalo etoi sistemy koordinat voz'mem v tochke . Napravleniya osei vyberem sleduyushim obrazom: os' Px napravim po kasatel'noi k meridianu, prohodyashemu cherez tochku , os' Py -- na vostok, a os' Pz -- v nachalo sfericheskoi sistemy koordinat, to est' v centr Zemli. Pust' -- radius-vektor tochki , i -- sootvetstvenno geocentricheskaya shirota i dolgota etoi tochki. Togda potencial prityazheniya v etoi tochke budet raven

Zdes' i -- stoksovy postoyannye. V dannom sluchae my centrobezhnyi chlen ne uchityvaem, tak kak rech' idet o potenciale gravitacionnogo prityazheniya, a ne tyazhesti.

Elementarnye prirasheniya dekartovyh koordinat, ochevidno budut

Pervye proizvodnye gravitacionnogo potenciala po osyam soprovozhdayushego trehgrannika mozhno zapisat' v vide differencial'nogo operatora

Oboznachim

teper' formulu (7.16) mozhno perepisat' tak

Podstavlyaya poluchennuyu formulu v (7.18), budem imet' komponenty gradienta potenciala prityazheniya na rasstoyanii ot centra Zemli

Chtoby poluchit' vtorye proizvodnye potenciala prityazheniya, neobhodimo kazhduyu iz komponent sily prityazheniya prodifferencirovat' po trem koordinatnym osyam. Pri vychislenii vtoryh proizvodnyh nel'zya pol'zovat'sya formulami lineinoi svyazi elementarnyh prirashenii koordinat (7.17), kak my eto delali pri vychislenii pervyh proizvodnyh. Samyi ochevidnyi put' (no ne samyi legkii!) -- pryamoe differencirovanie funkcii kak neyavnuyu funkciyu peremennyh . Odnako on svyazan s gromozdkimi vykladkami.

Nasha cel' -- pokazat' kak izmenyayutsya vtorye proizvodnye potenciala s uvelicheniem rasstoyaniya do sputnika. Poetomu ogranichimsya lish' vtoroi radial'noi proizvodnoi potenciala. Silovaya liniya dlya etoi koordinaty -- pryamaya liniya, poetomu uchityvat' ee kriviznu ne trebuetsya. Differenciruya potencial, zadannyi formuloi (7.19), po koordinate , poluchim

My vidim, chto posle differencirovaniya kazhdyi chlen razlozheniya potenciala priobretaet koefficient, rastushii s uvelicheniem stepeni kak Takim obrazom, mnozhitel' ukazyvaet, chto s povysheniem "chastoty" uvelichivaetsya i mnozhitel', tochno tak zhe, kak i pri spektral'nom razlozhenii funkcii vremeni. Takim obrazom, differenciruyushii effekt uvelichivaet "verhnie" garmoniki razlozheniya potenciala.

Odnako, odnovremenno s etim effektom sushestvuet i "integriruyushii" effekt: s uvelicheniem rasstoyaniya mnozhitel' umen'shaet amplitudu garmoniki. Poetomu voznikaet vopros, kakie garmoniki i na kakoi vysote sleduet opredelyat' pri planirovanii kosmicheskogo eksperimenta.

Angliiskii uchenyi Kaula eksperimental'no pokazal, chto amplitudy sfericheskih garmonik potenciala ubyvayut s vozrastaniem stepeni kak . S drugoi storony amplitudy garmonik vtoroi proizvodnoi potenciala uvelichivayutsya kak . Sledovatel'no garmoniki vtoryh proizvodnyh v shirokom diapazone chastot imeyut harakter "belogo shuma". No s uvelicheniem vysoty blagodarya integral'nomu effektu verhnii diapazon chastot okazyvaetsya podavlennym.

Vypolnim prosteishii raschet "chastotnoi harakteristiki" preobrazovaniya sfericheskih garmonik potenciala v garmoniki radial'noi vtoroi proizvodnoi na vysote .

Pust' , gde -- vysota poleta sputnika nad planetoi. V kachestve harakteristiki podavleniya garmoniki stepeni , ochevidno, mozhno prinyat'

Privedem tablicu znachenii pri razlichnyh vysotah i stepenei garmonik.

Tablica pokazyvaet, chto dlya vypolneniya zadachi izmereniya vtoryh proizvodnyh godyatsya lish' ochen' nizkie sputniki. Prichem na vysote 200 km ot garmonik stepeni i poryadka 100 ostaetsya lish' okolo 4%. Eto oznachaet, chto esli na poverhnosti Zemli nas mozhet udovletvorit' tochnost' 1% ot amplitudy anomalii gradienta, to v kosmicheskih usloviyah my budem vynuzhdeny trebovat' tochnost' na dva poryadka vyshe. Sledovatel'no, v kachestve priemlemoi tochnosti izmereniya my dolzhny planirovat' chuvstvitel'nost' priborov ne menee 0,001E, chto ekvivalentno gradientu  mGal/m   g/m. Takoi vysokoi chuvstvitel'nosti v zemnyh usloviyah vryad li mozhno dostignut'. Odnako v kosmose, v usloviyah glubokogo vakuuma i sverhnizkih temperaturah nadezhda na uspeh ostaetsya.

---

<< Lekciya 6. Normal'naya Zemlya | Oglavlenie | Lekciya 8. Figura geoida >>

Publikacii s klyuchevymi slovami: gravimetriya - potencial - gravitacionnoe pole - figura Zemli - geodeziya Publikacii so slovami: gravimetriya - potencial - gravitacionnoe pole - figura Zemli - geodeziya
Sm. takzhe: Sagitovskie chteniya - 2007 Venera: proletaya mimo Sagitovskie chteniya - 2006 K 90-letiyu Nikolaya Panteleimonovicha Grushinskogo Sagitovskie chteniya - 2005 Prosteishaya forma predstavleniya gradienta gravitacionnogo potenciala nebesnyh tel Gora Olimp s orbity Vse publikacii na tu zhe temu >>