Astronet > Dinamicheskie sistemy

po tekstam po klyuchevym slovam v glossarii po saitam perevod po katalogu

Dinamicheskie sistemy

V. S. Anishenko

Saratovskii gosudarstvennyi universitet im. N.G. Chernyshevskogo
Soderzhanie

Odnoi iz vazhnyh nauchnyh problem estestvoznaniya yavlyaetsya reshenie zadachi predskazaniya povedeniya izuchaemogo ob'ekta vo vremeni i prostranstve na osnove opredelennyh znanii o ego nachal'nom sostoyanii. Eta zadacha svoditsya k nahozhdeniyu nekotorogo zakona, kotoryi pozvolyaet po imeyusheisya informacii ob ob'ekte v nachal'nyi moment vremeni t₀ v tochke prostranstva x₀ opredelit' ego budushee v lyuboi moment vremeni t > t₀. V zavisimosti ot stepeni slozhnosti samogo ob'ekta etot zakon mozhet byt' determinirovannym ili veroyatnostnym, mozhet opisyvat' evolyuciyu ob'ekta tol'ko vo vremeni, tol'ko v prostranstve, a mozhet opisyvat' prostranstvenno-vremennuyu evolyuciyu.

Predmetom nashego analiza budut ne ob'ekty voobshe, a dinamicheskie sistemy v matematicheskom ponimanii etogo termina [1].

Dinamicheskaya sistema i ee matematicheskaya model'

Pod dinamicheskoi sistemoi ponimayut lyuboi ob'ekt ili process, dlya kotorogo odnoznachno opredeleno ponyatie sostoyaniya kak sovokupnosti nekotoryh velichin v dannyi moment vremeni i zadan zakon, kotoryi opisyvaet izmenenie (evolyuciyu) nachal'nogo sostoyaniya s techeniem vremeni. Etot zakon pozvolyaet po nachal'nomu sostoyaniyu prognozirovat' budushee sostoyanie dinamicheskoi sistemy, ego nazyvayut zakonom evolyucii. Dinamicheskie sistemy — eto mehanicheskie, fizicheskie, himicheskie i biologicheskie ob'ekty, vychislitel'nye processy i processy preobrazovaniya informacii, sovershaemye v sootvetstvii s konkretnymi algoritmami. Opisaniya dinamicheskih sistem dlya zadaniya zakona evolyucii takzhe raznoobrazny: s pomosh'yu differencial'nyh uravnenii, diskretnyh otobrazhenii, teorii grafov, teorii markovskih cepei i t.d. Vybor odnogo iz sposobov opisaniya zadaet konkretnyi vid matematicheskoi modeli sootvetstvuyushei dinamicheskoi sistemy [2].

Matematicheskaya model' dinamicheskoi sistemy schitaetsya zadannoi, esli vvedeny parametry (koordinaty) sistemy, opredelyayushie odnoznachno ee sostoyanie, i ukazan zakon evolyucii. V zavisimosti ot stepeni priblizheniya odnoi i toi zhe sisteme mogut byt' postavleny v sootvetstvie razlichnye matematicheskie modeli.

Issledovanie real'nyh sistem svoditsya k izucheniyu matematicheskih modelei, sovershenstvovanie i razvitie kotoryh opredelyayutsya analizom eksperimental'nyh i teoreticheskih rezul'tatov pri ih sopostavlenii. V svyazi s etim pod dinamicheskoi sistemoi my budem ponimat' imenno ee matematicheskuyu model'. Issleduya odnu i tu zhe dinamicheskuyu sistemu (k primeru, dvizhenie mayatnika), v zavisimosti ot stepeni ucheta razlichnyh faktorov my poluchim razlichnye matematicheskie modeli. V kachestve primera rassmotrim model' nelineinogo konservativnogo oscillyatora:

$\ddot x + \sin x = 0,$ $\ddot x = \frac{d^2 x}{dt^2}.$ (1)

Kak izvestno, funkciya $\sin x$ analiticheskaya, i ee razlozhenie v ryad Teilora vyglyadit tak:

