Astronet > Avtomodel'nost'

po tekstam po klyuchevym slovam v glossarii po saitam perevod po katalogu

Avtomodel'nost'

Avtomodel'nost' - osobaya simmetriya fizicheskoi sistemy, sostoyashaya v tom, chto izmenenie masshtabov nezavisimyh peremennyh mozhet byt' skompensirovano preobrazovaniem podobiya drugih dinamicheskih peremennyh. Avtomodel'nost' privodit k effektivnomu sokrasheniyu chisla nezavisimyh peremennyh. Naprimer, esli sostoyanie sistemy harakterizuetsya funkciei $u(h, t)$ , gde h - koordinata, t - vremya, to uslovie invariantnosti otnositel'no izmeneniya masshtabov $x\prime =kx$ , $tprime =lt$ i preobrazovaniya podobiya takovo:
$u(x,t)=k^{1/ \alpha}l^\beta u(kx,lt)$ .
gde $\alpha, \beta$ - chisla. Vybor $k^{1/ \alpha}=l=m/t$ , gde m - kriterii podobiya (parametr), pridaet pervonachal'noi funkcii avtomodel'nyi vid
$u (x,t)=m^{(1+\beta)}t^{-(1+\beta)}u(m^\alpha t^{-\alpha}x,m$
T. o., funkciya u pri postoyannom m zavisit tol'ko ot kombinacii $x/t^\alpha$ . Avtomodel'nost' vozmozhna, esli nabor parametrov, opredelyayushih sostoyanie sistemy, ne soderzhit harakternyh masshtabov nezavisimyh peremennyh. Poskol'ku v bol'shinstve zadach forma preobrazovaniya podobiya zaranee neizvestna, avtomodel'nuyu podstanovku nado v kazhdom sluchae nahodit' otdel'no. Dlya etogo imeyutsya 3 sposoba:

Analiz razmernostei. Sostoyanie sistemy harakterizuetsya naborom razmernyh parametrov i funkcii, zavisyashih ot koordinat h, u, z i vremeni t. Esli odin iz bezrazmernyh kriteriev podobiya imeet vid m = H₀/b $T_0^\alpha$ , gde b - parametr, imeyushii razmernost' [b] = $LT^{-\alpha}$ , X₀, T₀ - harakternye dlina i promezhutok vremeni, L, T - edinicy dliny i vremeni sootvetstvenno, to v kachestve avtomodel'nyh peremennyh mozhno vybrat' bezrazmernye kombinacii x/b $t^\alpha$ , y/b $t^\alpha$ , z/b $t^\alpha$ . V tom sluchae, kogda imeetsya ne bolee dvuh opredelyayushih parametrov s nezavisimymi razmernostyami, otlichnymi ot dliny i vremeni, perehod k avtomodel'nym peremennym prevrashaet uravnenie s chastnymi proizvodnymi v obyknovennoe differencial'noe uravnenie.
Neposredstvennyi podbor. Formal'no vvoditsya avtomodel'naya zamena peremennyh u=rf(x/ $t^\alpha$ ) ili, v bolee obshem vide, u= $\varphi(t)\psi(\chi)$ , $\chi=x/ \eta(t)$ . Uravneniya, nachal'nye i granichnye usloviya dolzhny imet' strukturu, dopuskayushuyu takuyu zamenu. Reshenie sushestvuet ne dlya lyubyh znachenii $\alpha$ , $\beta$ i ne dlya lyubyh funkcii $\varphi(t)$ i $\eta(t)$ . Dlya polucheniya podhodyashih znachenii neobhodimo reshit' nelineinuyu zadachu na sobstvennye znacheniya.
Issledovanie gruppovyh svoistv uravnenii. Rassmotrim sistemu differencial'nyh uravnenii s chastnymi proizvodnymi 1-go poryadka f_j (h_i, u_k, p_ik) = 0, gde h_i - nezavisimye peremennye, u_k - iskomye funkcii, r_ik = $\partial u_k/ \partial x_i$ . Vsevozmozhnye zameny peremennyh h_i, u_k, dopuskaemye sistemoi, obrazuyut gruppu Li. Avtomodel'nye zameny yavlyayutsya ee odnoparametricheskoi podgruppoi rastyazhenii. V nekotoryh sluchayah naiti takie zameny pozvolyaet sleduyushaya procedura.

