Astronet > Mehanika tverdogo tela. Lekcii.

po tekstam po klyuchevym slovam v glossarii po saitam perevod po katalogu

Mehanika tverdogo tela. Lekcii.

V.A.Aleshkevich, L.G.Dedenko, V.A.Karavaev (Fizicheskii fakul'tet MGU)
Izdatel'stvo Fizicheskogo fakul'teta MGU, 1997 g. Soderzhanie

Predislovie.

Na kafedre obshei fiziki vedetsya rabota po podgotovke i izdaniyu original'nogo kursa "Obshaya fizika", prednaznachennogo dlya studentov fizicheskih special'nostei vuzov.

Kurs budet ohvatyvat' chetyre razdela: "Mehanika", "Molekulyarnaya fizika", "Elektromagnetizm" i "Optika", sootvetstvovat' novym uchebnym programmam, razrabotannym na fizicheskom fakul'tete MGU, i otrazhat' sovremennye tendencii i tehnologii fizicheskogo obrazovaniya.

Otlichitel'noi osobennost'yu dannogo kursa yavlyaetsya to, chto v nem naibolee posledovatel'no v metodicheskom otnoshenii provoditsya tochka zreniya o sushestvennom edinstve osnovnyh form obucheniya fizike: lekcii, laboratornyh eksperimentov i seminarskih uprazhnenii. Lekcii po kazhdoi teme nachinayutsya s demonstracii osnovnyh eksperimental'nyh faktov, kotorye zatem analiziruyutsya i obobshayutsya v vide fizicheskih zakonov i sootnoshenii. Takoi "eksperimental'nyi" podhod k izlozheniyu materiala zakreplyaetsya pri vypolnenii laboratornyh eksperimentov, cel' kotoryh - nauchit' studentov navykam samostoyatel'noi postanovki i resheniya fizicheskih problem, provedeniyu eksperimental'nyh issledovanii, vklyuchaya komp'yuternoe modelirovanie, a takzhe metodam interpretacii i analiza eksperimental'nyh dannyh. Bolee glubokoe ponimanie osnovnyh fizicheskih yavlenii i zakonomernostei dostigaetsya na seminarskih zanyatiyah.

V sootvetstvii s postavlennymi zadachami kazhdyi razdel kursa budet sostoyat' iz chetyreh posobii: "Lekcii", "Lekcionnyi eksperiment", "Laboratornyi eksperiment", "Seminarskie zanyatiya". Posobiya, napisannye v edinom metodicheskom klyuche, budut komplektovat'sya videozapisyami lekcionnyh demonstracii i disketami s opisaniem model'nyh eksperimentov.

Lekcii po kinematike i dinamike tverdogo tela yavlyayutsya chast'yu gotovyashegosya k izdaniyu kursa "Mehanika" i mogut rassmatrivat'sya kak samostoyatel'noe uchebnoe posobie po dannoi teme. Lekcii napisany na osnove kursov, chitaemyh avtorami na fizicheskom fakul'tete MGU.

Avtory vyrazhayut glubokuyu blagodarnost' M.V.Semenovu za vnimatel'noe prochtenie rukopisi i cennye zamechaniya, a takzhe K.B.Begun, M.P.Vinogradovu i A.A.Yakute za podgotovku rukopisi k izdaniyu.

Lekciya 1.

Kinematika absolyutno tverdogo tela. Stepeni svobody. Ugly Eilera. Postupatel'noe dvizhenie. Vrashenie vokrug nepodvizhnoi osi. Ploskoe dvizhenie. Dvizhenie tverdogo tela, imeyushego odnu nepodvizhnuyu tochku. Dvizhenie svobodnogo tverdogo tela.

Mehanika tverdogo tela - odin iz naibolee trudnyh razdelov kursa. Kak i mehanika material'noi tochki, on sostoit iz dvuh osnovnyh chastei: kinematiki i dinamiki.

Zadacha kinematiki - dat' sposoby opisaniya dvizheniya tverdogo tela i, ishodya iz zakona ego dvizheniya, opredelit' polozhenie, skorost' i uskorenie lyuboi tochki v lyuboi moment vremeni. V obshem sluchae eto dovol'no slozhnaya zadacha - v etom mozhno ubedit'sya, pokrutiv v rukah, naprimer, knigu ili ruchku. Konechno, vsyakoe telo mozhno predstavit' kak sistemu material'nyh tochek i poprobovat' primenit' k nemu priemy, izvestnye iz kinematiki tochki. Na pervyi vzglyad, eto ne uproshaet situaciyu - ne vypisyvat' zhe zakony dvizheniya dlya vseh fizicheski malyh chastei, na kotorye mozhno razbit' telo, pust' dazhe ih budet i konechnoe chislo?

