
O krivizne prostranstva
Fridman A.A.
Petrograd, 29 maya 1922 g.
$1
1.V svoih izvestnyh rabotah, posvyashennyh obshim kosmologicheskim voprosam, Einshtein[1] i De-Sitter[2] prihodyat k dvum myslimym tipam vselennoi; Einshtein poluchaet tak nazyvaemyi cilindricheskii mir, v kotorom prostranstvo[3] obladaet postoyannoi, ne menyayusheisya s techeniem vremeni kriviznoi, prichem radius krivizny svyazyvaetsya s obshei massoi materii, raspolozhennoi v prostranstve; De-Sitter poluchaet sharovoi mir, v kotorom uzhe ne tol'ko prostranstvo, no i ves' mir obladaet do izvestnoi stepeni harakterom mira postoyannoi krivizny[4]. Pri etom i Einshtein, i De-Sitter predpolagayut opredelennyi harakter tenzora materii, otvechayushii gipoteze nesvyazannosti materii i ee otnositel'nomu pokoyu, inache govorya, dostatochnoi malosti skorostei materii po sravneniyu s fundamental'noi skorost'yu[5], to est' so skorost'yu sveta.
Nastoyashaya zametka imeet cel'yu poluchit' cilindricheskii i sfericheskii mir kak chastnye tipy, vytekayushie ih nekotoryh obshih polozhenii, a zatem pokazat' vozmozhnost' polucheniya osobogo mira, krivizna kotorogo, postoyannaya otnositel'no treh prinyatyh za prostranstvennye koordinat, menyaetsya s techeniem vremeni , t.e. zavisit ot chetvertoi koordinaty, prinyatoi za vremennuyu; etot novyi tip vselennoi v ostal'nyh svoih svoistvah napominaet cilindricheskii mir Einshteina.
2.Predpolozheniya, kotorye my polozhim v osnovu nashih soobrazhenii, raspadayutsya na dva klassa. K pervomu klassu otnosyatsya predpolozheniya, odinakovye s temi, kotorye delayut Einshtein i De-Sitter i kotorye otnosyatsya k uravneniyam, upravlyayushim gravitacionnymi potencialami, i k harakteru sostoyaniya i dvizheniya materii v prostranstve. Ko vtoromu klassu otnosyatsya predpolozheniya ob obshem, tak skazat', geometricheskom haraktere nashego mira; iz prinyatoi nami gipotezy v vide chastnyh sluchaev mogut byt' polucheny kak cilindricheskii mir Einshteina, tak i sharovoi mir De-Sittera.
Predpolozheniya pervogo klassa sleduyushie:
1)gravitacionnye potencialy udovletvoryayut sisteme uravnenii Einshteina s tak nazyvaemym «kosmologicheskim» chlenom, kotoryi mozhet byt', v chastnosti, raven nulyu:
![]() |
(A) |
gde - gravitacionnye potencialy,
-
tenzor materii,
- nekotoraya postoyannaya,
,
a tenzor
opredelyaetsya ravenstvom
![]() |
(B) |
prichem
- sut' mirovye koordinaty,
a
- simvol Kristoffelya vtorogo roda[6];
2) materiya nahoditsya v nesvyazannom sostoyanii i obladaet vzaimno otnositel'nym
pokoem; govorya menee strogo, otnositel'nye skorosti materii nichtozhny po sravneniyu
so skorost'yu sveta. Pri takih predpolozheniyah tenzor materii
opredelyaetsya ravenstvami
![]() ![]() ![]() ![]() |
(C) |
gde - plotnost' materii i
- fundamental'naya
skorost'; pri etom, konechno, mirovye koordinaty razdeleny na dve gruppy:
nazvany prostranstvennymi koordinatami, a
- vremennoi koordinatoi.
3. Predpolozheniya vtorogo klassa svodyatsya k sleduyushemu:
1) pri vydelenii ih chetyreh mirovyh koordinat treh prostranstvennyh
() my budem imet' prostranstvo postoyannoi krivizny,
mogushei, odnako, menyat'sya s techeniem chetvertoi vremennoi koordinaty
.
Interval
[7], opredelyaemyi ravenstvom ,
mozhet byt' napisan pri pomoshi sootvetstvuyushego izmeneniya prostranstvennyh
koordinat v sleduyushem vide:

gde est' funkciya tol'ko ot
,
proporcionalen
radiusu krivizny prostranstva; takim obrazom, radius krivizny prostranstva mozhet
menyat'sya s techeniem vremeni;
2) v vyrazhenii intervala obrashayutsya
v nul' pri sootvetstvuyushem vybore vremennoi koordinaty, inache, kratko vyrazhayas',
vremya ortogonal'no prostranstvu. Eto vtoroe predpolozhenie ne imeet, kak mne kazhetsya,
v osnove svoei kakih-libo fizicheskih ili filosofskih soobrazhenii i vvoditsya
isklyuchitel'no v celyah uprosheniya vychislenii. Neobhodimo zametit', chto miry
Einshteina i De-Sittera yavlyayutsya chastnymi sluchayami rassmatrivaemogo predpolozheniya.
Predpolozheniya 1) i 2) dayut nam vozmozhnost' zapisat' v vide
![]() |
(D) |
gde zavisit tol'ko ot
, a
yavlyaetsya,
voobshe govorya, funkciei vseh chetyreh mirovyh koordinat. Vselennaya Einshteina -
chastnyi sluchai, poluchaemyi iz formuly (D) zamenoi
na
i
na 1, gde
- postoyannyi
(ne zavisyashii ot
!) radius krivizny prostranstva. Vselennaya
De-Sittera poluchaetsya, kogda v formule (D) zamenim
na
, a
- na
:
![]() |
(D1) |
![]() |
(D2) |
(Pridavaya intervalu razmer vremeni, my oboznachim ego cherez
; v etom sluchae postoyannaya
budet imet'
razmernost'yu dlinu, delennuyu na massu i v edinicah CGS budet ravna
)
4. Neobhodimo skazat' eshe neskol'ko slov o teh intervalah, v kotoryh
zaklyucheny mirovye koordinat; inache govorya, neobhodimo uslovit'sya, kakie tochki
mnogoobraziya chetyreh izmerenii my budem schitat' za razlichnye. Ne vhodya v bolee
podrobnye poyasneniya, uslovimsya prostranstvennye koordinaty izmenyat' v
sleduyushih intervalah: - v intervale
,
- v intervale
,
- v intervale
, chto zhe kasaetsya vremennoi koordinaty, to vopros
ob intervale izmeneniya ee ostavim otkrytym. k nemu my vernemsya v dal'neishem.
$2
1.Pol'zuyas' uravneniyami (A) i (B) v predpolozhenii, chto
gravitacionnye potencialy opredelyayutsya ravenstvom (D), i polagaya v
uravneniyah (A), chto ,
, naidem

Eti ravenstva imeyut dva sluchaya: 1) ,
ne
zavisit ot
i yavlyaetsya postoyannoi; nazovem etot sluchai
stacionarnym mirom, i 2)
,
zavisit
tol'ko ot
; nazovem etot sluchai nestacionarnym mirom.
Obrashayas' snachala k stacionarnomu miru, vypishem uravneniya (A) dlya
v predpolozhenii razlichnyh indeksov; uravneniya eti dadut
nam sleduyushuyu sistemu formul:



Integriruya eti uravneniya, naidem
![]() |
(1) |
gde - proizvol'nye funkcii svoih argumentov. Razreshaya obychnymi
priemami uravneniya (A) otnositel'no tenzora ,
isklyuchaya iz neuchtennyh i neispol'zovannyh eshe uravnenii neizvestnuyu plotnost'[8] i podstavlyaya vyrazhenie (1)
dlya
v eti uravneniya, my posle dlinnyh, no elementarnyh vychislenii
naidem, chto dlya
vozmozhny sleduyushie dva vyrazheniya:
![]() |
(2) |
![]() |
(3) |
gde - postoyannye velichiny.
V sluchae, kogda ravno postoyannomu chislu, my imeem dlya stacionarnogo
mira sluchai cilindricheskogo mira. Pri etom udobnee operirovat' gravitacionnymi potencialami,
poluchaemymi iz formuly (D); opredelyaya plotnost' i velichinu
,
poluchim izvestnyi rezul'tat Einshteina:

gde - obshaya massa vsego prostranstva.
V drugom vozmozhnom sluchae, kogda opredelyaetsya iz formuly (3),
my pri pomoshi racional'nogo izmeneniya
[9]
prihodim k sharovomu miru De-Sittera, v kotorom
; pol'zuyas'
formuloi D2, naidem sleduyushie sootnosheniya De-Sittera:

