Astronet > Variacionnoe ischislenie

po tekstam po klyuchevym slovam v glossarii po saitam perevod po katalogu

Na saite

Astrometriya

Astronomicheskie instrumenty

Astronomicheskoe obrazovanie

Astrofizika

Istoriya astronomii

Kosmonavtika, issledovanie kosmosa

Lyubitel'skaya astronomiya

Planety i Solnechnaya sistema

Solnce

Variacionnoe ischislenie
15.11.2001 0:00 | SOZh, Moskva

Variacionnoe ischislenie - razdel matematiki, obobshayushii elementarnuyu teoriyu ekstremuma funkcii. V variacionnom ischislenii rech' idet ob ekstremume funkcionalov - velichin, zavisyashih ot vybora odnoi ili neskol'kih funkcii f₁, f₂, . . . f_m, kotorye igrayut dlya funkcionala F[f₁, f₂, . . . f_m] rol' argumentov. Analogichno tomu, kak v zadache ob ekstremume funkcii f(x₁, x₂, ...., x_n) neobhodimo ukazat' oblast' G izmeneniya ee argumentov, dlya funkcionala sleduet zadat' klass dopustimyh funkcional'nyh argumentov (naprimer, klass funkii, nepreryvnyh vmeste s pervymi proizvodnymi v oblasti D i udovletvoryayushih nekotorym usloviyam na granice D). Esli zadacha ob ekstremume nepreryvnoi funkcii vsegda imeet reshenie (takaya funkciya dostigaet ekstremal'nyh znachenii vnutri G ili na ee granice), to sushestvovanie ekstremuma funkcionala dlya dannogo klassa funkcional'nyh argumentov ne garantirovano apriori i trebuet kazhdyi raz osobogo issledovaniya. Odnu iz pervyh zadach variacionnogo ischisleniya sformuliroval I. Bernulli (J. Bernoulli) v 1696, okonchatel'no variacionnoe ischislenie sformirovalos' v 18 veke blagodarya rabotam L. Eilera (L. Euler).

Neobhodimym usloviem ekstremuma funkcii f(x) v tochke x⁽⁰⁾=(x₁⁰.. . , x_n⁰) yavlyaetsya ravenstvo nulyu ee proizvodnoi po lyubomu napravleniyu a=(a₁, .. .a_n):
$df(x+\varepsilon a)/d\varepsilon\mid_{\varepsilon=0}=(a \nabla{f})=0$ t.e. $\nabla{f}=0$
Malomu smesheniyu argumenta dlya funkcionala sootvetstvuet variaciya (otsyuda nazvanie variacionnoe ischislenie) funkcii: $f_j\longrightarrow f_j+\varepsilon\eta_j$ gde $\eta_j$ - funkcii iz dopustimogo klassa, obrashayushiesya v nul' na granice D. Analogom proizvodnoi po napravleniyu sluzhit pervaya variaciya funkcionala:
$\delta{F}={\displaystyle{d} \over \displaystyle{d\varepsilon}}F[f_j + \varepsilon\eta_j]\mid_{\varepsilon=0}=\sum_j\int_D {\displaystyle {\delta {F}} \over \displaystyle{\delta {f_j}}}\eta_jdx_1...dx_n$ ,
gde opredelyaemaya poslednei formuloi variacionnaya, ili funkcional'naya proizvodnaya ${\displaystyle{\delta{F}} \over \displaystyle{\delta{f_j}} }$ , yavlyaetsya analogom gradienta $\nabla{f}$ . Neobhodimoe uslovie ekstremuma funkcionala ${\displaystyle{\delta{F}} \over \displaystyle{\delta{f_j}} }=0$ sleduet iz osnovnoi lemmy variacionnogo ischisleniya: esli dlya vseh funkcii $\eta(x_1...x_n)$ iz dopustimogo klassa, obrashayushihsya v nul' na granice D,
$\int_D\varphi(x_1, ..., x_n)\eta(x_1, ..., x_n)dx_1... dx_n=0$
to nepreryvnaya funkciya $\varphi(x)=0$ .

Na praktike funkcional F zadaetsya v vide integrala po oblasti D ot nekotoroi kombinacii funkcii f₁ ... f_n, i ih proizvodnyh; v prosteishih sluchayah
$F=\int_D \mathcal{L}(f_i, \partial {f_j}/\partial {x_i})dx_1...dx_n$

Vychislenie funkcional'noi proizvodnoi privodit k Eilera-Lagranzha uravneniyam - sisteme differencial'nyh uravnenii
${\displaystyle{\partial {\mathcal{L}}} \over \displaystyle{\partial {f_j}}}-\sum_i{\displaystyle{\partial} \over \displaystyle{\partial {x_i}}}{\displaystyle{\partial \mathcal{L}} \over \displaystyle{\partial (\partial {f_j}/\partial {x_i})} } = 0$ , j=1, ...., m
s sootvetstvuyushimi granichnymi usloviyami.