Oblegchayushee obstoyatel'stvo kroetsya v samih slovah "tverdoe telo". Tverdoe - znachit prakticheski nedeformiruemoe. Opyt pokazyvaet, chto seli na kakoi-libo dostatochno tverdyi predmet podeistvovat' siloi i zastavit' ego dvigat'sya, to rasstoyaniya mezhdu lyubymi ego tochkami ostanutsya neizmennymi. Hotya, konechno, pod deistviem prilozhennyh sil v tele vozniknut vnutrennie napryazheniya, prichina kotoryh - deformacii otdel'nyh ego chastei. No esli my govorim o tverdom tele, to eti deformacii okazyvayutsya nastol'ko malymi, chto nezametny dlya glaza, i ot nih mozhno otvlech'sya. V itoge my prihodim k idealizirovannoi modeli absolyutno tverdogo tela (v dal'neishem - prosto tverdogo tela), kotoroe sovershenno ne sposobno deformirovat'sya, hotya pod deistviem vneshnih sil v nem mogut voznikat' opredelennye vnutrennie usiliya.

Takim obrazom, tverdoe telo mozhno rassmatrivat' kak sistemu material'nyh tochek, otnositel'nye polozheniya kotoryh ostayutsya neizmennymi. Drugimi slovami, vse makroskopicheskie elementy takogo tela nepodvizhny v sisteme koordinat, zhestko svyazannoi s telom. Imenno eto obstoyatel'stvo pozvolyaet znachitel'no uprostit' reshenie kinematicheskih zadach i konkretizirovat' mnogie obshie ponyatiya (impul's, moment impul'sa, energiya), vvedennye ranee pri rassmotrenii sistemy material'nyh tochek.

Stepeni svobody. Ugly Eilera.

Dvigayas' v prostranstve, tverdoe telo obladaet opredelennymi stepenyami svobody.

Chisle stepenei svobody - eto chislo nezavisimyh velichin, kotorye neobhodimo zadat' dlya togo, chtoby odnoznachno opredelit' polozhenie tela v prostranstve. V raznyh situaciyah chislo stepenei svobody tverdogo tela mozhet byt' razlichnym. Esli disk, ne vrashayas', mozhet skol'zit' vdol' nepodvizhnoe v dannoi sisteme otscheta osi (ris. 1.1a), to v dannoi sisteme otscheta on, ochevidno, obladaet tol'ko odnoi stepen'yu svobody - polozhenie diska odnoznachno opredelyaetsya, skazhem, koordinatoi x ego centra, otschityvaemoi vdol' osi. No esli disk, krome togo, mozhet eshe i vrashat'sya (ris. 1.1b), to on priobretaet eshe odnu stepen' svobody - k koordinate x dobavlyaetsya ugol $\varphi$ povorota diska vokrug osi. Esli os' s diskom zazhata v ramke, kotoraya mozhet povorachivat'sya vokrug vertikal'noi osi (ris. 1.1v), to chislo stepenei svobody stanovitsya ravnym trem - k x i $\varphi$ dobavlyaetsya ugol $\theta$ povorota ramki.

Ris. 1.1.

Korobka, kotoraya mozhet peremeshat'sya po poverhnosti stola (ris. 1.2), takzhe obladaet tremya stepenyami svobody - dlya odnoznachnogo opredeleniya ee polozheniya mozhno zadat', naprimer, koordinaty x, y ee centra i ugol $\varphi$ mezhdu odnim iz reber korobki i kraem stola.

Ris. 1.2.

Kakovo zhe chislo stepenei svobody tverdogo tela v samom obshem sluchae?

