Topologiya i metrika par keplerovskih orbit

---

<< 1. Vvedenie | Oglavlenie | 3. Topologiya par orbit >>

2. Evklidovo rasstoyanie mezhdu dvumya keplerovskimi orbitami

Oboznachim cherez keplerovskii ellips, rassmatrivaemyi kak mnozhestvo tochek v . Pust'  - evklidovo rasstoyanie mezhdu dvumya orbitami, t.e. naimen'shee znachenie rasstoyaniya mezhdu parami tochek, lezhashih na sootvetstvuyushih ellipsah. S XIX stoletiya opublikovany sotni rabot, posvyashennyh opredeleniyu razlichnymi priblizhennymi sposobami. Al'ternativnyi podhod sostoit v svedenii zadachi k resheniyu uravneniya

gde  - uglovaya peremennaya, opredelyayushaya polozhenie na ellipse;  - periodicheskoe otobrazhenie iz v . Vse predlozhennye do sih por funkcii byli daleki ot optimal'nyh.

My postroili algoritm naimen'shei slozhnosti dlya opredeleniya . Imenno, postroili igrayushii rol' trigonometricheskii mnogochlen vos'moi stepeni ot ekscentricheskoi anomalii . V obshem sluchae trigonometricheskogo mnogochlena men'shei stepeni ne sushestvuet. V vyrozhdennyh sluchayah my postroili trigonometricheskie mnogochleny men'shei stepeni, a v sluchae dvoinogo i troinogo vyrozhdeniya poluchili yavnoe reshenie dlya . Podrobnoe reshenie zadachi (s propuskom odnogo iz vyrozhdennyh sluchaev) soderzhitsya v [1]. Zdes' my privedem osnovnye rezul'taty.

Pust'  - keplerovskie elementy ; . Opisyvayushie velichiny pomechayutsya shtrihom. Vektor polozheniya na vyrazim cherez ekscentricheskuyu anomaliyu

Zdes' ; komponenty ortogonal'nyh edinichnyh vektorov i nuzhnogo v dal'neishem vektora ploshadei dayutsya formulami

Zdes' . Vektory , , sushestvuyut vsegda, hotya ne edinstvenny pri .

Dlya privedennogo k bezrazmernomu vidu kvadrata funkcii rasstoyaniya legko vyvesti predstavlenie

Zdes'

 - skalyarnye proizvedeniya sootvetstvuyushih vektorov; dlya simmetrii my polozhili

Funkciya (2) yavlyaetsya trigonometricheskim mnogochlenom dvuh peremennyh i prinimaet naimen'shee na dvumernom tore znachenie v odnoi iz kriticheskih tochek, udovletvoryayushih uravneniyam

V razvernutom vide

Funkcii

ne zavisyat ot , postoyanna.

Ispol'zuya algebraicheskuyu tehniku bazisov Grebnera [3], mozhno isklyuchit' iz uravnenii (3) peremennuyu . V rezul'tate poluchaem trigonometricheskii mnogochlen vos'moi stepeni

reshayushii zadachu opredeleniya velichiny .

Sootnoshenie neobhodimo i dostatochno dlya sovmestnosti sistemy (3). V nevyrozhdennom sluchae ne sushestvuet mnogochlena men'shei stepeni, obladayushego etim svoistvom.

Dokazatel'stvo sm v [1].

Opishem algoritm opredeleniya . Na pervom shage reshaetsya uravnenie , t.e. nahodyatsya vse ego veshestvennye korni na okruzhnosti . Na vtorom shage ishutsya sootvetstvuyushie znacheniya po formule

gde , ravno plyus ili minus edinice. Nuzhnyi znak opredelyaetsya vtorym uravneniem sistemy (3).

Na tret'em shage sravnivaetsya konechnoe mnozhestvo znachenii i vybiraetsya naimen'shee . V rezul'tate

Rassmotrim vyrozhdennye sluchai, kogda kriticheskie tochki otvechayut veshestvennym kornyam trigonometricheskogo uravneniya men'shei stepeni. Intuiciya podskazyvaet, chto prosteishie vyrozhdeniya svyazany s dvumya razlichnymi sluchayami: obrasheniem v nul' vzaimnogo naklona i hotya by odnogo iz ekscentrisitetov. Kak chasto byvaet, intuiciya opravdyvaetsya lish' chastichno. Komplanarnost', v otlichie ot krugovogo sluchaya, ne vedet k vyrozhdeniyu.

1. Pust' orbita  - krugovaya. Bolee togo, dopustimo schitat' , ne prenebregaya pervoi stepen'yu ekscentrisiteta. Polagaya i ispol'zuya proceduru faktorizacii, predstavim v forme

Vtoroi mnozhitel' - trigonomericheskii mnogochlen shestoi stepeni. Pervyi mozhet obratit'sya v nul' v veshestvennoi oblasti tol'ko v sluchae . Togda i v kriticheskih tochkah, v silu pervogo iz uravnenii (3). No esli , to, ochevidno, i . Itak, v sluchae mozhno zamenit' na trigonometricheskii mnogochlen shestoi stepeni.

2. Esli ischezayut oba ekscentrisiteta , to i

Takim obrazom, v krugovom sluchae mozhno zamenit' na trigonometricheskii mnogochlen vtoroi stepeni

Bolee togo, soderzhit tol'ko vtorye garmoniki

gde

Korni nahodyatsya elementarno:

3. Esli v komplanarnom sluchae orbita  - krugovaya, to

I v etom sluchae reshenie elementarno. Dva kornya vtoroi kratnosti lezhat na linii apsid

Pri \alpha e$ -> drugih veshestvennyh kornei net. V protivnom sluchae est' eshe dva:

4. Nakonec, obrashenie v nul' oboih ekscentrisitetov i vzaimnogo naklona vlechet maksimal'no vyrozhdennyi sluchai

Dlya kazhdogo sushestvuet rovno dve tochki takie, chto otvechaet kriticheskoi tochke . V samom dele, stanovitsya trigonometricheskim polinomom tochno pervoi stepeni otnositel'no . Inymi slovami, dvumernyi tor reduciruetsya k okruzhnosti. Funkciya odnoi peremennoi imeet rovno odin maksimum i odin minimum. Sootvetstvuyushie znacheniya ravny i .

---

<< 1. Vvedenie | Oglavlenie | 3. Topologiya par orbit >>

Publikacii s klyuchevymi slovami: Nebesnaya mehanika - keplerovy orbity Publikacii so slovami: Nebesnaya mehanika - keplerovy orbity

Sm. takzhe: Saimon N'yukom (1835 -1909) k 175-letiyu so dnya rozhdeniya. Naum Il'ich Idel'son - 125 let so dnya rozhdeniya Metody teorii special'nyh vozmushenii v nebesnoi mehanike Zadacha N tel i problema integriruemosti K 90-letiyu Aleksandra Aleksandrovicha Orlova Dinamika zvezdnyh skoplenii Prosteishaya forma predstavleniya gradienta gravitacionnogo potenciala nebesnyh tel Vse publikacii na tu zhe temu >>