Zadaniya po kvantovoi teorii polya

---

<< Vvodnye zadaniya | Oglavlenie | Odnopetlevye dvuhtochechnye processy >>

Drevesnye processy

(Zadanie 4, Zadanie 5)

Zadanie 4. Vychislit' veroyatnost' raspada fotona na elektron-pozitronnuyu paru v sil'nom vneshnem magnitnom pole.

Reshenie. Raspad fotona na elektron-pozitronnuyu paru, zapreshennyi v vakuume zakonom sohraneniya energii-impul'sa, stanovitsya vozmozhnym v prisutstvii vneshnego magnitnogo polya. Eto svyazano s tem, chto magnitnoe pole vystupaet v roli aktivnoi vneshnei sredy, vzaimodeistvie s kotoroi privodit k izmeneniyu zakonov sohraneniya, a znachit, i kinematiki processa.

Poskol'ku raspad fotona analiziruetsya v predele sil'nogo magnitnogo polya , gde  - massa elektrona i  - energiya fotona, to estestvenno volnovye funkcii elektrona i pozitrona vybrat' v asimptoticheskom vide (3.2). Pereidem teper' k vychisleniyu -matrichnogo elementa processa , izobrazhennogo diagrammoi na ris. 1.

V pervom poryadke teorii vozmushenii -matrichnyi element vychislyaetsya sleduyushim obrazom:

gde - lagranzhian vzaimodeistviya, i - vektory nachal'nogo i konechnogo sostoyanii. Lagranzhian vzaimodeistviya elektrona s fotonom v prisutstvii vneshnego polya tochno takoi zhe, kak i v vakuume , poetomu -matrichnyi element prinimaet vid:

gde i - volnovoi vektor i vektor polyarizacii fotona, a volnovaya funkciya opredelena v (3.2). Neposredstvennaya podstanovka volnovyh funkcii elektrona i pozitrona v -matrichnyi element privodit k rezul'tatu:

Integral po - gaussova tipa i beretsya s pomosh'yu formuly (3.14), chto privodit -matrichnyi element k vidu:

gde pod trehmernoi -funkciei ponimaetsya proizvedenie treh -funkcii, privedennyh yavno v (4.3), i .

Veroyatnost' raspada fotona v edinicu vremeni ravna kvadratu modulya -matrichnogo elementa, otnesennogo k intervalu vremeni , za kotoryi etot process proizoshel, i prosummirovannogo po vsevozmozhnym konechnym sostoyaniyam:

Kak i v sluchae propagatora elektrona, pri vychislenii veroyatnosti raspada udobno pereiti ot summirovaniya k integrirovaniyu v sootvetstvii s pravilom (3.10). Podstavlyaya vyrazhenie (4.4), poluchim sleduyushii rezul'tat dlya veroyatnosti raspada:

gde - matrica plotnosti, opredelennaya v (3.6). V podyntegral'nom vyrazhenii zavisimost' ot peremennyh i imeetsya tol'ko v -funkcii: . Ukazannaya -funkciya pozvolyaet legko vzyat' integral po odnoi iz peremennyh, naprimer po , a ostavshiisya integral po nazyvayut "holostym", poskol'ku poluchivsheesya podyntegral'noe vyrazhenie ne zavisit ot . Esli schitat', chto prinimaet vsevozmozhnye znacheniya, to etot integral stanovitsya ravnym beskonechnosti, chto daet dlya veroyatnosti raspada nefizicheskii rezul'tat. Dlya akkuratnogo vychisleniya etogo integrala sleduet zametit', chto parametr  ne imeet smysla proekcii impul'sa elektrona na os' , a opredelyaet polozhenie maksimuma ego volnovoi funkcii na osi v sootvetstvii s uravneniem:  const. Poetomu akkuratnoe vychislenie "holostogo" integrala sleduyushee:

Podstavlyaya etot integral v (4.6) i vvodya vmesto kvadrata zaryada postoyannuyu tonkoi struktury , poluchim sleduyushee vyrazhenie dlya veroyatnosti:

Dve ostavshiesya -funkcii pozvolyayut legko vzyat' dvoinoi integral. Eto udobno sdelat' v sisteme otscheta, v kotoroi . Zametim, chto pri takogo tipa lorenc-preobrazovaniyah konfiguraciya chisto magnitnogo polya sohranyaetsya. Rezul'tat integrirovaniya raven:

Pereidem k vychisleniyu shpura. Podstavlyaya yavnyi vid matric iz (3.6), dlya rassmatrivaemogo shpura poluchim sleduyushii rezul'tat:

gde ispol'zovany svoistva (1.15) shpurov -matric.

