Astronet > Eshe raz o raduge

po tekstam po klyuchevym slovam v glossarii po saitam perevod po katalogu

Eshe raz o raduge

E. D. Trifonov (Rossiiskii gosudarstvennyi pedagogicheskii universitet im. A.I. Gercena, Sankt-Peterburg)
Opublikovano v Sorosovskom obrazovatel'nom zhurnale, N 7, 2000 g. Soderzhanie

Kak sred' prozrachnyh oblachnyh pelen
Nad lukom luk socvetnyi i sokruzhnyi
Poslannicei Yunony voznesen,
I obrazovan vnutrennim naruzhnyi.
Dante

Raduga u vseh na vidu - ona obychno nablyudaetsya v vide dvuh okrashennyh dug (dvuh socvetnyh lukov, o kotoryh pishet Dante), prichem v verhnei duge cveta raspolagayutsya v takom poryadke sverhu vniz: fioletovyi, sinii, zelenyi, zheltyi, krasnyi, a v nizhnei duge naoborot - ot krasnogo do fioletovogo. Navernoe, ne vse pomnyat ob'yasnenie etogo yavleniya kak rezul'tat prelomleniya i otrazheniya solnechnogo lucha v kaple dozhdya. A bol'shinstvo iz teh, kto eto pomnit, ne smogut aktivno provesti dostatochno elementarnye vychisleniya dlya ee opisaniya. Raduge posvyasheno mnogo populyarnyh izdanii, naprimer kniga M. Minnarta [Minnart M., 1969] i kniga L.V. Tarasova [Tarasov L.V., 1988]. V to zhe vremya v shkol'nyh uchebnikah i uchebnikah po obshei fizike etomu yavleniyu pochti ne udelyaetsya vnimaniya, hotya ob'yasneniya radugi zanimayut vazhnoe mesto v razvitii geometricheskoi i volnovoi optiki.

Istoriya ob'yasneniya radugi

Obshaya fizicheskaya kartina radugi byla uzhe chetko opisana Markom Antoniem de Dominisom (1611). Na osnovanii opytnyh nablyudenii on prishel k zaklyucheniyu, chto raduga poluchaetsya v rezul'tate otrazheniya ot vnutrennei poverhnosti kapli dozhdya i dvukratnogo prelomleniya - pri vhode v kaplyu i pri vyhode iz nee. Rene Dekart dal bolee polnoe ob'yasnenie radugi v svoem trude "Meteory" v glave "O raduge" (1635) [Dekart R., 1953]. Dekart pishet: "Vo-pervyh, kogda ya prinyal vo vnimanie, chto raduga mozhet poyavlyat'sya ne tol'ko na nebe, no takzhe i v vozduhe vblizi nas kazhdyi raz, kogda v nem nahodyatsya kapli vody, osveshennye solncem, kak eto inogda mozhno videt' v fontanah, mne legko bylo zaklyuchit', chto ona zavisit ot togo, kakim obrazom luchi sveta deistvuyut na eti kapli, a ot nih dostigayut nashego glaza; dalee, znaya, chto eti kapli sharoobrazny, i vidya, chto i pri bol'shih i pri malyh kaplyah raduga poyavlyaetsya vsegda odinakovym obrazom, ya postavil sebe cel'yu sozdat' ochen' bol'shuyu kaplyu, chtoby imet' vozmozhnost' luchshe ee rassmotret'. Dlya etogo ya napolnil vodoi bol'shoi steklyannyi sosud, vpolne kruglyi i vpolne prozrachnyi i prishel k sleduyushemu vyvodu..."

Etot vyvod povtoryaet i utochnyaet rezul'tat, poluchennyi Dominisom. V chastnosti, Dekart obnaruzhil, chto vtoraya (vneshnyaya) raduga voznikaet v rezul'tate dvuh prelomlenii i dvuh otrazhenii. On takzhe kachestvenno ob'yasnil poyavlenie cvetov radugi, sravnivaya prelomlenie sveta v kaple s prelomleniem v steklyannoi prizme. Risunok 1, poyasnyayushii hod luchei v kaple, vzyat iz upomyanutoi vyshe raboty Dekarta. No glavnaya zasluga Dekarta zaklyuchalas' v tom, chto on kolichestvenno ob'yasnil eto yavlenie, vpervye ispol'zuya zakon prelomleniya sveta: "Ya eshe ne znal, pochemu cveta poyavlyayutsya lish' pod izvestnymi uglami, poka ne vzyal pero i ne vychislil podrobno hoda vseh luchei, kotorye padayut na razlichnye tochki vodyanoi kapli, chtoby uznat', pod kakimi uglami oni mogut popast' v nash glaz posle dvuh prelomlenii i odnogo ili dvuh otrazhenii. Togda ya nashel, chto posle odnogo otrazheniya i dvuh prelomlenii gorazdo bol'she luchei, kotorye mogut byt' vidny pod uglom ot ${41}^\circ$ do ${42}^\circ$ (po otnosheniyu k solnechnomu luchu), chem takih, kotorye vidny pod kakim-libo men'shim uglom, i net ni odnogo, kotoryi byl by viden pod bol'shim. Dalee ya nashel takzhe, chto posle dvuh otrazhenii i dvuh prelomlenii okazyvaetsya gorazdo bol'she luchei, padayushih v glaz pod uglom ot ${51}^\circ$ do ${52}^\circ$ , chem takih, kotorye by padali pod kakim-libo bol'shim uglom, i net sovsem takih, kotorye padali by pod men'shim".