Resheniya etoi sistemy nazyvaetsya ekstremalyami funkcionala F. Ekstremal' sootvetstvuet minimumu F pri vypolnenii usloviya Lezhandra [obobshayushego trebovanie neotricatel'nosti kvadratichnoi formy $\sum \limits_{i,j}a_{i}a_{j}\partial ^2{f}/\partial x_i \partial x_j$ , garantiruyushego minimum funkcii f(x)] Soglasno etomu usloviyu, vsyudu na ekstremali dolzhna byt' neotricatel'na kvadratichnaya forma s koefficientom $\partial ^2{\mathcal{L}}/\partial \dot{f_i} \partial \dot{f_j}$ (v prosteishem sluchae odnomernoi oblasti D, kogda $f_j=df_j/dx$ ).

Do sih por shla rech' o variacionnyh zadachah, v kotoryh dopustimyi funkcional'nyi argument podchinyalsya lish' granichnym usloviyam. V bolee obshei postanovke zadachi trebuetsya naiti ekstremali funkcionala F s dopolnitel'nymi usloviyami, nalagaemymi na funkcional'nye argumenty vo vsei oblasti D ih opredeleniya. Eti usloviya mogut byt' integral'nymi:
$K=\int_D C(f_j, \partial {f_j}/\partial {x_i})dx_1...dx_n=0$
ili algebraicheskimi: $C(f_j, \partial {f_j}/\partial {x_i})=0$ . V oboih sluchayah zadacha svoditsya k obychnoi vvedeniem mnozhitelei Lagranzha $\lambda$ . V pervom sluchae perehodyat k novomu funkcionalu $\tilde{F}=F+\lambda{K}$ reshayut uravneniya Eilera-Lagranzha, a mnozhitel' $\lambda$ nahodyat iz usloviya K=0 na ekstremali. Vo vtorom sluchae vvodyat novyi funkcional
$\tilde{F}=F+\int_D{C}\lambda(x)dx_1....dx_n$
i neizvestnuyu funkciyu $\lambda(x)$ nahodyat iz uravnenii Eilera-Lagranzha.

Variacionnoe ischislenie ispol'zuyut v razlichnyh oblastyah fiziki. Fakticheski vse zakony, formuliruemye obychno v lokal'nom differencial'nom vide, mozhno sformulirovat' na variacionnom yazyke. Fundamental'nym primerom yavlyaetsya naimen'shego deistviya princip v klassicheskoi mehanike. Zdes' rol' peremennoi h igraet vremya t, menyayusheesya v zadannom intervale [a, b], funkcional'nymi argumentami yavlyayutsya obobshennye koordinaty q_j(t), a nazyvaemyi deistviem funkcional $S[q_j]=\int{^{b}_{a}}\mathcal{L}(q_f,\dot{q}_j)dt$ zadaetsya Lagranzha funkciei $\mathcal{L}$ . Soglasno principu naimen'shego deistviya, dvizhenie s zadannymi granichnymi usloviyami dlya q_j(a) i q_j(b) osushestvlyaetsya po ekstremali funkcionala S. V fizike ispol'zuyut takzhe drugie variacionnye principy.

V zadache o dvizhenii material'noi tochki vo vneshnem pole mozhno interesovat'sya tol'ko formoi traektorii bez detal'nogo znaniya vremennoi zavisimosti q(t). V etom sluchae ispol'zuetsya princip minimizacii ukorochennogo deistviya, ili princip Mopertyui: pri zadanii potencial'noi energii U, polnoi energii E, nachal'nyh i konechnyh tochek traektorii vsya traektoriya opredelyaetsya minimizaciei funkcionala $S_0=\int^{q_f}_{q_i}\sqrt{2m(E-U(q))}dl$ gde dl - element dliny traektorii, a q_i i q_f - nachal'naya i konechnaya ee tochki. Princip Mopertyui yavlyaetsya sledstviem principa naimen'shego deistviya i dopuskaet obobshenie na slozhnye mehanicheskie sistemy.

Analogom principa Mopertyui v optike sluzhit princip naimen'shego vremeni Ferma: v srede s peremennym pokazatelem prelomleniya n traektoriya lucha sveta takova, chto integral $\int^{q_f}_{q_i}fdl/n(q)$ minimalen. Inache govorya, luch sveta izbiraet sebe traektoriyu, dlya prohozhdeniya kotoroi trebuetsya minimal'noe vremya.

Poslednii primer - variacionnyi princip Ritca v kvantovoi mehanike. Zadachu o reshenii uravneniya Shpedingera $\hat{H}\psi(q)=E\psi(q)$ mozhno sformulirovat' kak zadachu o minimizacii funkcionala $J=\int\psi^{\ast} \hat{H}\psi dq$ pri dopolnitel'nom uslovii $\int\psi^{\ast}\psi dq=1$ (zdes' q-nabor obobshennyh koordinat). Princip Ritca - nezamenimoe orudie rascheta slozhnyh atomov i yader, kogda tochnoe reshenie uravneniya Shredingera nevozmozhno i zadachu reshayut minimizaciei funkcionala J na nekotorom klasse probnyh funkcii.

Publikacii s klyuchevymi slovami: variacionnoe ischislenie - funkcional - ekstremum - matematika Publikacii so slovami: variacionnoe ischislenie - funkcional - ekstremum - matematika
Sm. takzhe: Matematika trehmernyh mnogoobrazii Matematicheskaya teoriya svyazi D'Alambera uravnenie D'Alambera operator Chislo pi soderzhit vse - prichem porovnu!

Obsudit' etu publikaciyu

Versiya dlya pechati