Rambler's Top100Astronet    
  po tekstam   po klyuchevym slovam   v glossarii   po saitam   perevod   po katalogu 		 

Na pervuyu stranicu << 2.1. Osnovnye ponyatiya | Oglavlenie | 2.3. Sfericheskaya sistema koordinat >>


2.2. Skalyary, vektory, tenzory i sistemy koordinat

Prezhde chem vyvodit' osnovnye formuly sfericheskoi geometrii, rassmotrim bolee obshii vopros: ob opredelenii skalyarnyh, vektornyh velichin, tenzorov v matematike i fizike i ih svyazi s sistemami koordinat.

Mnogie fizicheskie zakony v vektornoi forme imeyut vid:

$\displaystyle \textbf{a}=\lambda\textbf{b},$ (2.1)

t.e. vektor $ \textbf{a}$ proporcionalen s koefficientom $ \lambda$ vektoru $ \textbf{b}$. V kachestve primera mozhno privesti zakon N'yutona: $ \textbf{F}=m\textbf{a}$ -- uskorenie $ \textbf{a}$ tela proporcional'no deistvuyushei na nego sile $ \textbf{F}$. Koefficient proporcional'nosti raven masse $ m$ tela. Soglasno zakonu (2.1) vektor $ \textbf{a}$ parallelen, esli $ \lambda \gt 0$, ili antiparallelen, esli $ \lambda \lt 0$, vektoru $ \textbf{b}$.

Vvedem sistemu koordinat s nachalom v tochke $ O$ i osyami $ Ox, Oy, Oz$. Napravleniya osei zadayutsya vektorami $ \textbf{i}, \textbf{j}, \textbf{k}$, sootvetstvenno, prichem dlina kazhdogo vektora schitaetsya ravnoi edinice. Poetomu oni nazyvayutsya edinichnymi vektorami. Sistema koordinat $ Oxyz$ yavlyaetsya pryamougol'noi (dekartovoi), esli vektory $ \textbf{i}, \textbf{j}, \textbf{k}$ vzaimno perpendikulyarny.

Opredelenie 2.2.1   Skalyarnym proizvedeniem $ {\bf a}\cdot {\bf b}$ dvuh vektorov $ {\bf a}$ i $ {\bf b}$ nazyvaetsya skalyar, ravnyi proizvedeniyu modulei vektorov na kosinus ugla $ \gamma$ mezhdu vektorami:

$\displaystyle c={\bf a}\cdot {\bf b}= \vert{\bf a}\vert\cdot \vert{\bf b}\vert\cos\gamma.$ (2.2)

Skalyarnoe proizvedenie vektorov oboznachaetsya tochkoi $ (\cdot)$ i yavlyaetsya skalyarom, t.e. velichinoi, kazhdoe znachenie kotoroi mozhet byt' vyrazheno chislom. Skalyarami, naprimer, yavlyayutsya massa, temperatura, davlenie, dlina i t.d.

Pust' v sisteme $ Oxyz$ vektory $ \textbf{a}$, $ \textbf{b}$ imeyut komponenty (dekartovy koordinaty) $ a_1,a_2,a_3$ i $ b_1,b_2,b_3$, prichem $ a_1,b_1$ -- eto proekcii vektorov na os' $ Ox$, $ a_2,b_2$ -- na os' $ Oy$, $ a_3,b_3$ -- na os' $ Oz$. Togda moduli vektorov $ \bf a$ i $ {\bf b}$ ravny

$\displaystyle a=\vert{\bf a}\vert=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}, \quad b=\vert{\bf b}\vert=\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}.$ (2.3)

Iz svoistv skalyarnogo proizvedeniya vydelim sleduyushie:

$\displaystyle {\bf a}\cdot {\bf b}={\bf b}\cdot {\bf a},\quad {\bf a}\cdot ({\bf b}+{\bf c})={\bf a}\cdot {\bf b}+{\bf a}\cdot {\bf c},\quad (\beta{\bf a})\cdot {\bf b}=\beta({\bf a}\cdot {\bf b}),$ (2.4)

gde $ \beta$ -- skalyar.