Ris. 1.Risunok iz raboty R. Dekarta, poyasnyayushii nablyudenie radugi

Takim obrazom Dekart ne tol'ko vychislyaet hod luchei, no i opredelyaet uglovoe raspredelenie intensivnosti rasseyannogo kaplyami sveta. V sleduyushem razdele my pokazhem, kak eto mozhno sdelat' dostatochno prostymi sredstvami.

V otnoshenii cvetov teoriya radugi byla dopolnena Isaakom N'yutonom. V izvestnyh "Lekciyah po optike" [N'yuton I., 1945], kotorye byli napisany v 70-h godah XVI veka, no opublikovany uzhe posle smerti N'yutona v 1729 godu, privedeno sleduyushee rezyume: "Iz luchei, vhodyashih v shar, nekotorye vyhodyat iz nego posle odnogo otrazheniya, drugie - posle dvuh otrazhenii; est' luchi, vyhodyashie posle treh otrazhenii i dazhe bol'shego chisla otrazhenii. Poskol'ku dozhdevye kapli ochen' maly otnositel'no rasstoyaniya do glaza nablyudatelya, to ne stoit sovsem rassmatrivat' ih razmery, a tol'ko ugly, obrazuemye padayushimi luchami s vyhodyashimi. Tam, gde eti ugly naibol'shie ili naimen'shie, vyhodyashie luchi naibolee sgusheny. Tak kak razlichnye rody luchei (luchi raznyh cvetov) sostavlyayut razlichnye naibol'shie i naimen'shie ugly, to luchi, naibolee plotno sobirayushiesya u razlichnyh mest, imeyut stremlenie k proyavleniyu sobstvennyh cvetov".

Utverzhdenie N'yutona o vozmozhnosti ne uchityvat' razmery kapli, tak zhe kak slova Dekarta o tom, chto pri bol'shih i malyh kaplyah raduga poyavlyaetsya vsegda odinakovym obrazom, okazalos' netochnym. Polnaya teoriya radugi s uchetom difrakcii sveta, kotoraya zavisit ot sootnosheniya dliny volny sveta i razmera kapli, byla postroena lish' v XIX veke Dzh.B. Eri (1836) i Dzh.M. Pernterom (1897).

Prelomlenie i otrazhenie lucha v kaple vody

Risunok Dekarta, kotoryi my vosproizveli kak relikviyu, obladaet odnim "metodicheskim" nesovershenstvom. Nepodgotovlennomu chitatelyu mozhet pokazat'sya, chto obe radugi, vneshnyaya i vnutrennyaya, obuslovleny raznymi sposobami otrazheniya v odnoi i toi zhe kaple. Luchshe bylo by izobrazit' dve kapli: odnu, otnosyashuyusya k nizhnei raduge, druguyu k verhnei, ostaviv v kazhdoi po odnomu sposobu otrazheniya, kak eto pokazano na ris. 2. Dlya prostoty vospriyatiya v oboih sluchayah napravlenie padayushego na kaplyu solnechnogo lucha prinyato za os' absciss. Koordinatu y, harakterizuyushuyu tochku padeniya lucha na kaplyu, budem nazyvat' >pricel'nym parametrom

Ris. 2.Hod luchei v kaple vody: a - pri odnom otrazhenii, b - pri dvuh otrazheniyah

Iz ris. 2, a vidno, chto padayushii luch s odnim otrazheniem mozhet byt' vosprinyat nablyudatelem, esli tol'ko tochka padeniya otnositsya k verhnei chasti kapli (y > 0). Naoborot, pri dvuh otrazheniyah eto okazhetsya vozmozhnym dlya teh luchei, kotorye padayut na nizhnyuyu chast' kapli (y < 0).

