![]() |
po tekstam po klyuchevym slovam v glossarii po saitam perevod po katalogu |
Kolebaniya i volny. Lekcii.
V.A.Aleshkevich, L.G.Dedenko, V.A.Karavaev (Fizicheskii fakul'tet MGU)Izdatel'stvo Fizicheskogo fakul'teta MGU, 2001 g. Soderzhanie
Lekciya 3
Svobodnye nezatuhayushie kolebaniya v sistemah s dvumya stepenyami svobody. Normal'nye kolebaniya (mody). Parcial'nye i normal'nye chastoty. Bieniya. Ponyatie spektra kolebanii. Metodika analiza kolebanii 2-h svyazannyh oscillyatorov. Zatuhanie kolebanii i dissipaciya energii. Vynuzhdennye kolebaniya. Rezonans. Kolebaniya sistem so mnogimi stepenyami svobody. Dispersionnoe sootnoshenie.
Nablyudaya kolebaniya massy podveshennoi na legkoi pruzhine zhestkosti
nel'zya ne obratit' vnimanie na to, chto, naryadu s vertikal'nymi kolebaniyami
gruza, voznikayut i tak nazyvaemye mayatnikovye kolebaniya (iz storony v
storonu) (ris. 3.1).
![]() |
Ris. 3.1. |
Naibolee sil'nymi eti mayatnikovye kolebaniya budut togda, kogda chastota
vertikal'nyh kolebanii budet ravna udvoennoi chastote
mayatnikovyh kolebanii
(
- dlina rastyanutoi pruzhiny pri
nepodvizhnom gruze). Takoi rezul'tat legko ponyat', esli rassmatrivat'
mayatnikovye kolebaniya kak rezonansnye parametricheskie kolebaniya, pri etom
parametr mayatnika - dlina pruzhiny
- menyaetsya pri vertikal'nyh kolebaniyah
na velichinu
(sm. predydushuyu lekciyu). V techenie nekotorogo
vremeni mayatnikovye kolebaniya mogut usilivat'sya za schet umen'sheniya energii
vertikal'nyh kolebanii. Zatem process poidet v obratnom napravlenii:
mayatnikovye kolebaniya nachnut oslabevat', "vozvrashaya" energiyu usilivayushimsya
vertikal'nym kolebaniyam. Sledovatel'no, vertikal'nye kolebaniya ne budut
garmonicheskimi, chto svyazano s nalichiem mayatnikovyh kolebanii,
sootvetstvuyushih vozbuzhdeniyu vtoroi stepeni svobody. Pri opredelennyh
usloviyah mogut voznikat' i krutil'nye kolebaniya gruza vokrug vertikal'noi
osi pruzhiny. Opyt pokazyvaet, chto naibolee sil'nymi eti kolebaniya budut v
tom sluchae, kogda ih chastota
- koefficient
zhestkosti pruzhiny pri ee skruchivanii, rassmotrennyi v lekcii po deformacii
tverdogo tela,
- moment inercii tela otnositel'no vertikal'noi osi) budet
primerno v dva raza men'she chastoty vertikal'nyh kolebanii. V obshem sluchae v
etoi sisteme mogut proishodit' chetyre tipa kolebanii, sootvetstvuyushih
chetyrem stepenyam svobody: odno vertikal'noe, dva mayatnikovyh v dvuh
vzaimno-perpendikulyarnyh ploskostyah i odno krutil'noe.
Takim obrazom, pered nami voznikaet zadacha izucheniya osnovnyh zakonomernostei kolebanii v sistemah s dvumya, tremya i bolee stepenyami svobody, zatem mozhno rassmotret' i kolebaniya sploshnoi sredy, kak sistemy s beskonechno bol'shim chislom stepenei svobody.
Svobodnye nezatuhayushie kolebaniya v sistemah s dvumya stepenyami svobody.
Na ris. 3.2 izobrazheny tri razlichnye kolebatel'nye sistemy s dvumya stepenyami
svobody. Pervaya iz nih (a) - eto dva razlichnyh pruzhinnyh mayatnika,
svyazannye pruzhinoi s zhestkost'yu Vtoraya (b) - dva gruza s massami
i
zakreplennye na natyanutom nekotoroi siloi
nevesomom
rezinovom shnure. Tret'ya (v) - dva svyazannyh pruzhinoi
razlichnyh
mayatnika, kazhdyi iz kotoryh sostoit iz gruza, podveshennogo na nevesomom
sterzhne.
![]() |
Ris. 3.2. |
Kolebaniya gruzov v kazhdoi iz treh sistem opisyvayutsya dvumya vremennymi
zavisimostyami ih smeshenii i
Polozhitel'noe
napravlenie smesheniya
na risunke ukazano strelkami.
