Zadaniya po kvantovoi teorii polya

---

<< Drevesnye processy | Oglavlenie | Literatura >>

Odnopetlevye dvuhtochechnye processy

(Zadanie 6, Zadanie 7, Zadanie 8, Zadanie 9)

Zadanie 6. Vychislit' polyarizacionnyi operator fotona v sil'nom magnitnom pole.

Reshenie. Polyarizacionnyi operator fotona mozhet byt' poluchen iz amplitudy perehoda fotona v foton. V nizshem poryadke teorii vozmushenii dannyi process opisyvaetsya dvuhtochechnoi petlevoi diagrammoi, izobrazhennoi na ris. 3.

Osnovnoi vklad v amplitudu budet davat' elektron - chastica, obladayushaya naibol'shim udel'nym zaryadom. Budem schitat', chto napryazhennost' magnitnogo polya yavlyaetsya samym bol'shim parametrom zadachi , . Nalichie vneshnego polya ne menyaet lokal'nogo lagranzhiana vzaimodeistviya: , gde  - elektronnyi tok. -matrichnyi element est':

Poskol'ku foton - neitral'naya chastica, to vneshnee magnitnoe pole ne menyaet vida ego volnovoi funkcii, i pri vychisleniyah mozhno vospol'zovat'sya ee standartnym vtorichno kvantovannym predstavleniem v vide razlozheniya po ploskim volnam. Posle svertki volnovyh funkcii elektrona v propagator  (3.15) -matrichnyi element privoditsya k vidu:

Sleduet otmetit', chto dlya dvuhtochechnoi petli s cirkuliruyushim zaryadom neinvariantnyi fazovyi mnozhitel' (3.20) v elektronnom propagatore (3.15) obrashaetsya v edinicu, poskol'ku

V rezul'tate -matrichnyi element (6.2) okazyvaetsya translyacionno invariantnym. Perehod ot peremennoi integrirovaniya  k novoi peremennoi pozvolyaet legko prointegrirovat' po , chto daet chetyrehmernuyu -funkciyu, sootvetstvuyushuyu zakonu sohraneniya energii-impul'sa i otrazhayushuyu tot fakt, chto nachal'noe i konechnoe sostoyaniya obrazovany elektricheski neitral'nymi chasticami. Otmechennoe svoistvo amplitudy perehoda fotona v foton pozvolyaet vospol'zovat'sya standartnym opredeleniem invariantnoi amplitudy:

chto privodit k sleduyushemu rezul'tatu:

Kak bylo ukazano vyshe, amplituda perehoda fotona v foton pozvolyaet poluchit' polyarizacionnyi operator fotona :

Vospol'zovavshis' yavnym vidom amplitudy (6.5), dlya polyarizacionnogo operatora poluchim:

Podstavlyaya propagatory elektronov v vide (3.15) i integriruya po , polyarizacionnyi operator fotona mozhno privesti k vidu:

Poluchivshiisya integral po dvumernomu psevdoevklidovu prostranstvu identichen po vidu (za isklyucheniem proekcionnogo operatora ) integralu po chetyrehmernomu prostranstvu, voznikayushemu pri vychislenii polyarizacionnogo operatora v vakuume. Poetomu v dal'neishim estestvenno vospol'zovat'sya metodikoi, ispol'zuemoi pri vychisleniyah v vakuume. Vvodya parametrizaciyu Feinmana i vychislyaya shpur v dvumernom prostranstve, polyarizacionnyi operator mozhno privesti k vidu:

gde vvedeny skalyarnyi , vektornyi i tenzornyi integraly:

Iz vvedennogo nabora integralov skalyarnyi i vektornyi konechny i horosho opredeleny:

v to vremya kak tenzornyi imeet logarifmicheskuyu rashodimost' i dolzhen byt' regulyarizovan, t. e. kakim-libo obrazom doopredelen.