Iz opredeleniya skalyarnogo proizvedeniya sleduet, chto ono ravno proizvedeniyu modulya odnogo vektora na velichinu proekcii drugogo vektora na pervyi. Pust' $ \varphi_1,\varphi_2,\varphi_3$ -- ugly mezhdu vektorom i osyami sistemy koordinat (edinichnymi vektorami $ \textbf{i}, \textbf{j}, \textbf{k}$), sootvetstvenno. Ispol'zuya opredelenie skalyarnogo proizvedeniya, nahodim, chto proekcii vektora $ \bf a$ na osi sistemy koordinat $ Oxyz$ ravny

$\displaystyle a_1=\vert{\bf a}\vert\cos\varphi_1,\quad a_2=\vert{\bf a}\vert\cos\varphi_2,\quad a_3=\vert{\bf a}\vert\cos\varphi_3. $

Kosinusy uglov mezhdu vektorom i osyami sistemy koordinat nazyvayutsya napravlyayushimi kosinusami. Ispol'zuya opredelenie modulya vektora (2.3), poluchim, chto summa kvadratov napravlyayushih kosinusov ravna edinice:

$\displaystyle \cos^2\varphi_1+\cos^2\varphi_2+\cos^2\varphi_3=1. $

Tak kak $ \vert{\bf i}\vert=\vert{\bf j}\vert=\vert{\bf k}\vert=1$, to proekcii vektora na osi koordinat ravny takzhe:

$\displaystyle a_1={\bf a}\cdot {\bf i},\quad a_2={\bf a}\cdot {\bf j},\quad a_3={\bf a}\cdot {\bf k}. $

Esli v formule (2.2) $ \gamma=90^\circ$, to $ c=0$. Znachit dva vektora perpendikulyarny togda i tol'ko togda, kogda ih skalyarnoe proizvedenie ravno nulyu. Ispol'zuya eto svoistvo, poluchim:

$\displaystyle \quad {\bf i}\cdot {\bf j}= {\bf j}\cdot {\bf k}= {\bf i}\cdot {\bf k}=0. $

Tak kak vektory $ \textbf{i}, \textbf{j}, \textbf{k}$ imeyut edinichnuyu dlinu, to

$\displaystyle {\bf i}\cdot {\bf i}= {\bf j}\cdot {\bf j}= {\bf k}\cdot {\bf k}=1. $

Vektor $ \bf a$ mozhet byt' vyrazhen cherez komponenty $ a_1,a_2,a_3$ sleduyushim obrazom:

$\displaystyle {\bf a} =a_1{\bf i}+ a_2{\bf j}+a_3{\bf k}.$ (2.5)

V lineinoi algebre vyrazhenie (2.5) nazyvaetsya razlozheniem vektora $ \bf a$ po bazisnym vektoram $ {\bf i},{\bf j},{\bf k}$. Togda skalyarnoe proizvedenie v dekartovyh koordinatah imeet vid:

$\displaystyle {\bf a}\cdot {\bf b}= (a_1{\bf i}+ a_2{\bf j}+a_3{\bf k}) (b_1{\bf i}+ b_2{\bf j}+b_3{\bf k})=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.$ (2.6)

Tak kak v dal'neishem my budem ispol'zovat' matrichnye metody vychislenii, to sleduet ispol'zovat' bolee obshee opredelenie skalyarnogo proizvedeniya. Opredelim matricu $ C$ kak tablicu

$\displaystyle C=\begin{pmatrix}c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1n}\\ c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ c_{m1} & c_{m2} & \ldots & c_{mn}\end{pmatrix}$

skalyarov $ c_{ij}, i=1,2,\ldots, m, j=1,2,\ldots, n$. Elementy $ c_{ij}$ nazyvayutsya elementami pryamougol'noi matricy $ C$ razmerom $ m\times n$, $ m$ est' chislo strok, $ n$ -- chislo stolbcov matricy. Matrica razmera $ m\times 1$ nazyvaetsya vektor-stolbcom, a matrica razmera $ 1\times m$ -- vektor-strokoi; chislo $ m$ nazyvaetsya razmernost'yu vektora.

Soglasno opredeleniyu, proizvedenie matricy $ A$ razmera $ m\times n$ na matricu $ B$ razmera $ n\times k$ est' matrica $ C$ razmera $ m\times k$, prichem elementy matricy $ C$ opredelyayutsya formuloi:

$\displaystyle c_{ij}=\sum\limits_{l=1}^n a_{il}b_{lj}. $

Element $ c_{ij}$ matricy $ C$ yavlyaetsya summoi proizvedenii elementov $ i$-oi stroki matricy $ A$ na elementy $ j$-ogo stolbca matricy $ B$. Chislo stolbcov matricy $ A$ dolzhno ravnyat'sya chislu strok matricy $ B$. Poetomu obratnoe proizvedenie $ BA$ mozhet ne sushestvovat'. Esli obe matricy kvadratnye $ (m=n)$, to proizvedenie $ BA$ opredeleno, no, voobshe govorya $ BA\neq AB$.

