Astronet > Mehanika sploshnyh sred

po tekstam po klyuchevym slovam v glossarii po saitam perevod po katalogu

Mehanika sploshnyh sred

Zhidkost' v neinercial'nyh sistemah otscheta.

Pri uskorennom dvizhenii sosuda s zhidkost'yu naryadu s siloi tyazhesti na chasticy zhidkosti deistvuyut sily inercii. Raspredelenie davlenii v pokoyasheisya otnositel'no sosuda zhidkosti legko opredelyaetsya iz (2.9), gde pod U sleduet ponimat' potencial'nuyu energiyu v pole sil tyazhesti i inercii, deistvuyushih odnovremenno. Esli sosud s vodoi dvizhetsya postupatel'no s postoyannym gorizontal'nym uskoreniem A (ris. 2.6), to potencial'naya funkciya imeet vid

$U(x,y) = -\rho gx -\rho Ay + {\rm const}.$

(2.12)

Ris. 2.6.

Sledovatel'no, dvumernoe raspredelenie davlenii p(x,y) s uchetom normirovki p(0,0)=p0 poluchaetsya ravnym

$p(x,y) = p_0 + \rho gx + \rho Ay$

(2.13)

Ochevidno, chto poverhnosti ravnogo davleniya (vklyuchaya poverhnost' zhidkosti), perpendikulyarnye vektoru polnoi sily $F = \rho g - \rho A$ , budut nakloneny k gorizontu na ugol

$\alpha = {\rm arctg} \frac{A}{g}.$

(2.14)

Pri svobodnom padenii sosuda (v usloviyah nevesomosti) davlenie vo vseh tochkah ob'ema, kak eto sleduet iz zakona Paskalya, odinakovo i ravno vneshnemu davleniyu p₀. Vsledstvie deistviya sil poverhnostnogo natyazheniya zhidkost' priobretaet sharoobraznuyu formu, pri kotoroi ploshad' poverhnosti stanovitsya minimal'noi. Pust' teper' cilindricheskii sosud s zhidkost'yu ravnomerno vrashaetsya s uglovoi skorost'yu $\omega$ vokrug vertikal'noi osi simmetrii. Povsednevnyi opyt pokazyvaet, chto poverhnost' zhidkosti iskrivitsya tak, kak pokazano na ris. 2.7. Ne predstavlyaet truda opredelit' formu poverhnostei ravnogo davleniya. Poskol'ku naryadu s siloi tyazhesti v radial'nom napravlenii deistvuet i centrobezhnaya sila inercii $F_I = \rho\omega^2 r$ , yavlyayusheisya takzhe potencial'noi, to potencial'naya funkciya U imeet vid:

$U(x,r) = -\rho gx - \frac{1}{2}\rho\omega^2 r^2 + {\rm const}$

(2.15)

gde r - cilindricheskaya koordinata. Togda raspredelenie davlenii s ispol'zovaniem (2.9) poluchaetsya ravnym

$p(x,r) = p_0 + \rho gx + \frac{1}{2}\rho\omega^2 r^2.$

(2.16)

Ris. 2.7.

Legko videt', chto poverhnosti ravnogo davleniya yavlyayutsya paraboloidami vrasheniya. V chastnosti, poverhnost' zhidkosti, dlya kotoroi p(x,r)=p₀, opisyvaetsya uravneniem

$x = - \frac{1}{2}\frac{\omega^2}{g}r^2.$

(2.17)

Esli radius sosuda raven R, to raznost' urovnei na periferii i v centre sostavlyaet velichinu

$H = \frac{\omega^2 R^2}{2g} = \frac{v^2}{2g}$

(2.18)

gde v - skorost' vrashayushihsya chastic, prilegayushih k stenke sosuda. Zamechanie. Esli sosud vrashat' s uglovym uskoreniem, to poyavitsya dopolnitel'naya sostavlyayushaya sil inercii, perpendikulyarnaya radiusu i ravnaya $F'_I = \rho r\frac{d\omega}{dt}$ . Eta sila ne budet potencial'noi, poskol'ku ee rabota, naprimer, vdol' okruzhnosti radiusa r₀, otlichna ot nulya i ravna

$A_I = F'_I \cdot 2\pi r_0 = 2\pi r_0^2 \rho\frac{d\omega}{dt}.$

(2.19)

V silu etogo ravnovesie zhidkosti nevozmozhno: poslednyaya budet vrashat'sya otnositel'no cilindra, prichem raspredelenie skorostei i davlenii mozhno poluchit', rassmatrivaya uravneniya gidrodinamiki, v kotoryh dolzhny byt' uchteny sily vyazkosti.

