Rambler's Top100Astronet    
  po tekstam   po klyuchevym slovam   v glossarii   po saitam   perevod   po katalogu 		 

Na pervuyu stranicu << 3.10.1. Zakony Keplera | Oglavlenie | 4. Sistemy koordinat na >>


3.10.2. Parametry i anomalii keplerovskoi orbity

Pri rassmotrenii dvizheniya planet mozhno ogranichit'sya tol'ko sluchaem ellipticheskogo dvizheniya. Orbita planety v etom sluchae harakterizuetsya shest'yu parametrami.

Opredelim sistemu koordinat $ Oxyz$, svyazannuyu s orbitoi planety. Tochka orbity, blizhaishaya k Solncu, nazyvaetsya perigeliem, a naibolee udalennaya ot Solnca -- afeliem. Os' $ Ox$ napravim v perigelii, os' $ Oz$ -- perpendikulyarno ploskosti orbity. Tochki peresecheniya ploskosti orbity planety i ekliptiki nazyvayutsya uzlami orbity, prichem voshodyashim uzlom nazyvaetsya tot, kotoryi planeta prohodit, perehodya iz oblasti otricatel'nyh shirot v oblast' polozhitel'nyh shirot. Graficheskoe predstavlenie i parametry keplerovskoi orbity pokazany na ris. 3.14.

Ris. 3.14. Opredelenie parametrov ellipticheskoi orbity

Orientaciya orbity v prostranstve (orientaciya sistemy koordinat $ Oxyz$ otnositel'no geliocentricheskoi sistemy $ OXYZ$) opisyvaetsya tremya uglami. Ugol mezhdu napravleniem na tochku vesennego ravnodenstviya i tochku voshodyashego uzla nazyvaetsya dolgotoi voshodyashego uzla i oboznachaetsya $ \Omega$. Dvugrannyi ugol mezhdu ploskostyami orbity i ekliptiki nazyvaetsya nakloneniem orbity i oboznachaetsya kak $ i$. Tret'im uglom, kotoryi oboznachaetsya $ \omega$ i nazyvaetsya argumentom perigeliya, yavlyaetsya ugol mezhdu napravleniyami na voshodyashii uzel i perigelii. Tak kak ugol $ \omega$ postoyanen, to eto oznachaet neizmennost' polozheniya osi $ Ox$ i v ploskosti orbity, i v prostranstve.

Sleduyushie dva parametra: bol'shaya poluos' $ a$ i ekscentrisitet $ e$ opredelyayut razmery i formu orbity. I, nakonec, polozhenie tela na orbite v nachal'nyi moment opredelyaetsya epohoi prohozhdeniya cherez perigelii -- $ T_0$.

Mgnovennoe polozhenie planety na moment $ t$ opredelyaetsya uglom $ v$, kotoryi nazyvaetsya istinnoi anomaliei (ris. 3.15).

Ris. 3.15. Opredelenie anomalii keplerovskoi orbity

Pomimo istinnoi anomalii v nebesnoi mehanike ispol'zuyutsya ekscentricheskaya $ E$ i srednyaya $ M$ anomalii. Postroim okruzhnost' radiusa $ a$, ravnym bol'shoi poluosi ellipsa, s centrom, kotoryi sovpadaet s centrom ellipsa $ C$. Opustim perpendikulyar $ PB$ na os' $ Ox$; togda ego prodolzhenie peresechet okruzhnost' v tochke $ P'$. Ugol $ \angle P'CO=E$ nazyvaetsya ekscentricheskoi anomaliei. Ugol, ravnyi srednei anomalii, opredelyaetsya srednim dvizheniem i raven

$\displaystyle M(t)=n(t-T_0).$ (3.55)

Chasto v nebesnoi mehanike i astrometrii ispol'zuetsya velichina, opredelyaemaya formuloi

$\displaystyle L=\omega+M,$ (3.56)

i nazyvaemaya srednei dolgotoi.

