T.Redzhe "Etyudy o Vselennoi", Mir/NiT<< 4.3. Al'bert Einshtein | Oglavlenie | Glava 5. Neveroyatnaya istoriya:... >>
4.4. Kurt Gedel'
Avstriiskii matematik Kurt Gedel' rodilsya v Brno (Chehoslovakiya) na dvadcat' sem' let pozzhe Einshteina i poluchil fizicheskoe i matematicheskoe obrazovanie v Venskom universitete. Ego nauchnye interesy chastichno peresekalis' s interesami Einshteina. Skromnyi matematik-odinochka Gedel', v zrelom vozraste takzhe priehavshii v Prinstonskii institut perspektivnyh issledovanii, vnes vazhneishii vklad v osnovy matematiki, nastol'ko revolyucionnyi, chto razdvinul granicy etoi discipliny i okazal sushestvennoe vliyanie na obshee mirovozzrenie i kul'turu 20 veka.
Obyazatel'nyi shkol'nyi kurs geometrii vo mnogom povtoryaet "Nachala" Evklida, poyavivshiesya okolo dvuh tysyach Let tomu nazad; v nih privedeny nekotorye utverzhdeniya (aksiomy) otnositel'no svoistv tochek i pryamyh linii v ploskosti, iz kotoryh sleduet spravedlivost' vsyakih poleznyh i vazhnyh geometricheskih predpolozhenii (teorem). Odna iz aksiom Evklida utverzhdaet, chto cherez dve tochki prohodit odna i tol'ko odna pryamaya liniya; drugaya aksioma kasaetsya parallel'nyh pryamyh i t.d. Po svoei prirode aksiomy prosty i nedokazuemy, ih spravedlivost' prinimaetsya kak nechto ochevidnoe i ne trebuyushee dokazatel'stv. Interes k deyatel'nosti Evklida vyzvan tem, chto on sumel predstavit' vsyu geometriyu s pomosh'yu nebol'shogo chisla vernyh i osnovopolagayushih utverzhdenii, vyrazhennyh ves'ma yasno i v lakonichnoi forme.
Uspeh metoda Evklida pobudil matematikov posledovat' primeru velikogo greka v drugih razdelah nauki o chislah. Odin iz etih matematikov, zhitel' P'emonta Dzhuzeppe Peano, vpervye dal formulirovku arifmetiki, ispol'zuya aksiomy, kazavshiesya do smeshnogo ochevidnymi (sushestvuet nul', za kazhdym chislom sleduet eshe chislo...), no na samom dele udivitel'no ischerpyvayushie. Odnako ni sam Peano, ni Gil'bert i ego shkola, prodolzhivshie rabotu, nachatuyu p'emontcem, ne smogli dokazat' polnotu i sostoyatel'nost' aksiom Peano, da i drugih podobnyh utverzhdenii (ya proshu prosheniya za predel'no uproshennyi rasskaz o tom interesnom vremeni). "Polnota" ukazyvaet na to, chto lyubaya nastoyashaya teorema arifmetiki mozhet byt' vyvedena iz etih aksiom; "sostoyatel'nost'" predpolagaet otsutstvie paradoksov, kogda mogut byt' vyvedeny kak nekotorye utverzhdeniya, tak i utverzhdeniya, protivopolozhnye im.
Kakimi byli by dlya matematicheskoi mysli posledstviya uspeha Gil'berta i ego shkoly? Esli by, kak schital Gil'bert, vsya matematika svodilas' k sisteme aksiom, to eti poslednie mozhno bylo by vvesti v vychislitel'nuyu mashinu, sposobnuyu po nashemu prikazu napechatat' lyubye utverzhdeniya, sleduyushie iz etih aksiom. Pri etom vse vozmozhnye teoremy vydavalis' by mashinoi, chto delalo by rabotu matematika bessmyslennoi, svodya ee k roli operatora vychislitel'nogo centra. Byl by sozdan matematicheskii robot, my dostigli by vershiny abstraktnoi logiki i imeli elektronnogo orakula, sposobnogo otvetit' na lyuboi vopros.
