<< Fraktaly v matematike i Formirovanie struktur >>

Metody obnaruzheniya fraktal'nyh struktur
v astrofizicheskih ob'ektah

Dlya issledovaniya svoistv fraktal'noi struktury kakogo-libo fizicheskogo fraktala neobhodimo imet' kakoi-libo algoritm opredeleniya fraktal'noi razmernosti ob'ekta po dannym nablyudenii. Sushestvuet ves'ma bol'shoe kolichestvo razlichnyh metodov opredeleniya fraktal'noi razmernosti ili zamenyayushih ee velichin, odnako vse oni baziruyutsya na klassicheskom opredelenii fraktal'noi razmernosti, dannom Hausdorfom. Nekotorye iz etih algoritmov yavlyayutsya dostatochno prostymi i mogut byt' realizovany programmno; nekotorye predstavlyayut tol'ko matematicheskii interes, poskol'ku yavlyayutsya neprivodimymi i trebuyut beskonechnogo vremeni vychislenii. Ostanovimsya na nekotoryh metodah, primenenie kotoryh kak k astrofizicheskim ob'ektam predstavlyaetsya dostatochno opravdannym.

Odna iz vozmozhnyh harakteristik fraktal'noi struktury - korrelyacionnyi pokazatel'. Pust' dlya tochek izuchaemogo mnozhestva v prostranstve funkciya  - rasstoyanie mezhdu tochkami. Vvedem funkciyu

Togda korrelyacionnym pokazatelem dlya mnozhestva nazyvaetsya velichina

Dlya samopodobnoi fraktal'noi struktury korrelyacionnyi pokazatel' sovpadaet s fraktal'noi razmernost'yu .

Tem ne menee v astrofizicheskih prilozheniyah chashe ispol'zuyutsya bolee prostye metody, osnovannye na podschetah kolichestva elementov struktury, soderzhashihsya v opredelennom ob'eme.

Pust' ob'ekt obladaet samopodobnoi fraktal'noi strukturoi, sostoit iz odinakovyh elementov i v ob'emah, ogranichennyh koncentricheskimi sferami radiusov i , soderzhit sootvetstvenno i elementov. Polagaem, chto

a velichina predstavima v vide

gde  - nekotoraya postoyannaya. Togda verno ravenstvo

opredelyayushee velichinu :

Velichina dlya samopodobnyh fraktalov sovpadaet s fraktal'noi razmernost'yu . Koefficient , nazyvaemyi "prefaktorom", raven

gde  - naimen'shii rassmatrivaemyi masshtab fraktal'nosti;  - kolichestvo elementov v sootvetstvuyushem ob'eme.

Vazhnoe dlya astrofizicheskih prilozhenii sootnoshenie sleduet iz (7) dlya sistem, v kotoryh vse elementy imeyut odnu i tu zhe massu . Otnoshenie mass, soderzhashihsya v sootvetstvuyushih sfericheskih ob'emah, zapisyvaetsya v sleduyushem vide:

otkuda, sledovatel'no,

Zdes' oznachaet rasstoyanie ot lyuboi proizvol'no vybrannoi tochki struktury. Pri takom uslovii srednyaya plotnost' veshestva v proizvol'nom sfericheskom ob'eme okazyvaetsya zavisyashei ot razmera etogo ob'ema. Sushestvenno, chto eto utverzhdenie verno dlya vseh tochek, vhodyashih v strukturu. Dlya real'nyh struktur znacheniya v razlichnyh tochkah struktury mogut poluchat'sya raznymi, chto obuslovleno sluchainymi otkloneniyami struktury ot ideal'no fraktal'noi, no esli poluchaemye "lokal'nye razmernosti" blizki drug k drugu, to mozhno govorit' o sushestvovanii fraktal'noi struktury s razmernost'yu, ravnoi srednemu znacheniyu lokal'nyh razmernostei dlya vseh tochek struktury.

Bolee slozhnoi yavlyaetsya sistema, sostoyashaya iz ob'ektov razlichnoi massy. Esli struktura sistemy fraktal'na, to v etom sluchae mnozhestvo, yavlyayusheesya geometricheskim "nositelem" ob'ektov, predstavlyaet soboi mul'tifraktal.

V nekotoryh sluchayah (naprimer, kogda zhelatel'no isklyuchit' vozmozhnye effekty nablyudatel'noi selekcii) celesoobrazno rassmatrivat' ne sfericheskie ob'emy, a tela odinakovoi, no proizvol'noi formy, otlichayushiesya razmerom. V takom sluchae vyrazhenie (12) takzhe ostaetsya istinnym, odnako priobretaet smysl harakternogo razmera, yavlyayushegosya parametrom ispol'zuemyh ob'emov.

K sozhaleniyu, v astrofizike chasto otsutstvuet polnaya informaciya o prostranstvennoi strukture nablyudaemogo ob'ekta. V takom sluchae fraktal'nuyu razmernost' prihoditsya opredelyat' po proekcii ob'ekta na nebesnuyu sferu. Dlya mnogougol'nikov, krugov i drugih oblastei, ogranichennyh obychnymi krivymi, otnoshenie dliny perimetra k velichine , gde  - ploshad' oblasti, yavlyaetsya velichinoi, ne zavisyashei ot razmera oblasti. Odnako kogda oblast' fraktal'na, to fraktalen i ee perimetr. Rezul'tat izmereniya velichiny v etom sluchae zavisit ot ispol'zuemogo etalona dliny. Dlya fraktal'nogo perimetra , zavisyashego ot velichiny etalona ,

Ploshad' zhe oblasti, opredelyaemaya putem nalozheniya na nee kvadratov so storonoi , pri ostaetsya konechnoi. S uchetom etogo obstoyatel'stva mozhno poluchit' sootnoshenie

Velichina zavisit ot stepeni tochnosti, dostizhimoi pri izmereniyah s dannym etalonom.

Poluchennaya velichina otnositsya k perimetru proekcii ob'ekta. Odnako poskol'ku granica ob'ekta yavlyaetsya liniei peresecheniya poverhnosti prostranstvennoi struktury s ploskost'yu, to znachenie dlya prostranstvennoi struktury mozhet byt' polucheno na osnovanii tak nazyvaemoi "teoremy o slozhenii". Soglasno etoi teoreme pri peresechenii samopodobnoi fraktal'noi struktury razmernosti so strukturoi razmernosti v prostranstve topologicheskoi razmernosti poluchaetsya struktura, obladayushaya razmernost'yu , ravnoi

otsyuda, v chastnosti, sleduet, chto fraktal'naya razmernost' prostranstvennoi struktury . Tem ne menee sleduet otmetit', chto poluchenie prostranstvennoi fraktal'noi razmernosti etim metodom osnovyvaetsya na predpolozhenii o strogom samopodobii fraktal'noi struktury, kotoroe, voobshe govorya, mozhet okazat'sya neopravdannym.

---

<< Fraktaly v matematike i Formirovanie struktur >>