Tak kak dvizhenie planety pri keplerovskom dvizhenii proishodit v ploskosti, to polozhenie planety opredelyaetsya proekciyami radius-vektora $ \mathbf{r}$, kotorye ravny $ x,y$. Proekciya $ \mathbf{r}$ na os' $ Oz$ ravna nulyu: $ \mathbf{r}=(x,y,0)$. Iz ris. 3.15 ochevidno, chto

$\displaystyle \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}r\cos v \\ r\sin v \end{pmatrix}.$ (3.57)

Takzhe, ispol'zuya ris. 3.15, nahodim, chto

$\displaystyle CB=CO+OB, \quad a\cos E=ae+r\cos v. $

Dalee, s odnoi storony,

$\displaystyle \frac{P'B}{PB}=\frac{a\sin E}{r\sin v}, $

s drugoi storony, ispol'zuya svoistva ellipsa, imeem

$\displaystyle \frac{P'B}{PB}=\frac{a}{b}=\frac{1}{\sqrt{1-e^2}}. $

Sledovatel'no, sootnoshenie (3.55) mozhno perepisat' v vide:

$\displaystyle \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}r\cos v \\ r\sin v \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a(\cos E-e) \\ a\sqrt{1-e^2}\sin E \end{pmatrix}.$ (3.58)

Tak kak $ r=\sqrt{x^2+y^2}$, iz (3.56) i (3.46) nahodim:

$\displaystyle r=a(1-e\cos E)=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos v}.$ (3.59)

Iz vyrazhenii (3.56), (3.57) i formuly tangensa polovinnogo ugla poluchim vyrazhenie, svyazyvayushee istinnuyu i ekscentricheskuyu anomalii:

$\displaystyle \textrm{tg}\,\frac{v}{2}=\frac{\sin v}{1+\cos v}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\,\textrm{tg}\,\frac{E}{2}.$ (3.60)

Ugly $ v$ i $ E$ zavisyat ot vremeni. Differenciruya uravnenie (3.58) po vremeni, naidem, chto

$\displaystyle \sec^2\frac{v}{2}dv=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\,\sec^2\frac{E}{2}\,dE. $

Posle neslozhnyh preobrazovanii vyrazim $ dv$ cherez $ dE$:

$\displaystyle dv=\frac{\sqrt{1-e^2}\,dE}{1-e\cos E}.$ (3.61)

Teper' vernemsya k uravneniyu (3.42). Tak kak $ \omega=\textrm{const}$, to uravnenie (3.42) mozhno perepisat' v vide:

$\displaystyle r^2\overset{.}{v}=h.$ (3.62)

Zamenyaya $ r$ vyrazheniem (3.57), $ dv$ -- na (3.59) i $ h$ na $ \sqrt{\mu a(1-e^2)}$, poluchim:

$\displaystyle (1-e\cos E)dE=\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}\,dt. $

Integriruya

$\displaystyle \int\limits_0^E(1-e\cos E)dE=\int\limits_0^tndt, $

poluchim transcendentnoe uravnenie, svyazyvayushee ekscentricheskuyu i srednyuyu anomalii, kotoroe nazyvaetsya uravneniem Keplera:

$\displaystyle E-e\sin E=n(t-T_0)=M,$ (3.63)

gde $ T_0$ est' postoyannaya integrirovaniya -- moment prohozhdeniya cherez perigelii.