No, dazhe esli otvlech'sya ot zatrat bumagi, neobhodimoi dlya togo, chtoby napechatat' milliony nenuzhnyh (hotya i vernyh) teorem, doiti do vershiny vse ravno ne udalos' by. Poyavivshayasya v 1931 g. rabota Gedelya, proizvedya effekt razorvavsheisya intellektual'noi bomby, zastavila fon Neimana prervat' kurs lekcii v Gettingene, a Gil'berta prekratit' rabotu nad svoei programmoi. Gedel' utverzhdal, chto sostoyatel'nost' i polnotu kakoi-libo logicheskoi sistemy mozhno ustanovit', pogruzhaya ishodnuyu sistemu v sistemu bolee razvernutuyu. Pravda, Gedel' pokazal, chto pri etom problema sostoyatel'nosti i polnoty stanovitsya bolee slozhnoi iz-za uslozhneniya logicheskogo yazyka, chto privodit k spirali uslozhnenii, k neskonchaemoi logicheskoi eskalacii. Imenno eto i proishodit takzhe, kogda chelovecheskii razum zanyat svoim privychnym delom – razmyshleniem.
Mashina, rabota kotoroi osnovana na aksiomah Peano, okazhetsya nesposobnoi otvetit' na vpolne opredelennuyu posledovatel'nost' voprosov. No kakovy eti voprosy, Gedel' ne soobshaet, Vo vsyakom sluchae, mozhno predpolozhit', chto nerazreshimoi v gedelevskom smysle yavlyaetsya sleduyushaya golovolomka. Postroim posledovatel'nost' celyh chisel, nachinayushuyusya s lyubogo celogo chisla, prichem kazhdoe posleduyushee chislo dolzhno byt' ravno polovine predydushego, esli ono chetnoe, ili predydushemu, umnozhennomu na tri i slozhennomu zatem s edinicei, esli eto predydushee chislo nechetnoe. Povtoryaya proceduru vychisleniya posleduyushih chisel, my v konce koncov postroim vsyu posledovatel'nost'. Esli nachat' s cifry 5, to my poluchim sleduyushuyu posledovatel'nost': 5, 16, 8, 4, 2, 1. Itak, my prishli k edinice. Okazyvaetsya, chto nezavisimo ot chisla, s kotorogo nachinaetsya posledovatel'nost', my vsegda prihodim k edinice, hotya dokazatel'stva etogo fakta ne sushestvuet. Vozmozhno, eto svyazano s nashei nesposobnost'yu naiti ego, no mozhet byt', ukazyvaet na nedostatki, prisushie fundamental'nym osnovam arifmetiki.
Rezul'tat, poluchennyi Gedelem, vyhodit za predely uzkih ramok arifmetiki, okazyvaya vliyanie takzhe na kibernetiku. Nemnogo vremeni spustya posle otkrytiya Gedelya matematik T'yuring zametil, chto vse vychislitel'nye mashiny mogut byt' zameneny vsego odnim prosteishim i dazhe ochen' medlennym kal'kulyatorom, tak kak, esli ne ogranichivat' ispol'zuemuyu pamyat', takoi kal'kulyator vosprinimaet programmy proizvol'noi dliny i slozhnosti. V principe mozhno sostavit' beschislennoe mnozhestvo takih programm, no, k schast'yu, ih mozhno ob'edinit' i hranit' vmeste i sostavit' polnyi ih perechen'. Ne vse programmy budut polezny, a iz-za nekotoryh mashina mozhet dazhe vhodit' v rezhim nepreryvno i bezostanovochno povtoryayushihsya vychislenii. Esli zhe vse rabotaet normal'no, to v sootvetstvii s prikazami v programme mashina v otvet na vvedennoe v nee chislo pechataet drugoe, t.e. proizvodit vychisleniya: naprimer, mozhet napechatat' kvadrat kakogo-nibud' chisla, udvoit' ego ili vyvesti chislo, sleduyushee za chislom, vvedennym pervonachal'no. V obshem sluchae mashina mozhet vychislyat' neveroyatno slozhnye funkcii vvedennogo v nee ishodnogo chisla.
