---

<< Lekciya 7. Normal'noe pole tyazhesti | Oglavlenie | Lekciya 9. Kvazigeoid Molodenskogo >>

Razdely

• 8.1 Vozmushayushii potencial
• 8.2 Kraevaya zadacha Dirihle dlya sfery
• 8.3 Kraevye zadachi Neimana
• 8.4 Smeshannaya kraevaya zadacha
• 8.5 Opredelenie vysot geoida
• 8.6 Opredelenie uklonenii otvesa

---

Lekciya 8. Opredelenie figury geoida

Vozmushayushii potencial, gravitacionnye anomalii. Kraevoe uslovie dlya vozmushayushego potenciala. Vneshnie i vnutrennie kraevye zadachi Dirihle, Neimana, smeshannye kraevye zadachi. Opredelenie vysot geoida metodom Stokca. Funkciya Stoksa. Opredelenie uklonenii otvesa. Formuly Vening-Meinesa.

8.1 Vozmushayushii potencial

Sredi specialistov po vysei geodezii shiroko primenyaetsya termin vozmushayushii potencial, kak raznost' mezhdu real'nym i normal'nym potencialami v odnoi tochke. Nel'zya skazat', chto termin udachen. V nebesnoi mehanike chasto upotreblyaetsya termin vozmushayushie sily, vozmushayushaya silovaya funkciya, vozmusheniya. Voznikaet vopros, chto imenno vozmushaet dannaya sila? Dlya nebesnoi mehaniki otvet yasen -- zakon dvizheniya tela, delaet ego otlichnym ot keplerovskogo, nevozmushennogo. Pravda, terminologiya moskovskoi i peterburgskoi shkol nebesnyh mehanikov razlichayutsya. Moskvichi govoryat funkciya vozmushayushaya, a peterburzhcy -- perturbacionnaya. Tak chto zhe "vozmushaet" vozmushayushii potencial? Otvet -- nichego. Po-vidimomu prav avstriiskii geodezist G.Moric, kotoryi predlagaet vvesti termin anomaliya potenciala. Govorim zhe my anomaliya sily tyazhesti, imeya v vidu raznost' real'noi i normal'noi sily tyazhesti! No otdavaya dan' tradicii, my budem upotreblyat' termin vozmushayushii potencial imenno kak raznost' real'nogo i normal'nogo potencialov tyazhesti ili prityazheniya vzyatyh v odnoi i toi zhe tochke.

Voz'mem tochku na poverhnosti geoida -- urovennoi poverhnosti -- s koordinatami , gde geodezicheskaya vysota tochki (rasstoyanie ot urovennoi poverhnosti do ellipsoida) Drugimi slovami eto vysota geoida v tochke . Dve drugie koordinaty -- i sootvetstvenno geodezicheskie shirota i dolgota (sm. lekciyu 2, razdel 2.3). Na poverhnosti ellipsoida tochku s takimi zhe znacheniyami shiroty i dolgoty budem oboznachat' bukvoi . Ponyatno, chto vysota etoi tochki ravna nulyu. Sila tyazhesti v tochke :

Normal'naya sila tyazhesti v tochke :

Raznost' absolyutnyh znachenii etih vektorov opredelyaet smeshannuyu gravitacionnuyu anomaliyu.

Vozmushayushii potencial v tochke (na ellipsoide) raven

Odnako, poskol'ku , poluchim

Opredelim smeshannuyu anomaliyu

V pervom slagaemom my differenciruem potencial po vneshnei normali k geoidu, a vo vtorom -- k ellipsoidu. Eti dva napravleniya, voobshe govorya, ne sovpadayut. Pravda, otlichie ne veliko i oshibka sostavlyaet vsego , to est' velichinu poryadka kvadrata otkloneniya otvesnoi linii. Eto sushestvenno men'she kvadrata szhatiya, poetomu v nashem priblizhenii mozhno ne delat' razlichiya v napravleniyah otvesnoi linii i normali k ellipsoidu.