Analiz pokazyvaet, chto v polyarizacionnyi operator (6.9) tenzornye integraly vhodyat v takoi kombinacii, chto imeet mesto "sluchainoe" sokrashenie logarifmicheskoi rashodimosti. Odnako rezul'tat vychislenii sushestvennym obrazom zavisit ot metoda regulyarizacii, poskol'ku imeet mesto neopredelennost' tipa "beskonechnost' minus beskonechnost'", porozhdayushaya proizvol v ostayushihsya konechnyh chlenah. Takoe povedenie polyarizacionnogo operatora fotona otrazhaet nedostatok dvumernoi KED, effektivno voznikayushei v sluchae sil'nogo magnitnogo polya, v ee primenenii k vychisleniyu dvuhtochechnyh petlevyh amplitud. Naibolee korrektnyi podhod dlya polucheniya pravil'nogo rezul'tata sostoit v vychislenii polyarizacionogo operatora fotona v magnitnom pole proizvol'noi napryazhennosti i vzyatii predela sil'nogo polya. Odnako takoi zhe rezul'tat mozhet byt' poluchen i pri ispol'zovanii metoda razmernoi regulyarizacii, kotorym my i vospol'zuemsya.

Tenzornyi integral, vychislennyi metodom razmernoi regulyarizacii, raven:

gde vveden vspomogatel'nyi parametr - razmernost' podprostranstva impul'sov, kotoryi sleduet polozhit' tol'ko v konce vychislenii. Kak bylo otmecheno ranee, raznost' dvuh slagaemyh v (6.9), soderzhashih tenzornye integraly, konechna i v predele dvumernogo prostranstva () est':

gde uchli, chto v -mernom podprostranstve .

Podstavlyaya v polyarizacionnyi operator (6.9) znacheniya skalyarnogo i vektornogo integralov (6.11), a takzhe raznost' (6.13) tenzornyh integralov, poluchim sleduyushii rezul'tat:

Integral po  zavisit ot sootnosheniya mezhdu massoi i impul'som fotona. Pri u integrala v (6.14) poyavlyaetsya mnimaya chast', t. e. foton stanovitsya nestabil'nym i mozhet raspadat'sya na elektron-pozitronnuyu paru.

V zaklyuchenie sleduet otmetit', chto vychislenie polyarizacionnogo operatora metodom razmernoi regulyarizacii avtomaticheski privodit k kalibrovochno invariantnomu rezul'tatu:

v sootvetstvii s obshimi trebovaniyami kvantovoi elektrodinamiki.

Zadanie 7. Naiti sobstvennye funkcii i sobstvennye znacheniya polyarizacionnogo operatora fotona v sil'nom magnitnom pole.

Reshenie. Zadacha o nahozhdenii sobstvennyh funkcii i sobstvennyh znachenii polyarizacionnogo operatora fotona (6.14) sushestvenno uproshaet dal'neishii analiz etogo tenzora. Iz usloviya kalibrovochnoi invariantnosti polyarizacionnogo operatora (6.15) sleduet, chto 4-impul's fotona yavlyaetsya sobstvennoi funkciei s nulevym sobstvennym znacheniem. Pri etom 4-impul's fotona mozhno schitat' "chetvertym" bazisnym vektorom iz nabora (1.17). Legko proverit', chto i tri drugih bazisnyh vektora () takzhe yavlyayutsya sobstvennymi funkciyami polyarizacionnogo operatora (6.14):

prichem pervyi i tretii - s nulevymi sobstvennymi znacheniyami. Tol'ko vtoroi bazisnyi vektor imeet nenulevoe sobstvennoe znachenie:

Eto oznachaet, chto v razlozhenii tenzora po bazisu v sootvetstvii s (1.20) "vyzhivaet" tol'ko odno slagaemoe, tak chto polyarizacionnyi operator (6.14) prinimaet vid:

Tol'ko foton "vtoroi" polyarizacii c daet vklad v polyarizacionnyi operator v sil'nom magnitnom pole.