Naidem teper' vektor skorosti $ \mathbf{V}=\overset{.}{\mathbf{r}}=d{\mathbf{r}}/dt$. Zametim, chto $ dE/dt=na/r$. Vektor skorosti lezhit v ploskosti orbity, sledovatel'no, ego proekciya na os' $ Oz$ ravna nulyu. Iz (3.56) nahodim proekcii $ \mathbf{V}$:

$\displaystyle \begin{pmatrix}\overset{.}{x} \\ \overset{.}{y} \end{pmatrix}=\frac{na^2}{r} \begin{pmatrix}-\sin E \\ \sqrt{1-e^2}\cos E \end{pmatrix}$ (3.64)

i kvadrat skorosti

$\displaystyle V^2=\frac{n^2a^4}{r^2}(1-e^2\cos^2E)=\mu\Bigl(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\Bigr).$ (3.65)

Differenciruya po vremeni vektor skorosti (3.62) i uchityvaya, chto $ \overset{.}{r}=ae\sin E\overset{.}{E}$, naidem vektor uskoreniya tela pri dvizhenii po keplerovskoi orbite, kotoryi takzhe lezhit v ploskosti orbity:

$\displaystyle \begin{pmatrix}\overset{..}{x} \\ \overset{..}{y} \end{pmatrix}=\frac{n^2a^4}{r^3} \begin{pmatrix}e-\cos E \\ -\sqrt{1-e^2}\sin E \end{pmatrix}.$ (3.66)

Dlya vychisleniya pryamougol'nyh koordinat i proekcii skorosti tela v geliocentricheskoi sisteme koordinat dostatochno naiti matricu povorota $ S$ sistemy $ Oxyz$. Esli matrica $ S$ izvestna, to preobrazovanie zapisyvaetsya v vide matrichnyh uravnenii:

$\displaystyle \mathbf{R}= \begin{pmatrix}X \\ Y \\ Z \end{pmatrix}=S\mathbf{r}, \quad \overset{.}{\mathbf{R}}= \begin{pmatrix}\overset{.}{X} \\ \overset{.}{Y} \\ \overset{.}{Z} \end{pmatrix}= S\overset{.}{\mathbf{r}}.$ (3.67)

Matrica $ S$ vychislyaetsya sleduyushim obrazom (sm. ris. 3.14): snachala vypolnyaem povorot otnositel'no osi $ Oz$ na ugol $ -\omega$ do sovmesheniya osi $ Ox$ s liniei uzlov, zatem -- povorot otnositel'no linii uzlov na ugol $ -i$ i, nakonec, povorot otnositel'no osi $ OZ$ na ugol $ -\Omega$:

$\displaystyle S$ $\displaystyle =R_3(-\Omega)R_1(-i)R_3(-\omega)=$    
$\displaystyle =\begin{pmatrix}\cos\Omega\cos\omega- & -\cos\Omega\sin\omega- & \sin\Omega\sin i\\ -\sin\Omega\sin\omega\cos i & -\sin\Omega\cos\omega\cos i & \\ & & \\ \sin\Omega\cos\omega+ & -\sin\Omega\sin\omega+ &-\cos\Omega\sin i\\ +\cos\Omega\sin\omega\cos i & +\cos\Omega\cos\omega\cos i & \\ & & \\ \sin\omega\sin i & \cos\omega\sin i & \cos i \end{pmatrix}.$ (68)

Esli elementy orbity tela izvestny, to ego polozhenie i skorost' v eklipticheskoi sisteme koordinat v lyuboi moment vremeni $ t$ opredelyayutsya sleduyushei posledovatel'nost'yu vychislenii: 1) snachala nahoditsya srednyaya anomaliya $ M(t)$ po formule (3.53); 2) reshaya uravnenie Keplera (3.61), nahodim ekscentricheskuyu anomaliyu $ E(t)$; 3) znaya $ E(t)$, poluchim radius-vektor tela $ r(t)$ (3.57) i ego proekcii $ x,y$ v orbital'noi sisteme koordinat (3.56); 4) i, ispol'zuya uravneniya (3.65) i matricu (3.66), poluchim pryamougol'nye eklipticheskie koordinaty i proekcii skorosti tela.