Takim obrazom, stacionarnyi mir mozhet byt' ili cilindricheskim mirom Einshteina, ili sfericheskim mirom De-Sittera.
2. Obratimsya teper' k izucheniyu drugogo vozmozhnogo mira - nestacionarnogo.
V etom sluchae est' funkciya tol'ko
; sootvetstvenno
izmenyaya
, my mozhem bez ogranicheniya obshnosti polozhit'
;
imeya v vidu bol'shie udobstva nashih obychnyh predstavlenii, napishem
v forme, analogichnoi (D1) i (D2):
![]() |
(D3) |
Nashei zadachei yavlyaetsya opredelenie i
iz uravnenii
(A). Ochevidno, chto uravneniya (A), v kotoryh znachki razlichny, nichego
ne dadut; uravneniya (A), v kotoryh
, dadut odno
sootnoshenie:
![]() |
(4) |
a uravnenie (A), v kotorom , dast ravenstvo
![]() |
(5) |
prichem

Tak kak , to integrirovanie uravneniya (4) posle zameny
dlya udobstva
na
dast nam uravnenie
![]() |
(6) |
gde - proizvol'naya postoyannaya. Iz etogo uravneniya
poluchaetsya putem obrasheniya nekotorogo ellipticheskogo integrala, t.e. putem resheniya
otnositel'no
uravneniya
![]() |
(7) |
gde i
- postoyannye; pri etom, konechno, nado pomnit'
ob obychnyh izmeneniya znaka u kvadratnogo kornya.
Uravnenie (5) daet nam vozmozhnost' opredelit' :
![]() |
(8) |
cherez vsyu massy prostranstva; postoyannaya
vyrazitsya
ravenstvom
![]() |
(9) |
prinimaya, chto massa - velichina polozhitel'naya, my i dlya
poluchim polozhitel'noe znachenie.
3. Izuchenie nestacionarnogo mira osnovano na izuchenii uravnenii (6) i
(7); pri etom, konechno, velichina ne opredelyaetsya
sama soboi, i my pri izuchenii uravnenii (6) i (7) budem predpolagat',
chto
mozhet prinimat' lyubye znacheniya. Opredelim te znacheniya
peremennoi
, pri kotoryh kvadratnyi koren', vhodyashii v formulu
(7), mozhet izmenit' svoi znak. Ogranichivayas' sluchaem polozhitel'nogo
radiusa krivizny, nam dostatochno rassmotret' znacheniya dlya
, pri
kotoryh podkorennoe vyrazhenie obrashaetsya v nul' ili beskonechnost' v intervale
dlya
, t.e. dlya polozhitel'nyh
.
Odno iz znachenii , pri kotorom kvadratnyi koren' v formule (7)
obrashaetsya v nul', est' znachenie
; drugie znacheniya
,
pri kotoryh kvadratnyi koren' v formule (7) mozhet izmenyat' svoi znak,
opredelyatsya pri izuchenii polozhitel'nyh kornei uravneniya

Oboznachaya cherez
, postroim semeistvo
krivyh tret'ego poryadka v ploskosti
, opredelyaemoe uravneniem
![]() |
(10) |
gde - parametr semeistva, menyayushiisya v intervale .
Krivye nashego semeistva, pokazannye na risunke, peresekayut os'
v tochke
i imeyut maksimum v tochke


Rassmotrenie chertezha pokazyvaet, chto pri otricatel'nyh
uravnenie
imeet odin polozhitel'nyi koren'
, lezhashii v intervale
; rassmatrivaya
kak funkciyu
i
:

naidem, chto - vozrastayushaya funkciya ot
i vozrastayushaya funkciya ot
. Dalee, esli
lezhit
v intervale , to uravnenie nashe budet imet'
dva polozhitel'nyh kornya: i
,
prichem
lezhit v intervale
, a
-
v intervale
;
budet vozrastayushei funkciei kak ot
, tak i ot
;
budet ubyvayushei funkciei ot
i
ot
. Nakonec, esli
bol'she
,
to nashe uravnenie ne budet imet' polozhitel'nyh kornei.
Pristupaya k issledovaniyu formuly (7), sdelaem odno zamechanie: pust'
v nachal'nyi moment , t.e. pri , radius krivizny raven
.
V etot nachal'nyi moment kvadratnyi koren', stoyashii v formule (7), budet imet'
znak plyus ili minus, smotrya po tomu, vozrastaet li radius krivizny s techeniem
vremeni pri
ili net. Izmenyaya vremya
na
,
my vsegda mozhem pripisat' etomu kvadratnomu kornyu znak plyus, inache govorya,
bez ogranicheniya obshnosti, mozhem vremya vybrat' tak, chtoby radius krivizny v
rassmatrivaemyi nachal'nyi moment
vozrastal s techeniem vremeni.
4. Rassmotrim sluchai, kogda , kogda,
sledovatel'no, uravnenie ne imeet polozhitel'nyh
kornei. V etom sluchae uravnenie (7) perepishetsya sleduyushim obrazom:
![]() |
(11) |
prichem, soglasno zamechaniyu, sdelannomu v konce predydushego punkta, kvadratnyi koren'
budet vsegda polozhitelen. Otsyuda sleduet, chto budet vozrastayushei
funkciei ot
; na nachal'noe znachenie radiusa krivizny
nikakih v etom sluchae ogranichenii ne nalagaetsya.
Tak kak radius krivizny ne mozhet byt' men'she nulya, to, umen'shayas' ot
s umen'sheniem
soglasno formule (11), radius krivizny cherez
nekotoryi promezhutok vremeni
doidet do nulya. Pol'zuyas' ochevidnoi
analogiei, budem nazyvat' promezhutok vremeni, ponadobivshiisya, chtoby radius krivizny
ot
doshel do
, vremenem, proshedshim ot sotvoreniya
mira[10];
etot promezhutok
opredelyaetsya ravenstvom
![]() |
(12) |
Uslovimsya v dal'neishem rassmatrivaemyi mir nazyvat' monotonnym mirom pervogo roda.
Vremya, proshedshee ot sotvoreniya monotonnogo mira pervogo roda, rassmatrivaemoe
kak funkciya , obladaet sleduyushimi svoistvami:
1) ono vozrastaet s uvelicheniem
; 2) ono ubyvaet
s uvelicheniem
, to est' s uvelicheniem massy materii prostranstva;
3) ono ubyvaet s uvelicheniem
. Esli
, to pri lyubyh
vremya, protekshee ot «sotvoreniya mira»,
konechno, esli
, to vsegda naidetsya takoe
harakteristicheskoe znachenie
,
chto s priblizheniem
k etoi velichine vremya, proshedshee ot
«sotvoreniya mira», budet bespredel'no vozrastat'.
5. Polozhim dalee, chto zaklyucheno v intervale
;
togda nachal'noe znachenie radiusa krivizny
mozhet lezhat' v odnom
iz treh intervalov:
. Esli
lezhit v intervale
, to kvadratnyi koren' v
formule (7) imeet mnimoe znachenie i prostranstvo s takoi nachal'noi kriviznoi
ne mozhet sushestvovat'. Sluchai, kogda
lezhit v intervale
,
my rassmotrim v sleduyushem punkte, teper' zhe ostanovimsya na tret'em sluchae,
kogda
ili
. V etom sluchae
rassuzhdeniyami, analogichnymi privedennym v predydushem punkte, mozhno pokazat',
chto
budet vozrastayushei funkciei vremeni, prichem
mozhet menyat'sya, nachinaya s
; promezhutok vremeni,
proshedshii s momenta, kogda
, do momenta
,
nazovem vremenem, protekshim ot «sotvoreniya mira», i oboznachim
cherez
:
![]() |
(13) |
Uslovimsya rassmatrivaemyi mir nazyvat' monotonnym mirom vtorogo roda.
6. Rassmotrim, nakonec, sluchai, kogda zaklyucheno
v intervale
. V etom sluchae, esli
,
to kvadratnyi koren' v formule (7) stanovitsya mnimym, i, sledovatel'no,
prostranstvo s ukazannym radiusom krivizny ne mozhet sushestvovat'. Esli
