|
po tekstam po klyuchevym slovam v glossarii po saitam perevod po katalogu |
Mehanika tverdogo tela. Lekcii.
V.A.Aleshkevich, L.G.Dedenko, V.A.Karavaev (Fizicheskii fakul'tet MGU)Izdatel'stvo Fizicheskogo fakul'teta MGU, 1997 g. Soderzhanie
Neobhodimost' vvedeniya tenzornyh velichin svyazana s razlichnogo roda anizotropiei svoistv fizicheskih makroskopicheskih ob'ektov. Tenzor svyazyvaet dve vektornye velichiny, kotorye proporcional'ny drug drugu po modulyu, no v silu anizotropii svoistv ob'ekta ne sovpadayut drug s drugom po napravleniyu. V sluchae L i reshayushuyu rol' igraet "anizotropiya" formy tela (otsutstvie opredelennoi simmetrii otnositel'no osei xyz). V drugih sluchayah eto mozhet byt' anizotropiya, naprimer, elektricheskih ili magnitnyh svoistv veshestva. Tak, vektory polyarizacii veshestva R i napryazhennosti elektricheskogo polya E svyazany tenzorom polyarizuemosti : - elektricheskaya postoyannaya). Eto oznachaet, chto v silu anizotropii elektricheskih svoistv veshestvo polyarizuetsya "ne po polyu", to est' "ne po polyu" smeshayutsya polozhitel'nye i otricatel'nye zaryady v molekulah veshestva. Primerami drugih, v obshem sluchae tenzornyh velichin yavlyayutsya dielektricheskaya pronicaemost' i magnitnaya pronicaemost' veshestva. Vazhnuyu rol' v mehanike igrayut tenzory deformacii i napryazhenii. S etimi i drugimi tenzornymi velichinami vy poznakomites' pri izuchenii sootvetstvuyushih razdelov kursa obshei fiziki.
Zamechanie. Esli i L v vyrazhenii (2.3) proektirovat' na osi laboratornoi sistemy XYZ, to komponenty tenzora okazalis' by zavisyashimi ot vremeni. Takoi podhod v principe vozmozhen; on, v chastnosti, ispol'zuetsya v Berkleevskom kurse fiziki [Ch. Kittel' i dr., 1983].
Glavnye osi inercii.
Voznikaet vopros: vozmozhen li dlya proizvol'nogo tverdogo tela sluchai, kogda vektory L i sovpadayut? Okazyvaetsya, chto dlya vsyakogo tela i lyuboi tochki O imeyutsya po krainei mere tri vzaimno perpendikulyarnyh napravleniya (ili, drugimi slovami, tri vzaimno perpendikulyarnyh osi vrasheniya), dlya kotoryh napravleniya L i sovpadayut. Takie osi nazyvayutsya glavnymi osyami inercii tela.
Esli osi Ox, Oy i Oz sovmestit' s glavnymi osyami inercii tela, to matrica budet imet' diagonal'nyi vid:
(2.15) |
Velichiny v etom sluchae nazyvayutsya glavnymi momentami inercii tela. Pri etom
(2.16) |
to est', deistvitel'no, esli vektor napravlen vdol' odnoi iz glavnyh osei inercii tela, to vektor L budet napravlen tochno tak zhe (ris. 2.6).
Ris. 2.6. |
Raspolozhenie glavnyh osei inercii v tele i znacheniya sootvetstvuyushih glavnyh momentov inercii zavisyat ot vybora tochki O. Esli O sovpadaet s centrom mass, to glavnye osi nazyvayutsya glavnymi central'nymi osyami tela. Esli glavnye osi inercii tela izvestny, to znacheniya glavnyh momentov inercii vychislyayutsya iz geometrii mass. Naprimer:
(2.17) |
Zdes' - rasstoyanie elementarnoi massy ot glavnoi osi Ox.
Kak zhe opredelit' glavnye osi inercii dlya vybrannoi tochki O tverdogo tela? Esli osi Ox, Oy i Oz provedeny v tele proizvol'no, to v obshem sluchae oni ne sovpadayut s glavnymi osyami inercii. Takogo sovpadeniya mozhno dobit'sya putem nekotorogo povorota ishodnoi sistemy koordinat otnositel'no tverdogo tela. V novyh koordinatah matrica stanovitsya diagonal'noi.
Vo mnogih sluchayah glavnye osi inercii udaetsya legko opredelit' iz soobrazhenii simmetrii. Na ris. 2.7-2.10 izobrazheny glavnye osi inercii dlya razlichnyh tochek tel, obladayushih opredelennoi simmetriei: cilindra (ris. 2.7), pryamougol'nogo parallelepipeda (ris. 2.8), kuba (ris. 2.9) i shara (ris. 2.10). Legko soobrazit', chto vo vseh etih sluchayah Naprimer, v sluchae pryamougol'nogo parallelepipeda (ris. 2.8) tak kak dlya vsyakoi massy s dannymi znacheniyami naidetsya simmetrichno raspolozhennaya massa s temi zhe znacheniyami i , no s protivopolozhnym znacheniem
Ris. 2.7. | Ris. 2.8. |
Ris. 2.9. | Ris. 2.10. |
V zaklyuchenie etogo razdela rassmotrim primer nahozhdeniya glavnyh osei inercii dlya ploskoi pryamougol'noi plastinki so storonami i massa kotoroi (ris. 2.11).
Ris. 2.11. |
Yasno, chto odna iz glavnyh osei inercii dlya tochki O (os' Oz) perpendikulyarna ploskosti plastinki; na ris. 2.11 ona ne pokazana. Osi Ox i Oy, napravlennye vdol' storon plastinki, ne yavlyayutsya glavnymi. Deistvitel'no, v etom sluchae
(2.18) |
(2.19) |
(2.20) |
Dopustim, chto osi Ox' i Oy', povernutye na ugol otnositel'no osei Ox i Oy - glavnye osi inercii dlya tochki O. Sootvetstvuyushee preobrazovanie koordinat imeet vid:
Togda budem imet'
(2.23) |
Zdes' uchteno, chto dlya glavnyh osei Ox' i Oy'
Analogichno
(2.24) |
(2.25) |
Podstavlyaya v (2.23 - 2.25) znacheniya i iz (2.18 - 2.20), poluchim sistemu treh uravnenii dlya nahozhdeniya i :
Iz etoi sistemy, v chastnosti, legko poluchit', chto
(2.29) |
Dlya sravneniya: esli - ugol mezhdu os'yu Oy i diagonal'yu pryamougol'noi plastinki, to
(2.30) |
to est' Eto oznachaet, chto glavnaya os' inercii Oy' ne prohodit cherez centr plastinki. I tol'ko v sluchae kvadrata, kogda glavnaya os' inercii Oy' budet napravlena po diagonali kvadrata. Etot primer naglyadno pokazyvaet, chto esli glavnye osi inercii - necentral'nye, to ni odna iz nih v principe mozhet i ne prohodit' cherez centr mass tela.
Publikacii s klyuchevymi slovami:
mehanika - tverdoe telo - ugly Eilera
Publikacii so slovami: mehanika - tverdoe telo - ugly Eilera | |
Sm. takzhe:
|