Predpolozhim snachala, chto kaplya nahoditsya v vertikal'noi ploskosti, prohodyashei cherez polozhenie Solnca i glaz nablyudatelya. Togda padayushii, prelomlennye i otrazhennye luchi lezhat v etoi zhe ploskosti. Esli $\alpha_{1}$ - ugol padeniya, a $\alpha_{2}$ - ugol prelomleniya, to iz ris. 2, a i b ugol vyshedshego lucha po otnosheniyu k padayushemu v pervom sluchae budet raven

$\varphi_{1} = 4\alpha_{2} - 2\alpha_{1}$ ,

(1)

a vo vtorom -

$\varphi_{2} = \pi - 6\alpha_{2} + 2\alpha_{1}$ ,

(2)

prichem, soglasno zakonu prelomleniya:

$\sin \alpha_{2} = \displaystyle{\frac{\sin \alpha_{1}}{n}}$

gde n v nashem sluchae pokazatel' prelomleniya vody. Krome togo, prinimaya uslovno radius kapli za edinicu dliny, imeem

$\sin \alpha_{1} = y$ ,

$\sin \alpha_{2} = \displaystyle{\frac{y}{n}}$ ,

sootvetstvenno v pervom i vo vtorom sluchayah. Poetomu iz (1) i (2) poluchaem

$\varphi_{1} = 4\arcsin \displaystyle{\frac{y}{n}} -2\arcsin y$ , y>0

(3)

$\varphi_{2} = \pi + 6\arcsin \displaystyle{\frac{y}{n}} -2\arcsin y$ , y<0

(4)

Eti dva uravneniya yavlyayutsya osnovnymi dlya dal'neishego rassmotreniya. Netrudno postroit' grafiki uglov $\varphi_{1}$ i $\varphi_{2}$ kak funkcii y. Oni predstavleny na ris. 3 dlya pokazatelya prelomleniya n = 1,331 (krasnyi cvet). My vidim, chto pri znachenii pricel'nogo parametra $y \approx 0,85$ dostigaetsya maksimum ugla $\varphi_{1}$ , priblizitel'no ravnyi ${42}^\circ$ , a ugol $\varphi_{2}$ imeet minimum $\sim {53}^\circ$ pri $y \approx - 0,95$ . Pokazhem, chto etim ekstremal'nym tochkam sootvetstvuet maksimum intensivnosti otrazhennogo kaplei sveta.

Ris. 3.Zavisimost' ugla otrazheniya lucha, padayushego na kaplyu, ot pricel'nogo parametra

Rassmotrim nekotoryi malyi interval izmeneniya pricel'nogo parametra (dlya opredelennosti v pervom sluchae) y, y + $\Delta y$ . S pomosh'yu grafika mozhno naiti izmenenie ugla $\varphi$ na etom intervale $\Delta\varphi$ . Na ris. 3 vidno, chto $\Delta\varphi = \Delta y\cdot\tan \beta$ , gde $\beta$ - ugol, kotoryi kasatel'naya k grafiku v dannoi tochke obrazuet s os'yu absciss. Velichina $\Delta y$ proporcional'na intensivnosti sveta $\Delta I$ , padayushego na kaplyu v etom intervale pricel'nogo parametra. Eta zhe intensivnost' sveta (tochnee, proporcional'naya ei velichina) rasseivaetsya kaplei v uglovom intervale $\Delta\varphi$ . My mozhem napisat' $\Delta I \sim \Delta y = \Delta\varphi\cot\beta$ . Sledovatel'no, intensivnost' rasseyannogo kaplei sveta, prihodyashayasya na edinicu ugla rasseyaniya, mozhet byt' vyrazhena kak

$I(\varphi) = \displaystyle{\frac{\Delta I}{\Delta\varphi}} \sim \cot\beta$ .

(5)

Tak kak v ekstremal'nyh tochkah $\cot\beta = \infty$ , to velichina (5) obrashaetsya v beskonechnost'. Otmetim, chto polozheniya etih ekstremal'nyh tochek dlya razlichnyh cvetov neskol'ko otlichayutsya, chto i pozvolyaet nablyudat' radugu. Opisannyi effekt poluchen na osnovanii geometricheskoi optiki. V poslednem razdele my pokazhem, kakoe vliyanie na nego okazyvaet difrakciya sveta.

Uglovoe raspredelenie intensivnosti rasseyannogo sveta mozhno poluchit', esli postroit' grafik zavisimosti $\cot\beta$ ot ugla $varphi$ . Vruchnuyu eto mozhno sdelat' po grafikam na ris. 3, no luchshe, konechno, na komp'yutere. Dlya teh, kto znaet, chto takoe proizvodnaya, privedennye vyshe rassuzhdeniya mozhno svesti k formule

$I(\varphi) = {\left( \displaystyle{\frac{d\varphi}{dy}} \right)}^{-1}$ .