Ishodya iz etogo opredeleniya poluchim, chto skalyarnoe proizvedenie ravno proizvedeniyu vektor-stroki na vektor-stolbec, i (2.6) mozhno zapisat' v vide:

$\displaystyle {\bf a}\cdot {\bf b}=\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3. $

Obratnoe proizvedenie $ {\bf b}\cdot {\bf a}$ (proizvedenie vektor-stolbca na vektor-stroku) yavlyaetsya matricei. Chtoby svoistva skalyarnogo proizvedeniya ne izmenilis', sootnosheniya (2.4) sleduet perepisat' s uchetom formul slozheniya i umnozheniya matric. V chastnosti, esli simvolom $ ^T$ oboznachit' operaciyu transponirovaniya, to $ (AB)^T=B^TA^T$. Napomnim, chto matrica $ C^T$ razmera $ k\times n$ s elementami $ c_{ji}$ nazyvaetsya transponirovannoi po otnosheniyu k matrice $ C$ razmera $ n\times k$ s elementami $ c_{ij}$, t.e. stroki i stolbcy menyayutsya mestami. Togda s uchetom opredeleniya operacii transponirovaniya skalyarnoe proizvedenie zapisyvaetsya v vide

$\displaystyle {\bf a}\cdot {\bf b}=({\bf a}\cdot {\bf b})^T={\bf b}^T\cdot {\bf a}^T=\begin{pmatrix}b_1 & b_2 & b_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3. $

Vernemsya k svoistvu (2.1). V bolee obshem vide ego mozhno zapisat' v vide:

$\displaystyle \mathbf{a}=\Lambda\mathbf{b},$ (2.7)

gde $ \Lambda $ -- matrica razmerom $ 3\times 3$:

$\displaystyle \Lambda=\begin{pmatrix}\Lambda_{11}&\Lambda_{12}&\Lambda_{13}\\ \Lambda_{21}&\Lambda_{22}&\Lambda_{23}\\ \Lambda_{31}&\Lambda_{32}&\Lambda_{33}\end{pmatrix},$ (2.8)

prichem $ \Lambda_{11}=\Lambda_{22}=\Lambda_{33}=\lambda$, a ostal'nye elementy matricy $ \Lambda $ ravny nulyu, t.e. $ {\bf a}=\lambda I{\bf b}$, $ I$ -- edinichnaya matrica, u kotoroi diagonal'nye elementy ravny edinice, ostal'nye elementy ravny nulyu. V uravnenii (2.7) vektory $ {\bf a},{\bf b}$ zapisany v vide stolbcov.

V dekartovoi sisteme koordinat $ Oxyz$ komponenty vektorov $ \bf a$ i $ \bf b$ strogo proporcional'ny:

$\displaystyle a_1 =\lambda b_1,\quad a_2 =\lambda b_2,\quad a_3 =\lambda b_3.$ (2.9)

V obshem vide, kogda diagonal'nye elementy $ \Lambda_{ii}, i=1,2,3$ ne ravny drug drugu ili nediagonal'nye elementy $ \Lambda_{ij}, i\neq j$ otlichny ot nulya, zavisimost' komponent vektora $ \bf a$ ot komponent vektora $ \bf b$ vyrazhaetsya vmesto (2.9) sistemoi uravnenii:

$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =\Lambda_{11} b_1+\Lambda_{12} b_2+\Lambda_{13} b_3,$    
$\displaystyle a_2$ $\displaystyle =\Lambda_{21} b_1+\Lambda_{22} b_2+\Lambda_{23} b_3,$ (10)
$\displaystyle a_3$ $\displaystyle =\Lambda_{31} b_1+\Lambda_{32} b_2+\Lambda_{33} b_3.$    

Eto oznachaet, chto fizicheskii zakon ne mozhet byt' opisan prostym uravneniem vida (2.1). Komponenty vektora $ \bf a$ zavisyat ot komponent vektora $ \bf b$, no vektory uzhe ne parallel'ny. Velichina $ \Lambda $, vhodyashaya v fizicheskii zakon (2.7) i opisyvaemaya matricei (2.8), nazyvaetsya tenzorom2.1. Tem ne menee v prostranstve mozhno vydelit' napravleniya, vdol' kotoryh vektory ostayutsya parallel'nymi, t.e. vdol' nih, po-prezhnemu, $ {\bf a}=\lambda{\bf b}$. Eti napravleniya igrayut ochen' vazhnuyu rol' i v fizike, i v matematike. Pered opredeleniem etih napravlenii rassmotrim sleduyushii primer.