Opyt pokazyvaet, chto pri proizvol'nom sposobe vozbuzhdeniya kolebaniya ne budut
garmonicheskimi: amplituda kolebanii kazhdoi iz mass budet periodicheski
menyat'sya vo vremeni. Odnako mozhno sozdat' takie nachal'nye usloviya, pri
kotoryh kazhdyi gruz budet sovershat' garmonicheskie kolebaniya s odnoi i toi zhe
chastotoi :
![]() |
Chastota etih kolebanii \omega opredelyaetsya svoistvami sistemy. Otnoshenie
(3.2)![]() |
takzhe opredelyaetsya parametrami sistemy. Eta bezrazmernaya algebraicheskaya
velichina nazyvaetsya koefficientom raspredeleniya amplitud pri
garmonicheskom kolebanii. Otmetim, chto
i
mogut imet'
lyuboi znak. Esli
to smesheniya obeih mass vsegda proishodit v
odnu storonu (sinfaznye kolebaniya), a pri
- v
protivopolozhnye storony (protivofaznye kolebaniya). Garmonicheskie kolebaniya
(3.1) nazyvayutsya normal'nymi kolebaniyami, ili modami, a chastota
nazyvaetsya normal'noi chastotoi. Takim obrazom, moda harakterizuetsya dvumya
parametrami: chastotoi
i koefficientom
opredelyayushim
"konfiguraciyu" mody.
Praktika pokazyvaet, chto v sisteme s dvumya stepenyami svobody mogut
sushestvovat' sinfaznye garmonicheskie kolebaniya s chastotoi i
protivofaznye garmonicheskie kolebaniya s chastotoi
Sledovatel'no, v sisteme mogut byt' vozbuzhdeny dve mody:
I moda | ![]() | (3.3) |
II moda | ![]() | (3.4) |
Netrudno teper' ponyat', chto lyuboe kolebanie svyazannoi lineinoi sistemy s dvumya stepenyami svobody (a imenno takie sistemy my budem dalee rassmatrivat') mozhet byt' predstavleno v vide superpozicii dvuh normal'nyh kolebanii (3.3) i (3.4):
(3.5)![]() |
Ne pribegaya poka k detal'nomu matematicheskomu issledovaniyu, proanaliziruem povedenie sistemy s dvumya stepenyami svobody, pol'zuyas' osnovnymi ideyami, razvitymi v predydushih lekciyah. Predstavim lyubuyu iz sistem, izobrazhennyh na ris. 3.2, kak slozhnuyu sistemu, sostoyashuyu iz dvuh parcial'nyh sistem. Eti parcial'nye sistemy, sootvetstvuyushie sluchayu (a) ris. 3.2, pokazany na ris. 3.3: kazhdaya iz etih parcial'nyh sistem imeet sobstvennuyu chastotu kolebanii, kotoraya nazyvaetsya parcial'noi chastotoi.
![]() |
Ris. 3.3. |
Velichiny etih parcial'nyh chastot, sootvetstvenno, ravny:
(3.6)![]() |
Sovershenno ochevidno, chto chastota - eto chastota kolebanii
massy
v sisteme dvuh svyazannyh mayatnikov, kogda massa
nepodvizhna (zablokirovana vtoraya stepen' svobody). Analogichno, s chastotoi
budet kolebat'sya massa
kogda nepodvizhna massa
Teper' pereidem k opredeleniyu normal'nyh chastot i
Vspomnim, chto kvadrat chastoty garmonicheskih kolebanii raven
otnosheniyu vozvrashayushei sily k smesheniyu gruza
i velichine ego massy
Podberem nachal'nye smesheniya mass
i
takim obrazom, chtoby
dlya obeih mass eti otnosheniya (a, sledovatel'no, i chastoty) byli by
odinakovy. Takoi podbor legko ugadyvaetsya dlya simmetrichnoi sistemy
(ris. 3.4), u kotoroi parcial'nye chastoty
sovpadayut:
![]() |
![]() |
Ris. 3.4 |
Esli oba gruza smestit' vpravo na odinakovye rasstoyaniya to srednyaya pruzhina
(pruzhina svyazi) ne budet
deformirovana (poziciya b). Posle otpuskaniya pruzhina budet ostavat'sya
nedeformirovannoi. Poetomu kazhdyi iz gruzov budet sovershat' garmonicheskie
kolebaniya s odnoi i toi zhe chastotoi
![]() |
kotoraya i yavlyaetsya pervoi normal'noi chastotoi. Konfiguraciya etogo sinfaznogo
kolebaniya (mody) zadaetsya koefficientom raspredeleniya amplitud
Esli teper' obe massy smestit' v raznye storony na odinakovye rasstoyaniya
(poziciya v), to pruzhina
udlinitsya na
velichinu
Poetomu k pravoi masse budet prilozhena
vozvrashayushaya sila, ravnaya
a na
levuyu massu budet deistvovat' v protivopolozhnom napravlenii sila
Posle otpuskaniya gruzy budut sovershat'
protivofaznye garmonicheskie kolebaniya so vtoroi normal'noi chastotoi
![]() |
Konfiguraciya vtoroi mody harakterizuetsya koefficientom raspredeleniya
Publikacii s klyuchevymi slovami:
kolebaniya - volny
Publikacii so slovami: kolebaniya - volny | |
Sm. takzhe:
|