Plavanie tel. Zakon Arhimeda.

Iz povsednevnoi praktiki izvestno, chto na tela, pogruzhennye v zhidkost', deistvuet vytalkivayushaya sila, napravlennaya vertikal'no vverh. Eta sila yavlyaetsya rezul'tatom deistviya sil davleniya f_i= -pn_i ris. (2.8) i ravna

${\bf F_A}=\sum\limits_{i}^{}{\bf f_i}\Delta S_i=-\sum p_i\Delta S_i{\bf n_i}.$

(2.20)

Zdes' $\Delta S_i$ - ploshad' elementa poverhnosti tela, n_i edinichnyi vektor, perpendikulyarnyi poverhnosti, summirovanie proizvoditsya po vsem elementam poverhnosti.

Ris. 2.8.

Vytalkivayushaya sila F_A , nazyvaemaya siloi Arhimeda, mozhet byt' podschitana pri uchete raspredeleniya davleniya po glubine (2.11) i okazyvaetsya ravnoi vesu vytesnennoi zhidkosti. Predostavlyaya chitatelyu sdelat' takoi podschet samostoyatel'no, vychislim ee, ishodya iz bolee prostyh soobrazhenii. Izvlechem iz sosuda telo i dol'em tu zhe zhidkost', vosstanoviv ee prezhnii uroven' (ris. 2.9). Esli zatem myslenno vydelit' chast' zhidkosti, zameshayushuyu izvlechennoe telo, to na nee deistvuyut te zhe sily davleniya, chto i na pogruzhennoe telo (sm. formulu 2.20). Ih summa F_A ne tol'ko uravnoveshivaet silu tyazhesti (F_A=-mg, m - massa vytesnennoi zhidkosti), no i imeet ravnodeistvuyushuyu, prilozhennuyu k centru mass vytesnennoi zhidkosti, ili k centru ob'ema O. Centr mass pogruzhennogo tela O₁ mozhet ne sovpadat' s centrom ob'ema O. Eto nesovpadenie imeet bol'shoe znachenie dlya ustoichivogo plavaniya tel, pogruzhennyh v zhidkost' (v korablestroenii ispol'zuetsya termin ostoichivost'). Na ris. 2.10 shematichno izobrazheno poperechnoe sechenie batiskafa, pogruzhennogo v vodu, pri etom ego centr tyazhesti, k kotoromu prilozhena sila tyazhesti m₁g (m₁ - massa batiskafa), nahoditsya nizhe tochki prilozheniya Arhimedovoi sily. Estestvenno, chto pri bokovom naklone batiskafa moment ukazannoi pary sil budet vozvrashat' ego v vertikal'noe polozhenie.

Ris. 2.9.

Ris. 2.10.

Dlya tel, plavayushih na poverhnosti zhidkosti, centr ih tyazhesti vsegda budet raspolozhen vyshe centra ob'ema, pogruzhennogo v zhidkost', i ostoichivost' plavaniya (korablya, naprimer) dostigaetsya vyborom podobayushei formy korablya i ego zagruzki. Horosho izvestno, chto karandash nikogda ne plavaet na poverhnosti zhidkosti v vertikal'nom polozhenii. Para sil, voznikayushaya pri neizbezhnom sluchainom otklonenii karandasha ot vertikali, nemedlenno "ukladyvaet" ego na poverhnost' (ris. 2.11a). Ustoichivo budet plavat' "gorizontal'nyi karandash". Pri ego maleishem naklone (situaciya b) on budet vozvrashat'sya v ishodnoe gorizontal'noe polozhenie. V sudostroenii formu sudna s uchetom ego zagruzki rasschityvayut takim obrazom, chtoby metacentr M nahodilsya vyshe centra mass sudna v t. O. Etot metacentr yavlyaetsya centrom krivizny krivoi O₁''O₁O₁', prohodyashei cherez centry ob'emov pogruzhennyh chastei korpusa korablya, smenyayushih drug druga pri ego bokovoi kachke (ris. 2.12). Iz risunka vidno, chto metacentr nahoditsya na peresechenii ploskosti simmetrii sudna s liniei deistviya Arhimedovoi sily. Pri stroitel'stve sudov dobivayutsya togo, chtoby rasstoyanie OM v neskol'ko raz prevyshalo rasstoyanie OO₁.

