Kolebaniya i volny. Lekcii.
V.A.Aleshkevich, L.G.Dedenko, V.A.Karavaev (Fizicheskii fakul'tet MGU)Izdatel'stvo Fizicheskogo fakul'teta MGU, 2001 g. Soderzhanie
Metod vektornyh diagramm.
Garmonicheskie kolebaniya (1.7) dopuskayut naglyadnuyu
graficheskuyu interpretaciyu. Ee smysl sostoit v tom, chto kazhdomu
garmonicheskomu kolebaniyu s chastotoi mozhno postavit' v
sootvetstvie vrashayushiisya s uglovoi skorost'yu
vektor, dlina
kotorogo ravna amplitude
a ego nachal'noe (startovoe) polozhenie
zadaetsya uglom
sovpadayushim s nachal'noi fazoi (ris. 1.5).
![]() |
Ris. 1.5. |
Vertikal'naya proekciya vektora izmenyaetsya so vremenem:
Mgnovennoe polozhenie vektora
opredelyaetsya uglom
kotoryi nazyvaetsya fazoi i raven:
![]() | (1.18) |
Pri uglovoi skorosti (krugovoi chastote) vektor sovershaet
oborotov (ciklov) v sekundu, a prodolzhitel'nost'
odnogo oborota (period) ravna otnosheniyu ugla
k uglovoi skorosti
S pomosh'yu vektornyh diagramm legko osushestvit' slozhenie garmonicheskih kolebanii. Tak, esli neobhodimo slozhit' dva garmonicheskih kolebaniya s odinakovymi chastotami
![]() |
to amplitudu i nachal'nuyu fazu
summarnogo kolebaniya
s toi zhe chastotoi
mozhno legko rasschitat' iz ris. 1.6a,
na kotorom graficheski izobrazhena operaciya slozheniya vektorov
v
moment vremeni
![]() |
![]() |
Yasno, chto vertikal'naya proekciya vektora budet takzhe
izmenyat'sya po garmonicheskomu zakonu s chastotoi
poskol'ku
vzaimnoe raspolozhenie vektorov
i
ne izmenyaetsya s techeniem
vremeni.
![]() |
Ris. 1.6a. |
Iz etoi diagrammy naglyadno vidno, chto summarnoe kolebanie operezhaet po
faze kolebanie
i otstaet po faze ot kolebaniya
Polnaya faza dlya kazhdogo iz treh kolebanii v proizvol'nyi moment vremeni
otlichaetsya ot ih nachal'nyh faz na odnu i tu zhe velichinu
kotoruyu pri postroenii vektornyh diagramm ne uchityvayut. Pri etom kolebanie
izobrazhaetsya nepodvizhnym vektorom (ris. 1.6b), a chastota kolebaniya
predpolagaetsya izvestnoi.
![]() |
Ris. 1.6b. |
Slozhenie vzaimno-perpendikulyarnyh kolebanii.
Rassmotrim kolebatel'nuyu sistemu, sostoyashuyu iz tochechnogo gruza massy i chetyreh svyazannyh s nim
pruzhin (ris. 1.7) - uslozhnennyi variant rassmotrennogo vyshe pruzhinnogo mayatnika.
![]() |
Ris. 1.7. |
Esli massa dvizhetsya po gladkoi gorizontal'noi poverhnosti (na risunke
pokazan vid sverhu), to ee mgnovennoe raspolozhenie opisyvaetsya dvumya
smesheniyami iz polozheniya ravnovesiya - tochki O: i
Takaya sistema obladaet dvumya stepenyami svobody. Budem schitat' smesheniya
malymi, chtoby, vo-pervyh, vypolnyalsya zakon Guka, a, vo-vtoryh, pri smeshenii
vdol' napravleniya
deformacii pruzhin s zhestkost'yu
ne
privodili k skol'ko-nibud' zametnomu vkladu v vozvrashayushuyu silu
Analogichno, pri smeshenii v perpendikulyarnom napravlenii
vozvrashayushaya sila
Pri takih usloviyah
kolebaniya v dvuh vzaimno perpendikulyarnyh napravleniyah proishodyat nezavisimo
drug ot druga:
![]() | (1.19) |
Zdes' sobstvennye chastoty garmonicheskih kolebanii ravny
![]() | (1.20) |
a amplitudy i nachal'nye fazy opredelyayutsya nachal'nymi usloviyami.
