Kolebaniya i volny. Lekcii.
V.A.Aleshkevich, L.G.Dedenko, V.A.Karavaev (Fizicheskii fakul'tet MGU)Izdatel'stvo Fizicheskogo fakul'teta MGU, 2001 g. Soderzhanie
Lekciya 2
Vynuzhdennye kolebaniya pod deistviem garmonicheskoi sily. Rezhimy medlennyh, bystryh i rezonansnyh kolebanii. Amplitudno-chastotnye i fazo-chastotnye harakteristiki. Ballisticheskii rezhim kolebanii. Ustanovlenie kolebanii. Harakteristiki razlichnyh kolebatel'nyh sistem. Parametricheskie kolebaniya. Avtokolebaniya.
V predydushei lekcii my rassmotreli svobodnye zatuhayushie kolebaniya, voznikayushie pri nachal'nom kratkovremennom vozdeistvii vneshnih sil na kolebatel'nuyu sistemu. Mezhdu tem, v povsednevnoi praktike my stalkivaemsya s nezatuhayushimi kolebaniyami, dlya podderzhaniya kotoryh neobhodimo podvodit' energiyu k kolebatel'noi sisteme, chtoby kompensirovat' ee energeticheskie poteri.
Odnim iz rasprostranennyh sposobov podderzhaniya nezatuhayushih kolebanii yavlyaetsya nepreryvnoe vozdeistvie na koleblyushuyusya massu periodicheskoi sily (vynuzhdayushei sily)
![]() | (2.1) |
menyayusheisya vo vremeni , voobshe govorya, proizvol'no v predelah perioda
dlitel'nost'yu
. Esli, naprimer, takuyu silu prilozhit' k koleblyusheisya masse
opisannogo vyshe pruzhinnogo mayatnika (ris. 2.1), to uravnenie ee dvizheniya
primet vid:
![]() | (2.2) |
![]() |
Ris. 2.1. |
Opyt pokazyvaet, chto esli sila vnezapno nachinaet deistvovat' (naprimer, v
moment vremeni ), to mayatnik nachnet postepenno raskachivat'sya, i spustya
kakoe-to vremya ego kolebaniya ustanovyatsya. Po poryadku velichiny vremya
ustanovleniya takih vynuzhdennyh kolebanii budet sovpadat' s vremenem
zatuhaniya
Dalee my skoncentriruem
vnimanie imenno na ustanovivshihsya kolebaniyah. Estestvenno, chto parametry
takih kolebanii budut zaviset' ot konkretnogo vida sily
Iz matematiki
horosho izvestno, chto lyubuyu periodicheskuyu funkciyu mozhno predstavit' v vide
ryada Fur'e:
![]() | (2.3) |
Fizicheskii smysl etogo predstavleniya sostoit v tom, chto periodicheskoe
vozdeistvie ekvivalentno odnovremennomu vozdeistviyu postoyannoi sily
i nabora garmonicheskih sil s sootvetstvuyushimi amplitudami
nachal'nymi fazami
i chastotami
kratnymi nizshei (osnovnoi) chastote
Chtoby poluchit' polnuyu kartinu vynuzhdennyh kolebanii pod deistviem sily
(2.3), neobhodimo prinyat' vo vnimanie lineinost' uravneniya (2.2). Eto
pozvolyaet predstavit' ego reshenie kak summu garmonicheskih kolebanii:
![]() | (2.4) |
proishodyashih s ustanovivshimisya amplitudami i fazami
na chastotah
sootvetstvuyushih garmonik vynuzhdayushei sily (2.3).
Kazhdoe slagaemoe v (2.4) mozhet rassmatrivat'sya kak vynuzhdennoe garmonicheskoe
kolebanie, proishodyashee pod deistviem vneshnei garmonicheskoi sily s
amplitudoi
i chastotoi
Amplitudy i fazy
trebuyut opredeleniya, i my pereidem
seichas k ih nahozhdeniyu.
Vynuzhdennye kolebaniya pod deistviem garmonicheskoi sily.