Po opredeleniyu funkcii, vychislyaemye "mashinoi T'yuringa", yavlyayutsya "vychislimymi", poetomu instrukcii po ih vychisleniyu mogut byt' peredany raznym mashinam bez opaseniya, chto vozniknut oshibki ili neyasnosti. Vmeste s tem sushestvuyut funkcii, ne poddayushiesya vychisleniyu, bolee togo, oni sostavlyayut podavlyayushee bol'shinstvo, hotya trudno dat' opredelenie takoi funkcii. Kak ni stranno, no primer nevychislimoi funkcii sleduet pryamo iz teorii "mashiny T'yuringa". Prisvoim znachenie "edinica" celomu chislu, sootvetstvuyushemu normal'no rabotayushei mashine; "nul'", naprotiv, budet sootvetstvovat' mashine, voshedshei v rezhim bezostanovochnyh povtornyh vychislenii. Takim obrazom my zadali nevychislimuyu funkciyu, i dokazatel'stvo etogo povtoryaet dokazatel'stvo, dannoe Gedelem dlya logicheskih sistem. Znaya etu funkciyu, my mozhem skazat' zaranee, ne pribegaya k zapusku v rabotu samoi programmy, ostanovitsya li sootvetstvuyushaya mashina ili budet rabotat' vholostuyu.
Eto ne abstraktnyi vopros: bylo by ochen' udobno znat' zaranee, rabotaet li programma ili net, prezhde chem zapuskat' ee v mashinu. Rezul'tat T'yuringa podtverdil to, chto uzhe chuvstvovali intuitivno pol'zovateli mashin, a imenno, chto net sposoba opredelit' s uverennost'yu, rabotaet li programma, krome kak ispytat' ee na praktike.
Vsegda li ostaetsya neizvestnoi funkciya, ne poddayushayasya vychisleniyu? Otvet Gedelya prost: dazhe esli vychisleny pervye sto ili tysyacha znachenii etoi funkcii, my vse ravno nichego ne uznaem o tom, kak vychislit' posleduyushee znachenie, tak chto trebuyutsya chelovecheskii razum i tvorcheskie usiliya, chtoby vyiti iz zhestkih ramok programmirovaniya dlya vychislitel'noi mashiny. Snova i snova my ubezhdaemsya v tom, chto vychislitel'naya mashina udivitel'no prilezhna i vmeste s tem stol' zhe glupa: ona vypolnyaet vychisleniya, ne dumaya, tol'ko po predvaritel'no sostavlennoi podrobnoi instrukcii. Konechno, mozhet okazat'sya, chto kogda-nibud' budut sozdany novye, bolee umnye roboty, podobnye opisannym v knigah Aizeka Azimova.
Tem, kto uprekal Gedelya v razrushenii celostnosti fundamenta matematiki, uchenyi vsegda otvechal, chto, po sushestvu, osnovy ostalis' stol' zhe
nezyblemymi, kak i prezhde, a ego teorema prosto privela k pereocenke roli intuicii i lichnoi iniciativy v odnoi iz oblastei nauki, v toi, kotoroi upravlyayut zheleznye zakony logiki, ostavlyayushie, kazalos' by, malo mesta dlya ukazannyh dostoinstv. Nesmotrya na uvereniya idealistov, matematika okazalas' nastoyashim iskusstvom, i dostoinyi prekloneniya primer tvorcheskogo sluzheniya etomu iskusstvu dal sam Gedel' v svoih holodnyh, napisannyh tol'ko po sushestvu dela rabotah.
<< 4.3. Al'bert Einshtein | Oglavlenie | Glava 5. Neveroyatnaya istoriya:... >>
|
Publikacii s klyuchevymi slovami:
Galileo Galilei - solnechnaya sistema - kosmogoniya - astrofizika - Obshaya teoriya otnositel'nosti - elektroslaboe vzaimodeistvie - elementarnye chasticy
Publikacii so slovami: Galileo Galilei - solnechnaya sistema - kosmogoniya - astrofizika - Obshaya teoriya otnositel'nosti - elektroslaboe vzaimodeistvie - elementarnye chasticy | |
Sm. takzhe:
Vse publikacii na tu zhe temu >> | |
