Bol'cmana raspredelenie

BOL'CMANA RASPREDELENIE - raspredelenie po energiyam chastic (atomov, molekul) ideal'nogo gaza v usloviyah termodinamicheskogo ravnovesiya. B. r. bylo otkryto v 1868 - 1871 gg. avstr. fizikom L. Bol'cmanom. Soglasno B. r., chislo chastic n_i s polnoi energiei e_i ravno:

n_i = A w_ie^-ei/kT            (1)

gde w_i - statistich. ves (chislo vozmozhnyh sostoyanii chasticy s energiei e_i). Postoyannaya A nahoditsya iz usloviya, chto summa n_i po vsem vozmozhnym znacheniyam i ravna zadannomu polnomu chislu chastic N v sisteme (uslovie normirovki): . V sluchae, kogda dvizhenie chastic podchinyaetsya klassich. mehanike, energiyu e_i mozhno schitat' sostoyashei iz kinetich. energii e_{i, kin}  chasticy (molekuly ili atoma), ee vnutr. energii e_{i, vn} (napr., energii vozbuzhdeniya elektronov) i potencial'noi energii e_{i, pot} vo vnesh. pole, zavisyashei ot polozheniya chasticy v prostranstve:

e_i = e_{i, kin} + e_{i, vn} + e_{i, pot}            (2)

Raspredelenie chastic po skorostyam (Maksvella raspredelenie) yavl. chastnym sluchaem B. r. Ono imeet mesto, kogda mozhno prenebrech' vnutr. energiei vozbuzhdeniya e_{i, vn} i vliyaniem vnesh. polei e_{i, pot}. V sootvetstvii s (2) f-lu (1) mozhno predstavit' v vide proizvedeniya treh eksponent, kazhdaya iz k-ryh daet raspredelenie chastic po odnomu vidu energii.

V post. pole tyazhesti, sozdayushem uskorenie g, dlya chastic atmosfernyh gazov vblizi poverhnosti Zemli (ili dr. planet) potenc. energiya proporcional'na ih masse m i vysote H nad poverhnost'yu, t.e. e_{i, pot} = mgH. Posle podstanovki etogo znacheniya v B. r. i summirovaniya po vsevozmozhnym znacheniyam kinetich. i vnutr. energii chastic poluchaetsya barometricheskaya formula, vyrazhayushaya zakon umen'sheniya plotnosti atmosfery s vysotoi.

V astrofizike, osobenno v teorii zvezdnyh spektrov, B. r. chasto ispol'zuetsya dlya opredeleniya otnositel'noi zaselennosti elektronami razlichnyh urovnei energii atomov. Esli oboznachit' indeksami 1 i 2 dva energetich. sostoyaniya atoma, to iz B. r. sleduet:

n₂/n₁ = (w₂/w₁)e^-(e2-e1)/kT            (3)

(f-la Bol'cmana). Raznost' energii e₂-e₁ dlya dvuh nizhnih urovnei energii atoma vodoroda >10 eV, a znachenie kT, harakterizuyushee energiyu teplovogo dvizheniya chastic dlya atmosfer zvezd tipa Solnca, sostavlyaet vsego lish' 0,3-1 eV. Poetomu vodorod v takih zvezdnyh atmosferah nahoditsya v nevozbuzhdennom sostoyanii. Tak, v atmosferah zvezd, imeyushih effektivnuyu temperaturu T_e > 5700 K (Solnce i dr. zvezdy spektral'nyh klassov G2 p G3), otnoshenie chisel atomov vodoroda vo vtorom i osn. sostoyaniyah ravno 4,2^.10^-9.

B. r. bylo polucheno v ramkah klassich. statistiki. V 1924-26 gg. byla sozdana kvantovaya statistika. Ona privela k otkrytiyu raspredelenii Boze - Einshteina (dlya chastic s celym spinom) i Fermi - Diraka (dlya chastic s polucelym spinom). Oba eti raspredeleniya perehodyat v B. r., kogda sr. chislo dostupnyh dlya sistemy kvantovyh sostoyanii znachitel'no prevyshaet chislo chastic v sisteme, t. o. kogda na odnu chasticu prihoditsya mnogo kvantovyh sostoyanii ili, dr. slovami, kogda stepen' zapolneniya kvantovyh sostoyanii mala. Uslovie primenimosti B. r. mozhno zapisat' v vide neravenstva:

<1 (4)

gde N - chislo chastic, V - ob'em sistemy. Neravenstvo (4) vypolnyaetsya pri vysokoi temp-re i malom chisle chastic v ed. ob'ema (N/V). Iz (4) sleduet, chto chem bol'she massa chastic, tem dlya bolee shirokogo intervala izmenenii T p N/V spravedlivo B. r. Napr., vnutri belyh karlikov neravenstvo (4) narushaetsya dlya elektronnogo gaza, i poetomu ego sv-va sleduet opisyvat' s pomosh'yu raspredeleniya Fermi - Diraka. Odnako f-la (4), a s nei i B. r. ostayutsya spravedlivymi dlya ionnoi sostavlyayushei veshestva. V sluchae gaza, sostoyashego iz chastic s nulevoi massoi pokoya (napr., gaza fotonov), neravenstvo (4) ne vypolnyaetsya ni pri kakih znacheniyah T i N/V. Poetomu ravnovesnoe izluchenie opisyvaetsya Planka zakonom izlucheniya, k-ryi yavl. chastnym sluchaem raspredeleniya Boze - Einshteina.

(D.K. Nadezhin)