Pust' modul' vektora $ {\bf b}$ raven 2, vektor lezhit v ploskosti $ Oxy$, i ugol mezhdu vektorom i os'yu $ Ox$ raven $ \varphi$. Togda proekcii $ b_1,b_2$ na osi $ Ox,Oy$ ravny:

$\displaystyle \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix}\cos\varphi \\ \sin\varphi \end{pmatrix}. $

Pust' tenzor $ \Lambda $ imeet vid:

$\displaystyle \Lambda = \begin{pmatrix} 2 & 0,3 \\ 0,3 & 1 \end{pmatrix}. $

Zametim, chto tenzor $ \Lambda $ yavlyaetsya simmetrichnym, t.e. $ \Lambda_{ij}=\Lambda_{ji}$.

Ispol'zuya pravila umnozheniya matricy na stolbec, naidem komponenty vektora $ \textbf{a}$ po formule:

$\displaystyle \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} =2 \begin{pmatrix}2 & 0,3 \\ 0,3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\varphi \\ \sin\varphi \end{pmatrix}$

dlya raznyh znachenii ugla $ \varphi$. Rezul'tat vychislenii pokazan na ris. 2.4.

Ris. 2.4. K opredeleniyu tenzora $ \Lambda $. Vektor $ {\bf a}$ (pokazan zhirnoi liniei) vychislyaetsya kak rezul'tat umnozheniya tenzora $ \Lambda $ na vektor $ {\bf b}$ (pokazan tonkoi liniei) dlya raznyh orientacii $ {\bf b}$. Sushestvuyut dva napravleniya (pod uglom $ \sim 15^\circ $ i $ \sim 105^\circ $ k osi $ Ox$), vdol' kotoryh vektory $ {\bf a}$ i $ {\bf b}$ parallel'ny.

Iz ris. 2.4 vidno, chto pri naklone vektora $ {\bf b}$ pod uglami $ \sim 15^\circ $, $ \sim 105^\circ $, $ \sim 195^\circ$ i $ \sim 285^\circ$ k osi $ Ox$ vektor $ {\bf a}$ budet parallelen vektoru $ {\bf b}$.

Opredelim teper' eti napravleniya sleduyushim obrazom.

Trebovanie proporcional'nosti vektorov, nakladyvaemoe fizicheskim zakonom, privodit k uravneniyu:

$\displaystyle {\bf a}=\lambda{\bf b}=\lambda I{\bf b}=\Lambda{\bf b} $

ili

$\displaystyle (\Lambda - \lambda I){\bf b}=0.$ (2.11)

Parametry $ \lambda$, vhodyashie v (2.11), nazyvayutsya sobstvennymi znacheniyami matricy $ \Lambda $. Kak my pokazhem nizhe, sobstvennye znacheniya harakterizuyut napravleniya osei sistemy koordinat, v kotoryh komponenty vektorov $ \bf a$ i $ \bf b$ parallel'ny.

Ochevidno, chto sistema (2.11) imeet reshenie $ {\bf b}=0$, kotoroe ne daet nam nikakoi informacii. Chtoby sistema (2.11) imela netrivial'noe reshenie, determinant matricy $ M=\Lambda - \lambda I$ dolzhen ravnyat'sya nulyu:

$\displaystyle \textrm{det}M=0.$ (2.12)

Uravnenie (2.12) yavlyaetsya polinomom otnositel'no parametra $ \lambda$. Izvestno, chto kornyami polinoma mogut byt' kak deistvitel'nye, tak i kompleksnye chisla. No s fizicheskoi tochki zreniya parametry $ \lambda$ dolzhny byt' deistvitel'nymi chislami. Eto uslovie nakladyvaet opredelennye trebovaniya na velichiny nediagonal'nyh elementov matricy $ \Lambda $. Proshe vsego eto pokazat' dlya matricy $ \Lambda $ razmerom $ 2\times 2$, t.e. dlya dvuhmernyh vektorov $ \bf a$ i $ \bf b$. Tak kak determinant matricy $ M$ raven