Esli ekscentrisitet orbity mal, to udobnym metodom resheniya uravneniya Keplera yavlyaetsya metod iteracii. Na pervom shage predpolagaetsya, chto $ E_1=M$. Togda process iteracii

$\displaystyle E_2=M+e\sin E_1, \quad E_3=M+e\sin E_2\ \textrm{i t.d.} $

mozhno ostanovit', kogda raznost' $ \vert E_i-E_{i-1}\vert$ stanet men'she nekotorogo zaranee zadannogo chisla. Ogranichimsya seichas tremya iteraciyami i vyrazim v yavnom vide $ E$ kak funkciyu $ M$. Imeem

$\displaystyle E=E_3=M+e\sin(M+e\sin M). $

Schitaya, chto $ e\ll 1$, poluchim s tochnost'yu do $ e^2$ ryad

$\displaystyle E=M+e\sin M+\frac{e^2}{2}\sin 2M +\ldots .$ (3.69)

Vyrazim teper' v vide ryada po stepenyam ekcentrisiteta $ e$ istinnuyu anomaliyu $ v$ kak funkciyu srednei anomalii $ M$. Dlya etogo umnozhim snachala pervoe uravnenie (3.56) na $ -\sin E$, vtoroe -- na $ \cos E$ i slozhim rezul'tat. Posle privedeniya podobnyh chlenov poluchim:

$\displaystyle r\sin(v-E)=a\sin E\cos E(\sqrt{1-e^2}-1)+ae\sin E. $

Razlagaya $ \sqrt{1-e^2}$ v ryad i delya obe chasti uravneniya na $ r$, nahodim, chto

$\displaystyle \sin(v-E)=\frac{e\sin E-\frac{e^2}{2}\sin E\cos E}{1-e\cos E}. $

Pri $ e\ll 1$ mozhno razlozhit' znamenatel' v ryad po stepenyam $ e$, zatem (tak kak $ v-E$ ravny arksinusu malogo ugla, proporcional'nogo $ e$,) razlozhit' arksinus. Sohranyaya chleny do $ e^2$, poluchim:

$\displaystyle v =E+e\sin E+\frac{e^2}{4}\sin 2E +\ldots .$ (3.70)

Vyrazim teper' $ \sin E, \sin 2E$ cherez $ M$, ispol'zuya ryad (3.67). Imeem

$\displaystyle \sin E=\sin(M+e\sin M+\frac{e^2}{2}\sin 2M) \approx \sin M\Bigl[1-\frac{(e\sin M)^2}{2}\Bigr]+\frac{e}{2}\sin 2M+\frac{e^2}{2}\cos M\sin 2M. $

Posle prostyh trigonometricheskih preobrazovanii nahodim, chto

$\displaystyle \sin E\approx\sin M\Bigl(1-\frac{e^2}{8}\Bigr)+\frac{e}{2}\sin 2M+ \frac{3e^2}{8}\sin 3M.$ (3.71)

Analogichno nahodim, chto

$\displaystyle \sin 2E=\sin 2M+e(-\sin M +\sin 3M). $

Podstaviv v ryad (3.68) razlozheniya (3.67), $ \sin E$, $ \sin 2E$ kak funkcii $ M$, posle privedeniya podobnyh chlenov poluchim uravnenie, nazyvaemoe uravneniem centra:

$\displaystyle v =M+2e\sin M+\frac{5e^2}{4}\sin 2M +\ldots .$ (3.72)