Dlya togo, chtoby odnoznachno zadat' polozhenie tverdogo tela v prostranstve, nado zafiksirovat' tri ego tochki, ne lezhashie na odnoi pryamoi. Odna material'naya tochka imeet tri stepeni svobody (tri dekartovy koordinaty x, y, z). Dve material'nye tochki, zhestko svyazannye mezhdu soboi, imeyut 3 + 3 - 1 = 5 stepenei svobody. V etom sluchae koordinaty tochek x₁, y₁, z₁ i x₂, y₂, z₂ ne yavlyayutsya nezavisimymi velichinami, tak kak imeetsya uravnenie svyazi

$\ell ^{2} = \left( {\displaystyle x_{2} - x_{1} } \right)^{2} + \left( {\displaystyle y_{2} - y_{1} } \right)^{2} + \left( {\displaystyle z_{2} - z_{1} } \right)^{2},$

(1.1)

gde $\ell$ - rasstoyanie mezhdu tochkami.

Takim obrazom, v obshem sluchae dlya tverdogo tela poluchaem 3 + 3 + 3 - 3 = 6 stepenei svobody. Pri etom imeyutsya tri uravneniya svyazi, vyrazhayushie postoyanstvo rasstoyanii mezhdu kazhdoi paroi tochek.

Shest' parametrov, sootvetstvuyushih shesti stepenyam svobody tverdogo tela, mozhno zadavat' po-raznomu. V dal'neishem my budem pol'zovat'sya tremya razlichnymi dekartovymi sistemami koordinat:

Laboratornaya sistema XYZ.
Sistema x₀y₀z₀, nachalo kotoroi svyazano s nekotoroi tochkoi O tverdogo tela, a osi ostayutsya parallel'nymi osyam laboratornoi sistemy XYZ, to est' sistema x₀y₀z₀ dvizhetsya vmeste s tochkoi O tverdogo tela otnositel'no sistemy XYZ postupatel'no.
Sistema xyz, nachalo kotoroi nahoditsya v toi zhe tochke O, chto i nachalo sistemy x₀y₀z₀, a osi zhestko svyazany s tverdym telom.

Togda shesti stepenyam svobody tela budut sootvetstvovat', vo-pervyh, tri koordinaty tochki O (v laboratornoi sisteme XYZ), a vo-vtoryh, - tri ugla $\varphi, \psi, \theta$ odnoznachno opredelyayushie polozhenie sistemy xyz otnositel'no x₀y₀z₀. Eti ugly nazyvayutsya uglami Eilera. Ih smysl yasen iz ris. 1.3, gde OA - liniya peresecheniya ploskostei Ox₀y₀ i Oxy, pri etom nizhnee osnovanie tverdogo tela (pryamougol'nogo parallelepipeda) lezhit v ploskosti Oxy. Obychno ih nazyvayut tak: $\varphi$ - ugol sobstvennogo vrasheniya (s izmeneniem etogo ugla svyazan povorot tverdogo tela vokrug osi z), $\psi$ - ugol precessii (povorot vokrug z₀ s sohraneniem ugla $\theta$ mezhdu osyami z₀ i z), $\theta$ - ugol nutacii (otklonenie tela ot osi z₀).

Ris. 1.3.

Primery s diskom na osi i korobkov (ris. 1.1, 1.2) pokazyvayut, chto slozhnoe dvizhenie togo ili inogo tela mozhet byt' predstavleno kak superpoziciya dostatochno prostyh dvizhenii: postupatel'nogo peremesheniya i povorota (vrasheniya) vokrug osi. V dal'neishem, sleduya principu "ot prostogo k slozhnomu", my rassmotrim 5 tipov dvizheniya tverdogo tela, ischerpyvayushie vse vstrechayushiesya na praktike sluchai:

postupatel'noe dvizhenie;
vrashenie vokrug nepodvizhnoi osi;
ploskoe, ili plosko-parallel'noe dvizhenie;
dvizhenie tverdogo tela s odnoi nepodvizhnoi tochkoi (takoe dvizhenie inogda nazyvayut sfericheskim);
dvizhenie svobodnogo, to est' nezakreplennogo tverdogo tela.

Nazad| Vpered

Publikacii s klyuchevymi slovami: mehanika - tverdoe telo - ugly Eilera Publikacii so slovami: mehanika - tverdoe telo - ugly Eilera
Sm. takzhe: Mehanika sploshnyh sred Variacionnye principy mehaniki Anizotropiya

Mneniya chitatelei [2]

Versiya dlya pechati

Astrometriya - Astronomicheskie instrumenty - Astronomicheskoe obrazovanie - Astrofizika - Istoriya astronomii - Kosmonavtika, issledovanie kosmosa - Lyubitel'skaya astronomiya - Planety i Solnechnaya sistema - Solnce