$\displaystyle \textrm{det}M=(\Lambda_{11}-\lambda)(\Lambda_{22}-\lambda)-\Lambda_{12}\Lambda_{21}=0, $

to iz usloviya real'nosti kornei etogo uravneniya

$\displaystyle (\Lambda_{11}-\Lambda_{22})^2+4\Lambda_{12}\Lambda_{21}\geq 0 $

sleduet, chto $ \Lambda_{12}=\Lambda_{21}$. Znachit, matrica $ \Lambda $ dolzhna byt' simmetrichnoi $ (\Lambda_{ij}=\Lambda_{ji})$.

Esli sobstvennye znacheniya naideny (oboznachim ih kak $ \lambda_j$), to imeem:

$\displaystyle (\Lambda-\lambda_jI){\bf b}^{(j)}=0.$ (2.13)

Kazhdomu sobstvennomu znacheniyu $ \lambda_j$ matricy $ \Lambda $ sootvetstvuet sobstvennyi vektor $ {\bf b}^{(j)}$ matricy. Dlya dvuhmernyh vektorov legko vychislit', chto

\begin{displaymath} \begin{cases}&(\Lambda_{11}-\lambda_1)b_1^{(1)}+\Lambda_{12}b_2^{(1)}=0,\\ &\Lambda_{12}b_1^{(1)}+(\Lambda_{22}-\lambda_1)b_2^{(1)}=0, \end{cases}\qquad \begin{cases}&(\Lambda_{11}-\lambda_2)b_1^{(2)}+\Lambda_{12}b_2^{(2)}=0,\\ &\Lambda_{12}b_1^{(2)}+(\Lambda_{22}-\lambda_2)b_2^{(2)}=0. \end{cases}\end{displaymath}

Tak kak $ \textrm{det}M=0$, to, kak govoryat, stroki matricy $ M$ lineino zavisimy. Poetomu komponenty sobstvennyh vektorov mozhno naiti lish' s tochnost'yu do proizvol'noi postoyannoi. Iz pervyh uravnenii etih sistem poluchim:

$\displaystyle \frac{b_1^{(1)}}{b_2^{(1)}}=-\frac{\Lambda_{12}}{\Lambda_{11}-\lambda_1},\qquad \frac{b_1^{(2)}}{b_2^{(2)}}=-\frac{\Lambda_{12}}{\Lambda_{11}-\lambda_2}. $

Esli sobstvennye znacheniya razlichny, to sobstvennye vektory vzaimno perpendikulyarny. V samom dele, sobstvennye vektory s nomerami $ m$ i $ n$ udovletvoryayut uravneniyu (2.13), t.e.:

$\displaystyle \Lambda{\bf b}^{(m)}$ $\displaystyle =\lambda_m{\bf b}^{(m)},$    
$\displaystyle \Lambda{\bf b}^{(n)}$ $\displaystyle =\lambda_n{\bf b}^{(n)}.$    

Umnozhim pervoe uravnenie skalyarno na vektor-stroku $ ({\bf b}^{(n)})^T$, a vtoroe -- na vektor-stroku $ ({\bf b}^{(m)})^T$, i zatem vychtem odno iz drugogo. Poluchim

$\displaystyle ({\bf b}^{(n)})^T \Lambda {\bf b}^{(m)}-({\bf b}^{(m)})^T \Lambda {\bf b}^{(n)}= ({\bf b}^{(n)})^T \lambda_m {\bf b}^{(m)}- ({\bf b}^{(m)})^T \lambda_n {\bf b}^{(n)}.$ (2.14)

Legko proverit', chto esli matrica $ \Lambda $ simmetrichna, to levaya chast' (2.14) ravna nulyu. Ispol'zuya opredeleniya transponirovaniya i svoistva skalyarnogo proizvedeniya, poluchim

$\displaystyle ({\bf b}^{(n)})^T \lambda_m {\bf b}^{(m)}- ({\bf b}^{(m)})^T \lambda_n {\bf b}^{(n)}= \lambda_m\Bigl(({\bf b}^{(m)})^T\cdot{\bf b}^{(n)}\Bigr)^T-\lambda_n({\bf b}^{(m)})^T\cdot {\bf b}^{(n)}. $