"Opustim" znachenie sily tyazhesti iz tochki v tochku , primenyaya formuly lineinogo priblizheniya

Vertikal'nyi gradient sily tyazhesti, kak my videli (sm. lekciyu 7, uravnenie (7.12)), zavisit ot radiusov krivizny normal'nyh sechenii i uglovoi skorosti vrasheniya Zemli

Prenebregaya malymi poryadka , mozhno prenebrech' i chlenom . Krome togo, poskol'ku takzhe malaya velichina (sravneniyu s ), mozhno ne uchityvat' razlichiya mezhdu radiusami krivizny meridional'nogo secheniya i secheniya v pervom vertikale. Posle uproshenii, formula (8.3) prinimaet vid

Teper' smeshannuyu anomaliyu mozhno zapisat' tak

Raznost' est' vozmushayushii potencial v tochke , a tot, v svoyu ochered', svyazan s vysotoi geoida formuloi (8.1). Zamenyaya v etoi formule real'noe znachenie sily tyazhesti na normal'noe, poluchim . Teper' smeshannuyu anomaliyu mozhno vyrazit' cherez vozmushayushii potencial sleduyushim obrazom

Itak, zadacha opredeleniya figury geoida (poverhnosti urovnya otnositel'no ellipsoida) svoditsya k opredeleniyu garmonicheskoi funkcii T -- vozmushayushego potenciala, kotoryi lineino svyazan s vysotoi geoida. Problema integrirovaniya uravneniya Laplasa, pri uslovii, chto na zadannoi poverhnosti iskomaya funkciya podchinyaetsya nekotoromu usloviyu, kotoroe nazyvayut kraevym usloviem, prinadlezhit k bol'shomu klassu kraevyh zadach, s nekotorymi iz nih my i poznakomimsya.

8.2 Kraevaya zadacha Dirihle dlya sfery

Popytaemsya reshit' sleduyushuyu zadachu. Dano differencial'noe uravnenie Laplasa, opredelyayushee funkciyu , garmonicheskuyu v nekotoroi oblasti, ogranichennoi zamknutoi poverhnost'yu . Vse znacheniya etoi funkcii na granice oblasti, to est' na poverhnosti , izvestny. Iz vseh reshenii uravneniya Laplasa trebuetsya vybrat' tol'ko te, kotorye udovletvoryayut kraevomu usloviyu. Reshenie etoi zadachi sushestvennym obrazom zavisit ot vida granichnoi poverhnosti. Pokazhem, kak ona reshaetsya, esli zadannaya poverhnost' -- sfera. V dannoi formulirovke imeem delo s vnutrennei problemoi Dirihle.

Inogda trebuetsya opredelit' garmonicheskuyu funkciyu vne granichnoi poverhnosti. Togda eto vneshnyaya problema Dirihle.

8.2.1 Vnutrennyaya problema Dirihle

Dopustim, chto iskomaya funkciya zadana na poverhnosti sfery znacheniyami . Razlozhim funkciyu v ryad Laplasa:

8.3 Kraevye zadachi Neimana

Na poverhnosti inogda zadany ne znacheniya funkcii, a ee normal'nye proizvodnye. Togda eto zadacha Neimana, kotoraya takzhe mozhet byt' i vnutrennei i vneshnei.

Kraevoe uslovie v etom sluchae imeet vid

Dlya sfery imeet mesto ravenstvo , poetomu kraevoe uslovie mozhno zapisat' tak:

gde -- funkciya Laplasa.

Poskol'ku , dlya vypolneniya teoremy Gaussa dlya garmonicheskih funkcii o potoke neobhodimo, chtoby vypolnyalos' uslovie , chto ekvivalentno usloviyu .

8.4 Smeshannaya kraevaya zadacha

Eta zadacha, kak i dve predydushie mozhet byt' i vnutrennyaya, i vneshnyaya. Rassmotrim variant vneshnei smeshannoi kraevoi zadachi, imeyushei otnoshenie k teorii figury Zemli. Kraevym usloviem v etom sluchae budet lineinaya kombinaciya samoi iskomoi funkcii i ee normal'noi proizvodnoi na granichnoi poverhnosti

Snova reshenie budem iskat' v vide razlozheniya po sfericheskim funkciyam

gde -- sfericheskaya funkciya, podlezhashaya opredeleniyu. Podstavim eto vyrazhenie v kraevoe uslovie (8.12):