Pri vozbuzhdenii kolebanii v takoi sisteme pri proizvol'nom sootnoshenii
sobstvennyh chastot i
traektoriya
koleblyushegosya gruza mozhet byt' chrezvychaino slozhnoi. Ee, v principe, mozhno
proanalizirovat', prinimaya vo vnimanie tot fakt, chto rezul'tiruyushee dvizhenie
gruza yavlyaetsya superpoziciei dvuh vzaimno-perpendikulyarnyh nezavisimyh
kolebanii.
Rassmotrim vnachale dvizhenie gruza, esli (zhestkosti vseh pruzhin odinakovy). Chtoby poluchit' traektoriyu
dvizheniya, isklyuchim iz (1.19) tekushee vremya. Dlya etogo perepishem (1.19) v vide:
![]() | (1.21) |
Umnozhim pervoe uravnenie (1.21) na a vtoroe - na
i vychtem vtoroe uravnenie iz pervogo. V rezul'tate
poluchim
![]() | (1.22a) |
Teper' umnozhim pervoe uravnenie na a vtoroe - na
povtorim vychitanie i poluchim
![]() | (1.22b) |
Nakonec, vozvedem v kvadrat kazhdoe iz ravenstv (1.22) i slozhim ih. V rezul'tate vremya budet isklyucheno, a uravnenie traektorii dvizhushegosya gruza budet uravneniem ellipsa:
![]() | (1.23) |
Takim obrazom, v obshem sluchae gruz budet sovershat' periodicheskie dvizheniya po
ellipticheskoi traektorii. Napravlenie dvizheniya vdol' traektorii i orientaciya
ellipsa otnositel'no osei Os1 i Os2 zavisyat ot nachal'noi raznosti
faz Na ris. 1.8 izobrazheny
traektorii dvizheniya gruza pri razlichnyh znacheniyah
![]() |
Ris. 1.8. |
Vse traektorii zaklyucheny v pryamougol'nik so storonami i
Pri
i
gruz dvizhetsya po
pryamoi linii. Pri
i
poluosi ellipsa sovpadayut s Os1 i Os2 (pri
ellips vyrozhdaetsya v okruzhnost'). Pri raznosti faz
gruz dvizhetsya po chasovoi strelke, a pri
-
protiv chasovoi strelki.
Tipichnym primerom dvumernogo oscillyatora (mayatnika) yavlyaetsya elektron v
atome, kotoryi dvizhetsya vokrug yadra po ellipticheskoi orbite s periodom
obrasheniya Mozhno schitat', chto takoi elektron
odnovremenno sovershaet dva vzaimno-perpendikulyarnyh kolebaniya s chastotoi
Esli chastoty dvuh vzaimno-perpendikulyarnyh kolebanii ne sovpadayut, no
yavlyayutsya kratnymi: gde
i
- celye
chisla, to traektorii dvizheniya predstavlyayut soboi zamknutye krivye,
nazyvaemye figurami Lissazhu (ris. 1.9). Otmetim, chto otnoshenie chastot
kolebanii ravno otnosheniyu chisel tochek kasaniya figury Lissazhu k storonam
pryamougol'nika, v kotoryi ona vpisana.
![]() |
Ris. 1.9. |
Esli kratnost' mezhdu chastotami otsutstvuet, to traektorii ne yavlyayutsya zamknutymi i postepenno zapolnyayut ves' pryamougol'nik, napominaya nit' v klubke.
Publikacii s klyuchevymi slovami:
kolebaniya - volny
Publikacii so slovami: kolebaniya - volny | |
Sm. takzhe:
|