No

$\displaystyle \Bigl(({\bf b}^{(m)})^T\cdot{\bf b}^{(n)}\Bigr)^T=({\bf b}^{(m)})^T\cdot{\bf b}^{(n)}, $

(chislo ravno samomu sebe) i v rezul'tate imeem

$\displaystyle (\lambda_m-\lambda_n)({\bf b}^{(m)})^T\cdot{\bf b}^{(n)}=0.$ (2.15)

Tak kak $ \lambda_m\neq\lambda_n$, to iz opredeleniya skalyarnogo proizvedeniya sleduet perpendikulyarnost' sobstvennyh vektorov $ {\bf b}^{(m)},{\bf b}^{(n)}$.

V trehmernom prostranstve tri sobstvennyh vektora opredelyayut tri vzaimno-perpendikulyarnyh napravleniya, kotorye mozhno vybrat' v kachestve osei dekartovoi sistemy koordinat. Oni nazyvayutsya glavnymi osyami tenzora $ \Lambda $. Vdol' glavnyh osei vektory $ \bf a$ i $ \bf b$ parallel'ny. Diagonal'nye elementy tenzora v sisteme glavnyh osei nazyvayutsya glavnymi momentami tenzora, i primenitel'no k kazhdoi konkretnoi zadache imeyut osoboe znachenie.

Na ris. 2.4 glavnye osi tenzora $ \Lambda $ pokazany punktirnoi liniei. V sisteme glavnyh osei nediagonal'nye komponenty tenzora ravny nulyu. Eto legko pokazat', ispol'zuya primer, rassmotrennyi vyshe. Sobstvennye znacheniya matricy $ \Lambda $ ravny $ \lambda_1=2,08, \lambda_2=0,92$. Komponenty sobstvennyh vektorov mogut byt' naideny s tochnost'yu do proizvol'noi postoyannoi: $ b_1^{(1)}=3,75b_2^{(1)}$, $ b_1^{(2)}=-0,28b_2^{(2)}$. Otsyuda poluchim, chto ugol $ \varphi$ mezhdu vektorom $ {\bf b}^{(1)}$ i os'yu $ Ox$ raven $ 14\hbox{$^{\circ}$\kern-.15cm{,}\kern.04cm}9$, a mezhdu vektorom $ {\bf b}^{(2)}$ i os'yu $ Ox$ raven $ 104\hbox{$^{\circ}$\kern-.15cm{,}\kern.04cm}9$. Opredelim teper' osi novoi sistemy koordinat $ O\xi$, $ O\eta$, napraviv ih vdol' vektorov $ {\bf b}^{(1)}$, $ {\bf b}^{(2)}$, sootvetstvenno. Preobrazovanie ot koordinat $ \xi,\eta$ k koordinatam $ x,y$, kak budet pokazano nizhe, mozhno zapisat' v vide matrichnogo uravneniya:

$\displaystyle \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = R_3(-\varphi) \begin{pmatrix}\xi \\ \eta \end{pmatrix}, $

gde $ R_3(-\varphi)$ - matrica vrasheniya (sm. razdel 3.5). Dlya rassmatrivaemogo primera matrica $ R_3(-\varphi)$ ravna:

$\displaystyle R_3(-\varphi)= \begin{pmatrix} 0,966 & -0,258 \\ 0,258 & 0,966 \end{pmatrix}. $

Formula preobrazovaniya komponent tenzora $ \Lambda $ pri perehode ot koordinat $ x,y$ k $ \xi,\eta$ imeet vid:

$\displaystyle \Lambda'_{in}=\sum_{k=1}^2\sum_{j=1}^2\Lambda_{kj}R_{ki}R_{jn}, $

gde $ R_{ki}$ -- komponenty matricy $ R_3(-\varphi)$. Vypolniv summirovanie, naidem komponenty tenzora $ \Lambda'$ v sisteme glavnyh osei:

$\displaystyle \Lambda'= \begin{pmatrix} 1,933 & 0,000 \\ 0,000 & 0,916 \end{pmatrix}. $

V glave 4 my rassmotrim sistemy koordinat, svyazannye s Zemlei. Osoboe znachenie imeet sistema koordinat, opredelyaemaya glavnymi momentami inercii Zemli ili osyami figury Zemli.