Pereidem k vychisleniyu sobstvennogo znacheniya . Dlya etogo v formule (7.2) udobno pereiti k novoi peremennoi integrirovaniya i vvesti parametr :

gde uchli, chto integral beretsya v kompleksnoi ploskosti i beskonechno maloe slagaemoe v znamenatele opredelyaet smeshenie polozheniya polyusov s veshestvennoi osi v verhnyuyu ili nizhnyuyu poluploskost'. Vospol'zuemsya teper' formuloi Sohockogo iz teorii funkcii kompleksnoi peremennoi:

i predstavim integral po v vide:

Mnimaya chast' etogo integrala budet otlichna ot nulya, esli , tak, chtoby argument kakoi-libo iz -funkcii obratilsya v nul'. Pust' dlya opredelennosti parametr budet neotricatel'nym, t. e. , i v mnimoi chasti "srabotaet" tol'ko odna -funkciya - . Takoe ogranichenie na  privodit k ogranicheniyu snizu na prodol'nuyu sostavlyayushuyu kvadrata 4-impul'sa fotona: , chto ekvivalentno vvedeniyu -funkcii - . Okonchatel'no sobstvennoe znachenie mozhno zapisat' kak:

gde vvedena veshestvennaya funkciya:

v kotoroi integral ponimaetsya v smysle glavnogo znacheniya. Funkciya imeet razlichnye znacheniya v zavisimosti ot znaka .

Otricatel'nye . Etomu sluchayu sootvetstvuet sleduyushee znachenie kvadrata prodol'noi sostavlyayushei 4-impul'sa fotona: . V etoi kinematicheskoi oblasti veshestvenna i ravna:

Polozhitel'nye . V etom sluchae , i v sootvetstvii s formuloi (7.7) dlya poluchim:

gde . Poyavlenie mnimoi chasti u oznachaet, chto pri takih znacheniyah kvadrata prodol'noi sostavlyayushei 4-impul'sa foton stanovitsya nestabil'nym i mozhet raspadat'sya na elektron-pozitronnuyu paru. Veroyatnost' raspada mozhet byt' opredelena po mnimoi chasti :

Eto vyrazhenie v tochnosti sovpadaet s veroyatnost'yu (4.13), poluchennoi neposredstvennym vychisleniem v zadanii 4.

Zadanie 8. Vychislit' massovyi operator aksiona v sil'nom magnitnom pole.

Reshenie. Massovyi operator aksiona mozhet byt' poluchen iz amplitudy perehoda aksiona v aksion, kotoryi v nizshem poryadke teorii vozmushenii opisyvaetsya dvuhtochechnoi petlevoi diagrammoi, izobrazhennoi na ris. 4.

Kak i v sluchae polyarizacionnogo operatora fotona, osnovnoi vklad v amplitudu budet davat' elektron - chastica, obladayushaya naibol'shim udel'nym zaryadom. Dlya korrektnogo vychisleniya amplitudy vospol'zuemsya lokal'nym lagranzhianom vzaimodeistviya aksiona s elektronom: , gde  - aksial'no-vektornyi tok. -matrichnyi element est':

Tak zhe, kak i dlya fotona, dlya volnovoi funkcii aksiona vospol'zuemsya standartnym vtorichno kvantovannym predstavleniem v vide razlozheniya po ploskim volnam. Svorachivaya volnovye funkcii elektrona v propagatory  (3.15), zapishem -matrichnyi element v vide:

Neinvariantnyi fazovyi mnozhitel' obrashaetsya v edinicu v sootvetstvii s (6.3), chto privodit k translyacionnoi invariantnosti -matrichnogo elementa (8.2). V polnoi analogii s fotonom mozhno vvesti invariantnuyu amplitudu perehoda v sootvetstvii so standartnym opredeleniem (6.4):

Podstavim propagator elektrona v forme (3.15) i prointegriruem amplitudu perehoda po :

C uchetom antikommutacionnyh svoistv matricy amplituda perehoda mozhet byt' zapisana v forme:

gde - polyarizacionnyi operator fotona (6.14). Vtoroe slagaemoe obrashaetsya v nul' v silu kalibrovochnoi invariantnosti polyarizacionnogo operatora (6.15). Shpur v pervom slagaemom raven , a integral po posle vvedeniya parametrizacii Feinmana svoditsya k skalyarnomu integralu so znacheniem (6.11). Rezul'tat dlya amplitudy sleduyushii:

Poluchivshiisya integral po , voobshe govorya, kompleksnyi, i ego real'naya chast' s tochnost'yu do mnozhitelya sovpadaet s funkciei , opredelennoi v formule (7.8), a mnimaya chast' stanovitsya otlichnoi ot nulya pri .