Ris. 2.11.

Ris. 2.12.

Rassmotrenie gidrostatiki neszhimaemoi zhidkosti bylo by ne polnym, esli by my ne kosnulis' voprosa o silah davleniya, deistvuyushih na dno i stenki sosuda s zhidkost'yu. Udobno eto sdelat', obrativshis' neposredstvenno k primeram. Primer 1. Esli v cilindricheskii sosud s ploshad'yu osnovaniya S nalita voda, massa kotoroi m, do urovnya H (ris. 2.13a), to davlenie zhidkosti na dno sosuda (bez ucheta sily atmosfernogo davleniya) privedet k vozniknoveniyu sily $F=pS=\rho gHS=mg$ , ravnoi vesu nalitoi zhidkosti. Esli na poverhnost' zhidkosti opustit' plavayushee telo massy m₁ , to davlenie na dno zhidkosti uvelichitsya na velichinu $\Delta p=\rho g\Delta H$ , gde $\Delta H$ - vysota pod'ema urovnya zhidkosti (ris. 2.13b). Dopolnitel'naya sila, prilozhennaya ko dnu, $\Delta F=\Delta p\cdot S=\rho g\Delta HS$ . Poskol'ku ob'em cilindricheskogo sloya $\Delta H\cdot S$ raven ob'emu pogruzhennoi chasti tela, to velichina $\Delta F$ ravna sile Arhimeda i, estestvenno, $\Delta F=m_1g$ . Pokazaniya vesov, na kotorye postavlen sosud s vodoi, pri pomeshenii v nego plavayushego tela vozrastut na etu velichinu.

Ris. 2.13.

Primer 2. Esli dva legkih konicheskih sosuda odinakovoi vysoty napolnit' vodoi i raspolozhit' ih tak, kak pokazano na ris. 2.14 , to v situacii (a) sila davleniya na dno sosuda s ploshad'yu secheniya S₂ budet bol'she vesa zhidkosti: $\Delta F_2 =\rho gHS_2\gt mg$ . V situacii (b), naoborot, $\Delta F_1 =\rho gHS_1\lt mg$ . Mezhdu tem, pri vzveshivanii sosudov vesy pokazhut odinakovyi rezul'tat. Na pervyi vzglyad, my stolknulis' s paradoksom. Paradoks, odnako, razreshaetsya prosto, esli my primem vo vnimanie, chto vesy izmeryayut silu davleniya sosuda na chashku vesov, ravnuyu toi sile, s kotoroi zhidkost' deistvuet na ves' sosud, vklyuchaya deistvie na ego naklonnye bokovye stenki. V obeih situaciyah summa vseh etih elementarnyh sil odinakova i ravna vesu zhidkosti mg.

Ris. 2.14.

Nazad | Vpered

Publikacii s klyuchevymi slovami: mehanika - gidrodinamika - gazodinamika - uprugost' Publikacii so slovami: mehanika - gidrodinamika - gazodinamika - uprugost'
Sm. takzhe: D'Alambera-Eilera paradoks Mehanika tverdogo tela. Lekcii. Chislo Maha Variacionnye principy mehaniki Konus Maha Bernulli uravnenie Barotropnoe yavlenie Vse publikacii na tu zhe temu >>

Mneniya chitatelei [4]

Versiya dlya pechati

Astrometriya - Astronomicheskie instrumenty - Astronomicheskoe obrazovanie - Astrofizika - Istoriya astronomii - Kosmonavtika, issledovanie kosmosa - Lyubitel'skaya astronomiya - Planety i Solnechnaya sistema - Solnce