Variacionnye principy mehaniki

Variacionnye principy mehaniki - polozheniya, ustanavlivayushie svoistva, kotorymi istinnoe, t. e. fakticheski proishodyashee pod deistviem zadannyh sil, dvizhenie (ili sostoyanie ravnovesiya) mehanicheskoi sistemy otlichaetsya ot vseh ee kinematicheski vozmozhnyh dvizhenii (sostoyanii), i pozvolyayushie poluchit' v kachestve sledstviya uravneniya dvizheniya ili usloviya ravnovesiya etoi sistemy. Ryad variacionnyh principov mehaniki vyrazhaet eti svoistva v vide, kotoryi pozvolyaet rasprostranit' princip na drugie oblasti fiziki. Etim obuslovlivaetsya vazhnost' variacionnyh principov mehaniki dlya vsei teoreticheskoi fiziki. Prakticheskaya cennost' variacionnyh principov mehaniki zaklyuchaetsya v tom, chto pri primenenii ih k resheniyu zadach mehaniki iz uravnenii dvizheniya ili uslovii ravnovesiya isklyuchayutsya napered neizvestnye reakcii sootvetstvuyushih svyazei.

Ustanavlivaemoe variacionnym principom mehaniki svoistvo dvizheniya svoditsya vo mnogih sluchayah (no ne vsegda) k tomu, chto dlya istinnogo dvizheniya sistemy nekotoraya fizicheskaya velichina, yavlyayushayasya funkciei kinematicheskih i dinamicheskih harakteristik etoi sistemy, imeet ekstremum (minimum ili maksimum). Pri etom variacionnye principy mehaniki mogut otlichat'sya drug ot druga vidom toi fizicheskoi velichiny (toi funkcii), kotoraya dlya istinnogo dvizheniya yavlyaetsya ekstremal'noi, a takzhe osobennostyami mehanicheskih sistem i klassami teh dvizhenii, dlya kotoryh eto ekstremal'noe svoistvo imeet mesto. Po forme variacionnye principy mehaniki mozhno razdelit' na differencial'nye, ustanavlivayushie, chem istinnoe dvizhenie sistemy otlichaetsya ot kinematicheski vozmozhnyh v kazhdyi dannyi moment vremeni, i integral'nye, ustanavlivayushie eto razlichie dlya peremeshenii, sovershaemyh sistemoi za konechnyi promezhutok vremeni. V ramkah mehaniki differencial'nye principy imeyut bolee obshii harakter, t. k. oni prilozhimy k sistemam s lyubymi golonomnymi i negolonomnymi svyazyami (sm. Golonomnaya sistema, Negolonomnaya sistema). Integral'nye principy v ih naibolee kompaktnoi forme prilozhimy tol'ko k golonomnym i dazhe tol'ko k konservativnym sistemam. Odnako vyrazhenie ih cherez energiyu i invariantnost' po otnosheniyu k preobrazovaniyam koordinat sistemy delaet eti principy prilozhimymi daleko za predelami klassicheskoi mehaniki.

K osnovnym differencial'nym variacionnym principam mehaniki otnosyatsya: 1) princip vozmozhnyh peremeshenii, ustanavlivayushii obshee uslovie ravnovesiya mehanicheskoi sistemy s ideal'nymi svyazyami, soglasno kotoromu polozheniya ravnovesiya otlichayutsya ot vseh drugih polozhenii sistemy tem, chto tol'ko dlya polozhenii ravnovesiya summa elementarnyh rabot vseh aktivnyh sil na lyubom vozmozhnom peremeshenii sistemy ravna nulyu; 2) princip D'Alambera-Lagranzha, ustanavlivayushii obshee svoistvo dvizheniya mehanicheskoi sistemy s ideal'nymi svyazyami, soglasno kotoromu istinnoe dvizhenie sistemy otlichaetsya ot vseh kinematicheski vozmozhnyh tem, chto tol'ko dlya istinnogo dvizheniya summa elementarnyh rabot vseh aktivnyh sil i sil inercii na lyubom vozmozhnom peremeshenii sistemy ravna v kazhdyi moment vremeni nulyu. Ravenstvo, vyrazhayushee etot princip matematicheski, nazyvaetsya eshe obshim uravneniem mehaniki (sm. Dinamika). K drugim differencial'nym variacionnym principam mehaniki otnosyatsya princip Zhurdena, princip naimen'shego prinuzhdeniya (sm. Gaussa princip) i princip naimen'shei krivizny (sm. Gerca princip).

K integral'nym variacionnym principam mehaniki otnosyatsya tak nazyvaemye principy naimen'shego, ili stacionarnogo, deistviya, soglasno kotorym dlya dannogo klassa sravnivaemyh drug s drugom dvizhenii istinnym yavlyaetsya to, dlya kotorogo fizicheskaya velichina, nazyvaemaya deistviem, imeet za vremya peremesheniya sistemy minimum (tochnee, ekstremum). Princip naimen'shego deistviya chashe vsego primenyaetsya v forme Gamil'tona-Ostrogradskogo ili Mopertyui-Lagranzha. V principe Gamil'tona-Ostrogradskogo sravnivayutsya dvizheniya, proishodyashie mezhdu dvumya dannymi konfiguraciyami sistemy za odin i tot zhe promezhutok vremeni, a pod deistviem v prosteishem sluchae ponimaetsya opredelennyi integral po vremeni ot raznosti mezhdu kineticheskoi i potencial'noi energiyami sistemy. V principe Mopertyui-Lagranzha sravnivayutsya dvizheniya konservativnoi sistemy mezhdu dvumya dannymi ee konfiguraciyami, proishodyashie s odnoi i toi zhe nachal'noi kineticheskoi energiei, a pod deistviem ponimaetsya opredelennyi integral po vremeni ot udvoennoi kineticheskoi energii sistemy (podrobnee sm. Naimen'shego deistviya princip).

Variacionnye principy mehaniki primenyayutsya dlya sostavleniya uravnenii dvizheniya mehanicheskoi sistemy i izucheniya obshih svoistv etih dvizhenii, a takzhe pri sootvetstvuyushem obobshenii ponyatii v mehanike sploshnyh sred, v termodinamike, elektrodinamike, kvantovoi mehanike, teorii otnositel'nosti i drugih.