Inducirovannaya vneshnim polem popravka k masse aksiona, s tochnost'yu do znaka sovpadayushaya s amplitudoi perehoda , ravna:

gde . Kak i v sluchae sobstvennogo znacheniya polyarizacionnogo operatora fotona, popravka k masse aksiona sushestvenno razlichna pri i .

Otricatel'nye . Etomu sluchayu sootvetstvuet . V etoi kinematicheskoi oblasti popravka veshestvenna i ravna:

Polozhitel'nye . V etom sluchae , i v sootvetstvii s formuloi (8.7) poluchim:

Vozniknovenie mnimoi chasti u pri takih znacheniyah kvadrata prodol'noi sostavlyayushei 4-impul'sa aksiona ukazyvaet na ego nestabil'nost' v rassmatrivaemoi kinematicheskoi oblasti, t. e. sushestvuet nenulevaya veroyatnost' raspada aksiona na elektron-pozitronnuyu paru. Veroyatnost' raspada mozhet byt' opredelena po mnimoi chasti kvadrata massy aksiona:

Etot rezul'tat v tochnosti sovpadaet s veroyatnost'yu (5.5), poluchennoi ranee neposredstvennym vychisleniem v zadanii 5.

Zadanie 9. Vychislit' amplitudu perehoda aksiona v foton v sil'nom magnitnom pole.

Reshenie. Amplituda perehoda aksiona v foton, zapreshennogo v vakuume iz-za razlichii v spine chastic, stanovitsya otlichnoi ot nulya v prisutstvii vneshnego elektromagnitnogo polya. V nizshem poryadke teorii vozmushenii etot process opisyvaetsya dvuhtochechnoi petlevoi diagrammoi, izobrazhennoi na ris. 5, kak i v predydushih zadaniyah 6 i 8.

Osnovnoi vklad v amplitudu budet davat' elektron. V sootvetstvii s diagrammoi, -matrichnyi element perehoda mozhet byt' zapisan:

Vospol'zuemsya standartnym vtorichno kvantovannym predstavleniem v vide razlozheniya po ploskim volnam dlya volnovyh funkcii aksiona i fotona. Posle svertki elektronnyh volnovyh funkcii v propagatory -matrichnyi element prinimaet vid:

Neinvariantnyi fazovyi mnozhitel' obratilsya v edinicu v sootvetstvii s (6.3), chto privodit k translyacionnoi invariantnosti -matrichnogo elementa (9.2). Posle perehoda k novoi peremennoi integrirovaniya integral po  legko beretsya i daet chetyrehmernuyu -funkciyu, sootvetstvuyushuyu zakonu sohraneniya energii-impul'sa. Vospol'zuemsya standartnym opredeleniem invariantnoi amplitudy (6.4) dlya perehoda :

Podstavlyaya propagator elektrona v forme (3.15) i integriruya amplitudu perehoda po , poluchim:

Znacheniya dvuh otlichnyh ot nulya shpurov v integrale vychislyayutsya s pomosh'yu formul (1.15) i ravny:

Posle vvedeniya parametrizacii Feinmana amplituda perehoda v terminah skalyarnogo, vektornogo i tenzornogo integralov (6.10) imeet vid:

Skalyarnyi i vektornyi integraly imeyut znacheniya, privedennye v (6.11), a dva tenzornyh integrala, imeyushih logarifmicheskie rashodimosti, vhodyat v vide tochno takoi zhe raznosti , chto i v polyarizacionnom operatore fotona . Napomnim, chto v etoi raznosti rashodimosti "sluchainym" obrazom sokrashayutsya, i rezul'tat sushestvenno zavisit ot sposoba regulyarizacii tenzornogo integrala. Vospol'zuemsya vyrazheniem (6.13) dlya raznosti, poluchennym metodom razmernoi regulyarizacii, i poluchim dlya amplitudy perehoda sleduyushee vyrazhenie:

Integral po v tochnosti takoi zhe, kak i v sobstvennom znachenii  (7.2) polyarizacionnogo operatora fotona, poetomu s uchetom analiza etogo integrala v zadache 7 vypishem zdes' tol'ko okonchatel'nyi rezul'tat:

gde , i funkciya opredelena v (7.8). Sleduet obratit' vnimanie na obshii psevdoskalyarnyi mnozhitel' , proporcional'nyi svertke tenzora elektromagnitnogo polya fotona i dual'nogo tenzora vneshnego magnitnogo polya i otrazhayushii specifiku vzaimodeistviya aksiona s fotonami. S uchetom psevdoskalyarnoi prirody aksiona effektivnyi lagranzhian, kotoryi mozhet byt' vosstanovlen po etoi amplitude, budet skalyarnoi velichinoi.

Kak i v sluchae sobstvennogo znacheniya polyarizacionnogo operatora fotona, amplituda perehoda aksiona v foton razlichna pri i . Rassmotrim kazhdyi iz ukazannyh sluchaev po otdel'nosti.

Otricatel'nye . Etomu sluchayu sootvetstvuet . V etoi kinematicheskoi oblasti amplituda perehoda chisto mnimaya i ravna:

Polozhitel'nye . V etom sluchae , i v sootvetstvii s formuloi (9.8) poluchim:

Vozniknovenie veshestvennoi chasti u amplitudy perehoda aksiona v foton pri takih znacheniyah kvadrata prodol'noi sostavlyayushei 4-impul'sa aksiona (a znachit, i fotona v sootvetstvii s zakonom sohraneniya energii-impul'sa) ukazyvaet na nestabil'nost' etih chastic v rassmatrivaemoi kinematicheskoi oblasti, t. e. dopolnitel'no u aksiona poyavlyaetsya vozmozhnost' raspadat'sya na elektron-pozitronnuyu paru.

Sleduet otmetit', chto poluchennaya nami amplituda perehoda aksiona v foton mozhet byt' neverna iz-za anomalii Adlera-Bella-Dzhakiva. Chtoby poluchit' korrektnyi rezul'tat dlya amplitudy, sleduet primenit' sleduyushuyu proceduru: vychest' iz amplitudy (9.8) lineinoe po vneshnemu polyu slagaemoe pri nulevom peredannom 4-impul'se (, ) i k poluchennomu vyrazheniyu pribavit' korrektnoe vyrazhenie, sootvetstvuyushee anomalii. V predele sil'nogo magnitnogo polya amplituda perehoda aksiona v foton (9.7) proporcional'na i obrashaetsya v nul' v predele . Eto oznachaet, chto vychislennaya nami amplituda (9.8), voobshe govorya, yavlyaetsya pravil'noi tol'ko s tochnost'yu do anomal'nogo chlena.

---

<< Drevesnye processy | Oglavlenie | Literatura >>

Publikacii s klyuchevymi slovami: kvantovaya teoriya polya - elementarnye chasticy - sverhsil'nye magnitnye polya - rozhdenie chastic Publikacii so slovami: kvantovaya teoriya polya - elementarnye chasticy - sverhsil'nye magnitnye polya - rozhdenie chastic
Sm. takzhe: Bozon Higgsa: ob'yasnenie v komikse Evolyuciya vselennoi Leptony Elementarnye chasticy Ee zvali Iks Pentakvark, opyat' pentakvark? Proton i antiproton: pohozhie ili odinakovye? Vse publikacii na tu zhe temu >>