Vyyasnim, fotony kakoi polyarizacii imeyut nenulevuyu veroyatnost' raspada na elektron-pozitronnuyu paru. Dlya etogo vspomnim, chto tenzor napryazhennostei vneshnego elektromagnitnogo polya pozvolyaet postroit' udobnyi bazis (1.17) dlya takogo roda analiza. Pri etom dva polyarizacionnyh sostoyaniya fotona, ortogonal'nyh k ego volnovomu vektoru k, mogut byt' vybrany proporcional'nymi pervym dvum bazisnym vektoram i :

V vybrannoi nami sisteme otscheta () yavnyi vid etih vektorov sleduyushii:

Tol'ko 4-vektor "vtoroi" fotonnoi polyarizacii imeet nenulevye sostavlyayushie v podprostranstve, a znachit, tol'ko foton "vtoroi" polyarizacii mozhet raspadat'sya na elektron-pozitronnuyu paru v sil'nom magnitnom pole. Pri etom foton "pervoi" polyarizacii ostaetsya stabil'nym po otnosheniyu k rassmatrivaemomu raspadu.

Podstanovka iz (4.12) v vyrazhenie dlya shpura (4.10) privodit k prostomu rezul'tatu - . Uchityvaya, chto proizvedenie energii raspadayushegosya fotona na veroyatnost' ego raspada est' lorenc-invariantnaya velichina, pereidem v proizvol'nuyu sistemu otscheta ( ) i dlya veroyatnosti raspada poluchim okonchatel'nyi rezul'tat:

Zadanie 5. Vychislit' veroyatnost' raspada aksiona na elektron-pozitronnuyu paru v sil'nom vneshnem magnitnom pole.

Reshenie. Aksion - eto psevdoskalyarnaya chastica, vvedennaya dlya resheniya problemy CP-invariantnosti sil'nyh vzaimodeistvii. V modeli tak nazyvaemogo "nevidimogo" aksiona s pryamoi svyaz'yu aksiona s obychnymi fermionami lagranzhian vzaimodeistviya imeet vid:

gde - yukavskaya konstanta svyazi, - massa fermiona, i - fermionnaya i aksionnaya volnovye funkcii.

Raspad aksiona na elektron-pozitronnuyu paru, zapreshennyi v vakuume zakonom sohraneniya energii-impul'sa, stanovitsya vozmozhnym v prisutstvii vneshnego magnitnogo polya v polnoi analogii s raspadom fotona. Legko uvidet', chto -matrichnyi element processa, izobrazhennogo na ris. 2,

mozhno poluchit' iz -matrichnogo elementa raspada fotona (4.4) zamenoi: , chto privodit k rezul'tatu:

gde - 4-impul's aksiona. Dlya vychisleniya veroyatnosti raspada aksiona vospol'zuemsya veroyatnost'yu raspada fotona (4.9), v kotoroi sdelaem sootvetstvuyushie zameny, chto pozvolyaet poluchit' sleduyushii rezul'tat:

Vychislim shpur -matric v veroyatnosti raspada:

Esli uchest', chto elektron i pozitron nahodyatsya na massovoi poverhnosti ( ), a takzhe zakon sohraneniya impul'sa v podprostranstve , to pervyi shpur obrashaetsya v nul', a vtoroi - . Dalee, vozvrashayas' v proizvol'nuyu sistemu otscheta iz sistemy, gde , poluchaem okonchatel'nyi rezul'tat dlya veroyatnosti raspada aksiona na elektron-pozitronnuyu paru:

---

<< Vvodnye zadaniya | Oglavlenie | Odnopetlevye dvuhtochechnye processy >>

Publikacii s klyuchevymi slovami: kvantovaya teoriya polya - elementarnye chasticy - sverhsil'nye magnitnye polya - rozhdenie chastic Publikacii so slovami: kvantovaya teoriya polya - elementarnye chasticy - sverhsil'nye magnitnye polya - rozhdenie chastic
Sm. takzhe: Bozon Higgsa: ob'yasnenie v komikse Evolyuciya vselennoi Leptony Elementarnye chasticy Ee zvali Iks Pentakvark, opyat' pentakvark? Proton i antiproton: pohozhie ili odinakovye? Vse publikacii na tu zhe temu >>