Priravnivaya sfericheskie funkcii odinakovyh stepenei pochlenno, poluchim

Sledovatel'no, resheniem vneshnei smeshannoi kraevoi zadachi budet

8.5 Opredelenie vysot geoida

My ubedilis' v tom, chto vozmushayushii potencial yavlyaetsya garmonicheskoi funkciei i na sfere vypolnyaetsya kraevoi uslovie (8.6). Eto tipichnaya vneshnyaya smeshannaya kraevaya zadacha. Chtoby ee reshit', nuzhno predstavit' smeshannuyu gravitacionnuyu anomaliyu ryadom Laplasa

gde

gde -- sfericheskoe rasstoyanie mezhdu tochkoi i elementom sfericheskoi poverhnosti . Predstavim teper' pravuyu chast' uravneniya (8.6), zadayushee kraevoe uslovie. Dlya vozmushayushego potenciala spravedlivo razlozhenie , gde

V klassicheskom reshenii dannoi zadachi, poluchivshei nazvanie zadachi Stoksa, predpolagaetsya, chto massa ellipsoida ravna masse real'noi Zemli, to est' , a nachalo koordinat sovpadaet s centrom mass planety Otsyuda sleduet, chto razlozhenie vozmushayushego potenciala nachinaetsya s :

Prenebregaya kvadratom szhatiya, my snova differencirovanie po normali zamenim differencirovaniem po radius-vektoru

Sledovatel'no

Zametim, chto pri , dolzhno byt'

a pri

Itak, dlya togo, chtoby reshenie zadachi Stoksa sushestvovalo neobhodimo, chtoby srednee znachenie smeshannyh gravitacionnyh anomalii ravnyalos' nulyu i, krome togo, dolzhen ravnyat'sya nulyu integral . Teper' reshenie kraevoi zadachi dlya vozmushayushego potenciala prinimaet vid

Podstavim syuda integral'nuyu formu (8.14) dlya funkcii Laplasa:

Poskol'ku integrirovanie vedetsya po sfere radiusa v formule (8.16) my polagali . Vvedem oboznachenie

i reshenie zadachi Stoksa prinimaet okonchatel'nyi vid

Funkciyu chasto nazyvayut funkciei Stoksa. V (8.17) ona zadana v vide razlozheniya po stepenyam polinomov Lezhandra ot kosinusa central'nogo rasstoyaniya . Ee "kompaktnyi" vid sleduyushii

Legko videt', chto tochka -- osobaya. Zdes' funkciya Stoksa obrashaetsya v beskonechnost', tem ne menee integral (8.18) shoditsya, no pri vypolnenii dvuh ukazannyh vyshe uslovii, kotorym dolzhny udovletvoryat' gravitacionnye anomalii. Ispol'zuya formulu (8.1), kotoruyu chasto nazyvayut formuloi Brunsa, iz vozmushayushego potenciala legko poluchit' vysoty geoida

8.6 Opredelenie uklonenii otvesa

Otvesnaya liniya (vertikal') sovpadaet s napravlenie vektora sily tyazhesti g.

Ona yavlyaetsya normal'yu k urovennoi poverhnosti. S drugoi storony normal' k ellipsoidu sovpadaet s napravleniem vektora normal'noi sily tyazhesti. Eti dve normali ne sovpadayut. Mezhdu nimi obrazuetsya ugol, kotoryi geodezisty nazyvayut ukloneniem otvesa. Ne budet oshibkoi skazat' i otklonenie otvesnoi linii. Pravda voznikaet vopros otklonenie ot chego? Chtoby takih voprosov ne voznikalo, my budem upotreblyat' geodezicheskii termin.

Dve upomyanutye normali, prodolzhennye vverh, peresekayutsya s voobrazhaemoi nebesnoi sferoi v tochkah, odna iz kotoryh budet astronomicheskim zenitom (ili prosto zenitom), a drugaya -- geodezicheskim. Ponyatno, chto i ploskosti gorizonta astronomicheskogo i geodezicheskogo ne sovpadayut. Dogovorilis' schitat' ukloneniya otvesa polozhitel'nym, esli zenit smeshaetsya v severnom ili vostochnom napravlenii.