,
to rassmatrivaemyi sluchai budet sovershenno odinakov so sluchaem, opushennym pri rassmotrenii
v predydushem punkte. Itak, polozhim, chto
lezhit v intervale
, a
. Obychnymi rassuzhdeniyami[11] mozhno v etom sluchae pokazat', chto
budet
periodicheskoi funkciei ot
s periodom
, kotoryi
my nazovem periodom mira i kotoryi budet opredelen ravenstvom
![]() |
(14) |
prichem radius mira budet menyat'sya ot nulya do . Uslovimsya takogo roda mir
nazyvat' periodicheskim. Period periodicheskogo mira vozrastaet s vozrastaniem
, stremyas' k beskonechnosti, kogda
stremitsya
k
.
Pri malyh period
opredelyaetsya priblizitel'noi
formuloi
![]() |
(15) |
Na periodicheskii mir mozhno smotret' s dvuh tochek zreniya. Esli schitat' dva yavleniya sovpadayushimi,
kol' skoro sovpadayut prostranstvennye koordinaty, a vremennye otlichayutsya na celoe
chislo periodov, to radius krivizny mira, uvelichivayas' snachala ot do
, budet zatem umen'shat'sya do nulya: togda vremya sushestvovaniya mira
budet konechnym.
S drugoi storony, esli izmenyat' vremya ot do
,
t.e. esli schitat' dva yavleniya sovpadayushimi, kol' skoro sovpadayut ne tol'ko ih
prostranstvennye koordinaty, no i ih vremennye koordinaty, to my pridem k
deistvitel'noi periodichnosti krivizny prostranstva.
7. Dannye, kotorymi my raspolagaem, sovershenno nedostatochny dlya kakih-libo chislennyh
podschetov i dlya resheniya voprosa o tom, kakim mirom yavlyaetsya nasha vselennaya;
byt' mozhet, problema prichinnosti i problema centrobezhnoi sily prol'yut
svet na rassmatrivaemye zdes' voprosy. Sleduet otmetit', chto v poluchennyh
nami formulah «kosmologicheskaya» velichina ne
opredelyaetsya, yavlyayas' lishnei konstantoi zadachi; byt' mozhet, elektrodinamicheskie soobrazheniya
smogut opredelit' etu velichinu. Polagaya
i schitaya
ravnoi masse
nashih Solnc, budem
dlya perioda mira imet' velichinu poryadka 10 milliardov let.
Eti cifry mogut imet', konechno, lish' illyustrativnoe znachenie.
1. Einstein A., Kosmologische Betrachtungen zur allgemien Relativistatstheorie, Sitzungsber, Dtsch. Akad. Berlin 1917
2. De-Sitter, On Einstein's theory of gravitation and its astronomical consequences, Monthly Notices Roy. Astron. Soc., 1916-1917
3. Pod «prostranstvom» budem podrazumevat' prostranstvo, opisyvaemoe mnogoobraziem treh izmerenii, otnosya termin «mir» k prostranstvu, opisyvaemomu mnogoobraziem chetyreh izmerenii
4. Klein F., Ueber die Integralform der Erhaltung ersatze und die Theorie der raumlichgeschlossen Welt, Gottinger Nach., 1918
5. Sm. etot termin u Eddingtona v knige Espace, Temps et Gravitation, 2 Partie. Paris, 1921, p.10
6. Znak


7. A. Eddington. Espace, Temps et Gravitation, 2 partie, Paris, 1921.
8. Plotnost'


9. Ukazannoe izmenenie proizvoditsya s pomosh'yu formuly:

10. Vremya, proshedshee ot sotvoreniya mira, harakterizuet vremya, proshedshee ot momenta, kogda prostranstvo bylo tochkoi (


11. Sm., naprimer, Weierstrass K. Ueber eine Gattung der reel periodischer Functionen, Monastber. Konigl. Akad. Wiss., 1866, a takzhe Zur Theorie der kleinen endlichen Schwingungen, Z. Math. und Phys., 1902, 47. V nashem sluchae neobhodimo, konechno, vnesti nekotorye vidoizmeneniya v rassuzhdeniya citirovannyh avtorov; vprochem, periodichnost' v nashem sluchae ustanavlivaetsya putem elementarnogo rassmotreniya
Publikacii s klyuchevymi slovami:
gravitaciya - Kosmologiya
Publikacii so slovami: gravitaciya - Kosmologiya | |
Sm. takzhe:
Vse publikacii na tu zhe temu >> |