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ... = \sum\limits^{\infty}_{n = 0} \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} - \biggl(\sum\limits^{\infty}_{n = 1}\frac{x^{4n-1}}{(4n-1)!} \biggr).$ (2)

Pri malyh $x\ll 1 \sin x \simeq x$ . S uvelicheniem x trebuetsya uchet vtorogo, tret'ego i t.d. chlenov ryada, chtoby s zadannoi tochnost'yu approksimirovat' $\sin x$ . Poetomu v sluchae $x \ll 1$ my poluchaem samuyu prostuyu model' matematicheskogo mayatnika:

$\ddot x + x = 0.$ (3)

Sleduyushim priblizheniem budet model' nelineinogo mayatnika:

$\ddot x + x - \frac{x^3}{6} = 0$ (4)

i t.d. Dlya kazhdogo konkretnogo znacheniya n budem poluchat' novuyu dinamicheskuyu sistemu, v zadannom priblizhenii opisyvayushuyu process kolebanii fizicheskogo mayatnika.

Kinematicheskaya interpretaciya sistemy differencial'nyh uravnenii

Rassmotrim dinamicheskie sistemy, modeliruemye konechnym chislom obyknovennyh differencial'nyh uravnenii. Primenitel'no k takim sistemam sohranilis' predstavleniya i terminologiya, pervonachal'no voznikshie v mehanike. V rassmatrivaemom sluchae dlya opredeleniya dinamicheskoi sistemy neobhodimo ukazat' ob'ekt, dopuskayushii opisanie sostoyaniya zadaniem velichin x₁, x₂, ..., x_N v nekotoryi moment vremeni t = t₀. Velichiny x_i mogut prinimat' proizvol'nye znacheniya, prichem dvum razlichnym naboram velichin x_i i $x^{'}_i$ otvechayut dva raznyh sostoyaniya. Zakon evolyucii dinamicheskoi sistemy vo vremeni zapisyvaetsya sistemoi obyknovennyh differencial'nyh uravnenii [1, 2]

$\frac{dx_i}{dt} = \dot x_i = f_i(x_1, x_2, ..., x_N), i=1, 2, ..., N$ (5)

Esli rassmatrivat' velichiny x₁, x₂, ..., x_N kak koordinaty tochki x v N-mernom prostranstve, to poluchaetsya naglyadnoe geometricheskoe predstavlenie sostoyaniya dinamicheskoi sistemy v vide etoi tochki, kotoruyu nazyvayut izobrazhayushei, a chashe fazovoi tochkoi, a prostranstvo sostoyanii — fazovym prostranstvom dinamicheskoi sistemy. Izmeneniyu sostoyaniya sistemy vo vremeni otvechaet dvizhenie fazovoi tochki vdol' nekotoroi linii, nazyvaemoi fazovoi traektoriei. V fazovom prostranstve sistemy uravneniyami (5) opredelyaetsya vektornoe pole skorostei, sopostavlyayushee kazhdoi tochke x vyhodyashii iz nee vektor skorosti F(x), komponenty kotorogo dayutsya pravymi chastyami uravnenii (5):

$[f_1(x_1, x_2, ..., x_N), f_2(x_1, x_2 , ..., x_N), ..., f_N(x_1, x_2 , ..., x_N)].$ (6)

Dinamicheskaya sistema (5) mozhet byt' zapisana v vektornoi forme:

$\dot x = F(x),$ (7)

gde F(x) — vektor-funkciya razmernosti N.

Neobhodimo utochnit' vzaimosvyaz' ponyatii chisla stepenei svobody i razmernosti fazovogo prostranstva dinamicheskoi sistemy. Pod chislom stepenei svobody ponimaetsya naimen'shee chislo nezavisimyh koordinat, neobhodimyh dlya odnoznachnogo opredeleniya sostoyaniya sistemy. Pod koordinatami pervonachal'no ponimalis' imenno prostranstvennye peremennye, harakterizuyushie vzaimnoe raspolozhenie tel i ob'ektov. V to zhe vremya dlya odnoznachnogo resheniya sootvetstvuyushih uravnenii dvizheniya neobhodimo pomimo koordinat zadat' sootvetstvuyushie nachal'nye znacheniya impul'sov ili skorostei. V svyazi s etim sistema s n stepenyami svobody harakterizuetsya fazovym prostranstvom v dva raza bol'shei razmernosti (N = 2n).