V prostranstve peremennyh h_i, u_k gruppa Li zadaetsya svoimi generatorami, imeyushimi obshii vid H = $\xi_i{\displaystyle\partial\over\displaystyle\partial x_i}+\eta_k{\displaystyle\partial\over\displaystyle\partial u_k}$ , gde $\xi_i, \eta_k$ - nekotorye funkcii peremennyh h, i; po povtoryayushimsya indeksam proizvoditsya summirovanie. V prostranstve peremennyh h_i, u_k, p_ik gruppa Li zadaetsya generatorami $\tilde X = X+\xi_{ik}{\displaystyle\partial\over\displaystyle\partial p_{ik}}$ gde $D_i\eta_k - p_{lk}D_i\xi_l, D_i=\partial/ \partial x_i + p_{ik}\partial/ \partial u_k$ . Sistema uravnenii f_j = 0 opredelyaet giperpoverhnost' v prostranstve peremennyhh_i, u_k, p_ik, kotoraya yavlyaetsya invariantom gruppy pri uslovii Hf_j = 0, kogda f_j = 0; eti usloviya sluzhat dlya opredeleniya funkcii \xi_i (h, i) i \eta_k (h, u). Kombinacii peremennyh, dayushie iskomuyu zamenu, yavlyayutsya pervymi integralami uravneniya . Naprimer, dlya dvuh nezavisimyh peremennyh h, t i odnoi iskomoi funkcii u operator rastyazhenii imeet vid X = $\alpha x\partial/ \partial x+\beta \partial/ \partial t+\gamma u\partial/ \partial u, \alpha, \beta, \gamma$ - chisla. Nabor pervyh integralov uravneniya $H\varphi = 0$ takov: $\mathcal{I}_1 = x/t^{\alpha/ \beta}, \mathcal{I}_2 = u/t^{\gamma/ \beta}$ , poetomu avtomodel'noe reshenie uravnenii, dopuskayushih gruppu rastyazhenii, budet imet' vid $u = t^{\gamma/ \beta}\psi(x/t^{\alpha/ \beta}), \psi$ - novaya iskomaya funkciya.

Rassmotrim, naprimer, uravnenie Kortevega-de Frisa $\partial u/ \partial t + u \partial u/ \partial x + \mu \partial^3 / \partial x^3 = 0$ , gde $\mu$ - postoyannyi parametr; ono invariantno otnositel'no preobrazovaniya $t\to kt, h\to k^{1/3}x, u\to k^{-2/3}u$ . Generator $H=x\partial/ \partial x + 3t\partial/ \partial t - 2u\partial/ \partial u$ - operator rastyazhenii, i avtomodel'noe reshenie imeet vid
$u(x,t)=\mu(3\mu t)^{-2/3}\psi(z), z=(3\mu t)^{-1/3}x.$
Podstavlyaya eto reshenie v ishodnoe uravnenie, poluchaem obyknovennoe differencial'noe uravnenie dlya funkcii $\psi(z)$ :
$\psi^{\prime\prime\prime}-z\psi^\prime+ \psi\psi^\prime-2\psi=0$

Odnoparametricheskaya gruppa rastyazhenii abeleva. Esli sistema dopuskaet resheniya, postroennye na drugih odnoparametricheskih abelevyh podgruppah, to podhodyashei zamenoi etim resheniyam mozhno pridat' avtomodel'nyi vid, chto yavlyaetsya sledstviem podobiya etih grupp. V chastnosti, avtomodel'nye dvizheniya tesno svyazany s nelineinymi begushimi volnami, t. e. resheniyami vida $u=f(x-\lambda t+a)$ , dlya kotoryh mesto preobrazovaniya podobiya zanimaet preobrazovanie sdviga. Zamena $h = \ln \xi, t = \ln \tau, a=\ln b$ perevodit volnovoe reshenie f v avtomodel'noe:
$f[\ln{(\xi/bt^\lambda)}] =F(\xi/bt^\lambda).$

Avtomodel'nost', otrazhayushaya vnutrennyuyu simmetriyu, prisusha mnogim yavleniyam i ispol'zuetsya pri reshenii razlichnyh fizicheskih zadach, osobenno v mehanike sploshnyh sred (sm. Avtomodel'noe techenie).
Metod renormalizacionnoi gruppy v kvantovoi teorii polya, po sushestvu, takzhe osnovan na ispol'zovanii avtomodel'nogo preobrazovaniya peremennyh. Interesno, chto v avtomodel'nyh peremennyh uravnenie renormgrushgy okazyvaetsya tozhdestvennym odnomernomu uravneniyu perenosa izlucheniya. V fizike elementarnyh chastic avtomodel'nost' vyrazhaetsya v tom, chto secheniya nekotoryh processov pri vysokih energiyah zavisyat lish' ot bezrazmernyh avtomodel'nyh kombinacii impul'sov. Obshie principy kvantovoi teorii polya dopuskayut shirokii klass takih avtomodel'nyh asimptotik.

"Fizicheskaya Enciklopediya"/Phys.Web.Ru
Glossarii Astronet.ru

L | R | A | B | V | G | D | E | Zh | Z | I | ' | K | L | M | N | O | P | R | S | T | U | F | H | C | Ch | Sh | Sh | E | Yu | Ya

Publikacii s klyuchevymi slovami: podobie - avtomodel'nost' Publikacii so slovami: podobie - avtomodel'nost'
Sm. takzhe: Avtomodel'noe techenie

Obsudit' etu publikaciyu

Versiya dlya pechati