V zaklyuchenie etogo razdela rassmotrim dvizhenie Zemli po orbite.
1) Centr tyazhesti Zemli dvizhetsya otnositel'no centra mass sistemy Zemlya+Luna. Poslednii nahoditsya na linii, soedinyayushei centry mass Zemli i Luny, na rasstoyanii, ravnom $ rM_{\leftmoon}/(M_\oplus+ M_{\leftmoon})\approx 4500$ km ot centra tyazhesti Zemli, gde $ r$ -- rasstoyanie mezhdu Zemlei i Lunoi, massy kotoryh ravny $ M_\oplus, M_{\leftmoon}$.
2) Centr tyazhesti sistemy Zemlya+Luna dvizhetsya vokrug Solnca po orbite, elementy kotoroi ne yavlyayutsya postoyannymi, a yavlyayutsya funkciyami vremeni. Orbita blizka k krugovoi; ekscentrisitet orbity raven $ \sim 0,0167$. Orbita centra tyazhesti sistemy Zemlya+Luna yavlyaetsya vozmushennoi vsledstvie prityazheniya Zemli, Luny i Solnca planetami. Iz-za vozmushenii dvizhenie centra tyazhesti sistemy Zemlya+Luna otlichaetsya ot keplerovskogo dvizheniya, odnako eto otlichie ne prevyshaet v dolgote $ \pm 40\hbox{$^{\prime\prime}$}$, v shirote $ \pm 0\hbox{$^{\prime\prime}$\kern-.15cm{,}\kern.04cm} 8$.
3) Centr Solnca dvizhetsya otnositel'no centra tyazhesti solnechnoi sistemy -- baricentra. Dvizhenie centra Solnca otnositel'no baricentra solnechnoi sistemy opredelyaetsya, glavnym obrazom, dvumya naibolee massivnymi planetami -- Yupiterom i Saturnom i predstavlyaetsya dvumya pochti krugovymi dvizheniyami s periodami obrasheniya etih planet ($ \sim 12$ i $ \sim29,5$ let). Radius krugovyh dvizhenii centra Solnca otnositel'no baricentra raven primerno $ 5,2\ \textrm{a.e.}/1047\approx 0,0050\ \textrm{a.e.}\approx 0,75\cdot 10^6\ \textrm{km}$ dlya Yupitera i $ 9,54\ \textrm{a.e.}/3498\approx 0,0027\ \textrm{a.e.}\approx 0,41\cdot 10^6\ \textrm{km}$ dlya Saturna ($ 1047$ i $ 3498$ -- otnosheniya massy Solnca k massam Yupitera i Saturna) (ris. 3.16).

Ris. 3.16. Dvizhenie Solnca otnositel'no baricentra solnechnoi sistemy v eklipticheskoi sisteme koordinat na intervale vremeni 1900 -- 2000 gg. Promezhutok mezhdu tochkami raven odnomu godu.

Solnce udalyaetsya ot centra mass solnechnoi sistemy na velichinu, ne prevyshayushuyu dvuh radiusov Solnca.

Orbital'nye skorosti dvizheniya Yupitera i Saturna ravny primerno 13 km/s i 9,5 km/s, sootvetstvenno komponenty skorosti dvizheniya centra Solnca, vyzyvaemye etimi planetami, sostavlyayut $ 13/1047\approx 0,012\ \textrm{km/s}$, $ 9,5/3498\approx 0,003\ \textrm{km/s}$.

<< 3.10.1. Zakony Keplera | Oglavlenie | 4. Sistemy koordinat na >>

Publikacii s klyuchevymi slovami: astrometriya - sfericheskaya astronomiya - sistemy koordinat - shkaly vremeni
Publikacii so slovami: astrometriya - sfericheskaya astronomiya - sistemy koordinat - shkaly vremeni
Sm. takzhe:
Vse publikacii na tu zhe temu >>

Mneniya chitatelei [13]
Ocenka: 3.5 [golosov: 304]
 
O reitinge
Versiya dlya pechati Raspechatat'

Astrometriya - Astronomicheskie instrumenty - Astronomicheskoe obrazovanie - Astrofizika - Istoriya astronomii - Kosmonavtika, issledovanie kosmosa - Lyubitel'skaya astronomiya - Planety i Solnechnaya sistema - Solnce

Astronet | Nauchnaya set' | GAISh MGU | Poisk po MGU | O proekte | Avtoram

Kommentarii, voprosy? Pishite: info@astronet.ru ili syuda

Rambler's Top100 Yandeks citirovaniya