(6)

Nizhe my privodim programmu postroeniya etih grafikov s pomosh'yu sredy Matkad (MathCad).

y:=0,0001

n:=1,331

m:=1,343

$f1(y,n):= \left(4\arcsin\left(\displaystyle{\frac{y}{n}}\right) - 2\arcsin(y)\right)\cdot\left(\displaystyle{\frac{180}{3,1416}}\right)$

$f2(y,n):= 180 - \left[\left(6\left|\arcsin\left(\displaystyle{\frac{y}{n}}\right)\right| - 2|\arcsin(y)| \right) \cdot \displaystyle{\frac{180}{3,1416}}\right]$

$df1(y,n):=\displaystyle{\frac{d}{dy}}f1(y,n)$

$I1(y,n):=\left\|\begin{array}{c} \displaystyle\frac{2}{|df1(y,n)|} \mbox{ if } df1(y,n)\lt0 \\\\ 0 \mbox{ otherwise} \end{array}\right.$

$df2(y,n):=\displaystyle{\frac{d}{dy}}f2(y,n)$

$I2(y,n):=\left\|\begin{array}{c} \displaystyle\frac{2}{|df2(y,n)|} \mbox{ if } df2(y,n)\gt0 \\\\ 0 \mbox{ otherwise} \end{array}\right.$

Eta programma ochen' lakonichna i fakticheski povtoryaet formuly, privedennye v tekste. V pervoi stroke zadan interval izmeneniya modulya pricel'nogo parametra [0, 1] s shagom 0,0001, n = 1,331 i m = 1,343 - pokazateli prelomleniya vody dlya krasnogo i fioletovogo luchei sootvetstvenno. Dalee privodyatsya dve osnovnye formuly dlya uglov rasseyaniya (vyrazhennye v gradusah), analogichnye formulam (3) i (4). Zatem zapisyvayutsya komandy vychisleniya proizvodnyh ot etih uglov po pricel'nomu parametru i, nakonec, v sootvetstvii s (6) zadayutsya formuly dlya vychisleniya otnositel'nyh intensivnostei. Dlya uprosheniya programmy my predpolagaem zdes' simmetriyu krivyh na ris. 3 v okrestnosti ekstremal'nyh tochek. S etim svyazano vvedennoe uslovie "if " i dopolnitel'nyi mnozhitel' 2.

Poluchennye takim obrazom grafiki intensivnosti rasseyannogo sveta dlya pervogo i vtorogo sluchaev izobrazheny na ris. 4. Pri etom my pokazyvaem krivye dlya dvuh znachenii pokazatelya prelomleniya, sootvetstvuyushih krasnomu i fioletovomu cvetam.

Ris. 4.Uglovoe raspredelenie intensivnosti otrazhennogo kaplei monohromaticheskogo sveta, poluchennoe s pomosh'yu geometricheskoi optiki

Privedem znacheniya uglov, pri kotoryh dostigayutsya maksimumy intensivnostei krasnogo i fioletovogo luchei:
     fioletovyi luch v pervom sluchae ${40,65}^\circ$ ,
     krasnyi luch v pervom sluchae ${42,37}^\circ$ ,
     fioletovyi luch vo vtorom sluchae ${53,48}^\circ$ ,
     krasnyi luch vo vtorom sluchae ${50,37}^\circ$ .
Vidno, chto yarkie luchi, okrashennye v eti cveta, v rassmatrivaemom priblizhenii horosho razdeleny: v pervom sluchae - na ${1,72}^\circ$ , vo vtorom - na ${3,11}^\circ$ . Takim obrazom, effekt radugi obuslovlen tem, chto pod opredelennymi uglami voznikayut maksimumy intensivnosti rasseyannogo sveta i dlya raznyh cvetov polozheniya etih maksimumov ne perekryvayutsya.

Nazad | Vpered

Publikacii s klyuchevymi slovami: raduga - optika - prelomlenie sveta - dispersiya sveta Publikacii so slovami: raduga - optika - prelomlenie sveta - dispersiya sveta
Sm. takzhe: Raduzhnoe derevo Polnaya krugovaya raduga nad Norvegiei Dopolnitel'nye radugi nad N'yu-Dzhersi Kogda radugi ulybayutsya Krasnaya oblachnaya raduga nad Delaverom Zakat, pohozhii na sloenyi pirog Raduga i luchi nad Brais-Kan'on Vse publikacii na tu zhe temu >>

Mneniya chitatelei [3]

Versiya dlya pechati

Astrometriya - Astronomicheskie instrumenty - Astronomicheskoe obrazovanie - Astrofizika - Istoriya astronomii - Kosmonavtika, issledovanie kosmosa - Lyubitel'skaya astronomiya - Planety i Solnechnaya sistema - Solnce