Obratimsya k lokal'noi geodezicheskoi sisteme koordinat s nachalom v punkte nablyudenii (tochka ). Gorizontal'nye osi PX i PY, kak my znaem iz lekcii 7, lezhat v ploskosti, perpendikulyarnoi k normali k ellipsoidu. Odna iz nih napravlena na sever, drugaya -- na vostok. Os' PZ napravlena vniz po vnutrennei normali k ellipsoidu. Netrudno ponyat', chto pri polozhitel'nyh "gorizontal'nyh" komponentah vektora sily tyazhesti obe komponenty ukloneniya otvesa budut otricatel'ny. Poetomu komponenty ukloneniya otvesa v ploskosti meridiana i pervogo vertikala sootvetstvenno opredelyayut sleduyushim obrazom

Iz privedennyh formul vidno, chto obe komponenty -- bezrazmernye velichiny, hotya na praktike oni izmeryayutsya v uglovyh edinicah. Delo v tom, chto ukloneniya otvesa na Zemle sostavlyayut sekundy dugi, poetomu vmesto trigonometricheskih formul, svyazyvayushih ukloneniya otvesa s komponentami vektora sily tyazhesti, my vzyali prostoe otnoshenie.

S drugoi storony

poetomu

Ranee my videli, chto , poetomu

Formula (8.19) pozvolyaet vychislit' vysoty geoida, esli na poverhnosti Zemli zadany smeshannye gravitacionnye anomalii. Principial'no ne imeet znacheniya, v kakih koordinatah zadany eti anomalii i v kakih koordinatah prakticheski vedetsya integrirovanie. My dlya etih celei budem primenyat' geodezicheskie koordinaty i . Perepishem formulu (8.19)

Integrirovanie budem vypolnyat' na sfere, a ne na ellipsoide. Pri etom mozhno ozhidat' pogreshnost' v opredelenii vysot geoida poryadka szhatiya. Prenebregaya etimi pogreshnostyami, opredelim elementarnye prirasheniya dlya osei PX i PY

poetomu

Teper' nuzhno vychislit' proizvodnye i . Dlya etogo obratimsya k formulam sfericheskoi trigonometrii.

Rassmotrim sfericheskii treugol'nik, kotoryi obrazuyut dugi, soedinyayushie tri tochki na sfere: tochku , v kotoroi my hotim opredelit' uklonenie otvesa, tochku -- polyus, i tochku -- tekushuyu tochku na poverhnosti sfery, gde raspolozhen element poverhnosti. Duga PN ravna 90-, a duga QN ravna 90-. Ugol pri tochke raven -- azimutu tekushei tochki Duga RR' ravna argumentu funkcii Stoksa -- . Ugol pri polyuse raven raznosti dolgot tochki i tochki , to est' . Ispol'zuya formuly sfericheskoi trigonometrii, neslozhno poluchit' proizvodnye ugla po i po , vhodyashie v formuly (8.23)

Podstavim poluchennye vyrazheniya v (8.23), poluchim

Zapishem privedennyi integral v vide dvukratnogo integrala. Element sfery raven , prichem peremennaya izmenyaetsya ot 0 do , a peremennaya -- ot 0 do . Poluchim

Eti formuly nosyat imya gollandskogo uchenogo Vening-Meinesa. Kak i v formulu Stoksa, opredelyayushei vysotu geoida tochka yavlyaetsya ustranimoi osoboi tochkoi.

Na praktike ispol'zuyut bolee slozhnye metodiki dlya vychisleniya uklonenii otvesa s ispol'zovaniem i gravimetricheskih i geodezicheskih dannyh.

---

<< Lekciya 7. Normal'noe pole tyazhesti | Oglavlenie | Lekciya 9. Kvazigeoid Molodenskogo >>

Publikacii s klyuchevymi slovami: gravimetriya - potencial - gravitacionnoe pole - figura Zemli - geodeziya Publikacii so slovami: gravimetriya - potencial - gravitacionnoe pole - figura Zemli - geodeziya
Sm. takzhe: Sagitovskie chteniya - 2007 Venera: proletaya mimo Sagitovskie chteniya - 2006 K 90-letiyu Nikolaya Panteleimonovicha Grushinskogo Sagitovskie chteniya - 2005 Prosteishaya forma predstavleniya gradienta gravitacionnogo potenciala nebesnyh tel Gora Olimp s orbity Vse publikacii na tu zhe temu >>