Klassifikaciya dinamicheskih sistem

Esli dinamicheskaya sistema zadana uravneniem (7), to postuliruetsya, chto kazhdomu x(t₀) v fazovom prostranstve stavitsya v sootvetstvie sostoyanie x(t), t > t₀, kuda za vremya t - t₀ peremestitsya fazovaya tochka, dvizhushayasya v sootvetstvii s uravneniem (7). V operatornoi forme (7) mozhno zapisat' v vide [2]

x(t) = T_t x(t₀), (8)

gde T_t — zakon (operator) evolyucii. Esli etot operator primenit' k nachal'nomu sostoyaniyu x(t₀), to my poluchim x(t), to est' sostoyanie v moment vremeni t > t₀. Tak kak x(t₀) i x(t) prinadlezhat odnomu i tomu zhe fazovomu prostranstvu dinamicheskoi sistemy, to matematiki govoryat v dannoi situacii: operator T_t otobrazhaet fazovoe prostranstvo sistemy na sebya. V sootvetstvii s etim mozhno nazyvat' operator T_t operatorom otobrazheniya ili prosto otobrazheniem.

Dinamicheskie sistemy mozhno klassificirovat' v zavisimosti ot vida operatora otobrazheniya i struktury fazovogo prostranstva. Esli operator predusmatrivaet isklyuchitel'no lineinye preobrazovaniya nachal'nogo sostoyaniya, to on nazyvaetsya lineinym. Lineinyi operator obladaet svoistvom superpozicii: T[x(t) + y(t)] = Tx(t) + Ty(t). Esli operator nelineinyi, to i sootvetstvuyushaya dinamicheskaya sistema nazyvaetsya nelineinoi. Razlichayut nepreryvnye i diskretnye operatory i sootvetstvenno sistemy s nepreryvnym i diskretnym vremenem. Sistemy, dlya kotoryh otobrazhenie x(t) s pomosh'yu operatora T mozhet byt' opredeleno dlya lyubyh t > t₀ (nepreryvno vo vremeni), nazyvayut takzhe potokami po analogii so stacionarnym techeniem zhidkosti. Esli operator otobrazheniya opredelen na diskretnom mnozhestve znachenii vremeni, to sootvetstvuyushie dinamicheskie sistemy nazyvayut kaskadami ili sistemami s diskretnym vremenem.

Sposoby zadaniya operatora otobrazheniya T takzhe mogut razlichat'sya. Operator T mozhno zadat' v vide differencial'nogo ili integral'nogo preobrazovaniya, v vide matricy ili tablicy, v vide grafika ili funkcii i t.d.

Kolebatel'nye sistemy i ih svoistva

Vazhnuyu gruppu dinamicheskih sistem predstavlyayut sistemy, v kotoryh vozmozhny kolebaniya. Kolebatel'nye sistemy s tochki zreniya ih matematicheskih modelei razdelyayut na opredelennye klassy. Razlichayut lineinye i nelineinye kolebatel'nye sistemy, sosredotochennye i raspredelennye, konservativnye i dissipativnye, avtonomnye i neavtonomnye. Osobyi klass predstavlyayut tak nazyvaemye avtokolebatel'nye sistemy. Osnovnye svoistva ukazannyh sistem podrobno obsuzhdayutsya v rabotah po teorii kolebanii.

Nazad | Vpered

Publikacii s klyuchevymi slovami: haos Publikacii so slovami: haos
Sm. takzhe: haos Vvedenie v fiziku otkrytyh sistem

Obsudit' etu publikaciyu

Versiya dlya pechati