Pust' vneshnyaya sila menyaetsya po garmonicheskomu zakonu
![]() | (2.5) |
Uravnenie (2.2) v etom sluchae prinimaet vid:
![]() | (2.6) |
Pod deistviem etoi sily mayatnik v ustanovivshemsya rezhime budet sovershat' garmonicheskie kolebaniya
![]() | (2.7) |
Kak pokazyvaet opyt, amplituda i nachal'naya faza
(t.e. sdvig fazy mezhdu smesheniem
i siloi
) ustanovivshihsya kolebanii
zavisyat ne tol'ko ot amplitudy sily
(chto ochevidno iz uravneniya
(2.6)), no i ot togo, naskol'ko chastota vynuzhdayushei sily
otlichaetsya ot sobstvennoi chastoty kolebanii mayatnika
Naibolee sil'no mayatnik budet raskachivat'sya, kogda eti chastoty
prakticheski sovpadayut:
Prezhde chem pristupit' k nahozhdeniyu i
zametim, chto
dlya mehanicheskih kolebatel'nyh sistem ne tak prosto s tehnicheskoi tochki
zreniya osushestvit' vozdeistvie garmonicheskoi sily neposredstvenno na
dvizhushuyusya massu. Gorazdo proshe eto sdelat' dlya elektricheskih i opticheskih
kolebatel'nyh sistem, naprimer, dlya kolebatel'nogo kontura, podklyuchennogo k
vneshnemu istochniku peremennogo napryazheniya. Legko, odnako, videt', chto mozhno
podderzhivat' vynuzhdennye kolebaniya mayatnika, izobrazhennogo na ris. 2.1, inym
sposobom, ne prikladyvaya neposredstvenno vneshnyuyu silu
k masse
Dostatochno lish' etu silu prilozhit' k levomu koncu svobodnoi pruzhiny tak,
chtoby etot konec dvigalsya po garmonicheskomu zakonu
(ris. 2.2). Togda udlinenie pruzhiny sostavit velichinu
a sila uprugosti, prilozhennaya k masse
, budet ravna
Poetomu uravnenie dvizheniya massy
zapishetsya v vide:
![]() | (2.8) |
![]() |
Ris. 2.2. |
Esli prinyat' vo vnimanie, chto sila uprugosti pruzhiny v otsutstvie smesheniya gruza (s = 0) ravna
![]() | (2.9) |
to uravnenie (2.8) polnost'yu ekvivalentno uravneniyu (2.6). Sila (2.9)
vypolnyaet rol' vneshnei garmonicheskoi sily v klassicheskoi sheme, izobrazhennoi
na ris. 2.1. Eta sila legko mozhet byt' vizualizirovana, poskol'ku ee
velichina i napravlenie odnoznachno opredelyaetsya smesheniem podvizhnogo levogo
konca pruzhiny. Eto, v svoyu ochered', daet vozmozhnost' naglyadno
prodemonstrirovat' fazovye sootnosheniya mezhdu siloi (ili smesheniem
) i smesheniem
koleblyusheisya massy.
Perepishem uravnenie (2.8) sleduyushim obrazom:
![]() | (2.10) |
gde
Reshenie etogo uravneniya budem iskat' v vide garmonicheskogo kolebaniya (2.7),
gde amplituda i faza
mogut byt' opredeleny, esli
podstavit' (2.7) v (2.10). My sdelaem eto neskol'ko pozdnee, a poka
rassmotrim tri vazhnyh rezhima vynuzhdennyh kolebanii.
Medlennye kolebaniya.
Esli chastota vynuzhdayushei sily znachitel'no
men'she
to skorost'
i uskorenie
koleblyusheisya massy budut ochen' malymi. Poetomu mozhno prenebrech' pervymi
dvumya chlenami v levoi chasti uravneniya (2.10) i zapisat' ego v priblizhennom
vide:
![]() | (2.11) |
Ego reshenie ochevidno:
![]() | (2.12) |
V etom rezhime smeshenie gruza proporcional'no vneshnei sile i ne zavisit ot
velichiny ego massy . Reshenie (2.12) yavlyaetsya, po sushestvu, matematicheskim
vyrazheniem zakona Guka dlya staticheskoi deformacii pruzhiny. Poetomu etot
rezhim mozhno nazvat' kvazistaticheskim (pochti staticheskim). Amplituda
kolebanii v sootvetstvii s etim zakonom ravna
a
smeshenie
izmenyaetsya v faze s vneshnei siloi.
V sheme, izobrazhennoi na ris. 2.2, eto ekvivalentno tomu, chto smeshenie massy
prakticheski povtoryaet smeshenie levogo konca pruzhiny:
![]() | (2.13) |
poskol'ku Eto i ne udivitel'no, t.k. dlya dvizheniya
massy
s prenebrezhimo malym uskoreniem
ne trebuetsya bol'shih
deformacii pruzhiny:
Publikacii s klyuchevymi slovami:
kolebaniya - volny
Publikacii so slovami: kolebaniya - volny | |
Sm. takzhe:
|