Uslovie ravenstva nulyu skalyarnogo proizvedeniya opredelyaet perpendikulyarnost' vektorov, no ne zavisit ot ih vzaimnoi orientacii. Tak, esli edinichnye vektory $ {\bf i},{\bf j}$ dekartovoi sistemy koordinat lezhat v ploskosti stranicy, to tretii vektor $ \bf k$, perpendikulyarnyi i $ \bf i$, i $ \bf j$, mozhet byt' napravlen libo vverh, libo vniz. V zavisimosti ot napravleniya $ \bf k$ sistema koordinat nazyvaetsya levoi ili pravoi.

Vybrat' tu ili inuyu sistemu koordinat mozhno s pomosh'yu vektornogo proizvedeniya vektorov.

Opredelenie 2.2.2   Vektornoe proizvedenie $ {\bf a}\times {\bf b}$ dvuh vektorov est' vektor, perpendikulyarnyi i $ {\bf a}$, i $ {\bf b}$, modul' kotorogo raven

$\displaystyle \vert{\bf a}\times {\bf b}\vert= \vert{\bf a}\vert\cdot \vert{\bf b}\vert\sin\gamma,$ (2.16)

a ego napravlenie sovpadaet s napravleniem dvizheniya pravogo vinta pri ego povorote ot $ {\bf a}$ k $ {\bf b}$ na ugol $ \gamma$, men'shii $ \pi$.

Esli $ \sin\gamma =0$, to vektory $ {\bf a}$ i $ {\bf b}$ parallel'ny (ili antiparallel'ny). V pryamougol'noi sisteme koordinat poluchim:

$\displaystyle {\bf i}\times {\bf i}= {\bf j}\times {\bf j}= {\bf k}\times {\bf k}=0,\quad {\bf i}\times {\bf j}={\bf k},\quad {\bf j}\times {\bf k}={\bf i},\quad {\bf k}\times {\bf i}={\bf j}. $

Komponenty vektora, ravnogo vektornomu proizvedeniyu $ {\bf a}\times {\bf b}$, v dekartovoi sisteme koordinat mozhno naiti, vychisliv sleduyushii opredelitel':

$\displaystyle {\bf a}\times {\bf b}= \begin{vmatrix}{\bf i}& {\bf j}& {\bf k}\\ a_1& a_2& a_3 \\ b_1& b_2& b_3 \end{vmatrix} = (a_2b_3-a_3b_2){\bf i}+(a_3b_1-a_1b_3){\bf j}+(a_1b_2-a_2b_1){\bf k}.$ (2.17)

Neposredstvennoi podstanovkoi mozhno ubedit'sya, chto $ {\bf a}\times {\bf b}= -{\bf b}\times {\bf a}$. Iz drugih svoistv vektornogo proizvedeniya vydelim sleduyushie:

$\displaystyle {\bf a}\times ({\bf b}+{\bf c})={\bf a}\times {\bf b}+{\bf a}\times {\bf c}, (\beta{\bf a})\times {\bf b}=\beta({\bf a}\times {\bf b}), $

$ \beta$ -- skalyar. Osobo vydelim formulu dvoinogo vektornogo proizvedeniya:

$\displaystyle {\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})= {\bf b}({\bf a}\cdot {\bf c})-{\bf c}({\bf a}\cdot {\bf b}),$ (2.18)

kotoraya chasto budet ispol'zovat'sya v dal'neishem izlozhenii kursa.

S pomosh'yu opredeleniya vektornogo proizvedeniya mozhno odnoznachno opredelit' orientaciyu bazisnoi troiki vektorov. My budem ispol'zovat' tol'ko pravye sistemy koordinat (isklyucheniem yavlyaetsya gorizontal'naya sistema).

Vernemsya teper' k zakonu (2.7):

$\displaystyle {\bf a}=\Lambda{\bf b}, $

prichem polozhim, chto matrica $ \Lambda $ ravna:

$\displaystyle \Lambda=\begin{pmatrix}0 & -c_3 & c_2 \\ c_3 & 0 & -c_1 \\ -c_2 & c_1 & 0 \end{pmatrix}.$ (2.19)

Togda

$\displaystyle a_1=c_2b_3-c_3b_2,\quad a_2=-c_1b_3+c_3b_1,\quad a_3=c_1b_2-c_2b_1. $

Netrudno proverit', chto umnozhenie matricy $ \Lambda $ (2.19) na vektor $ \bf b$ ekvivalentno vektornomu proizvedeniyu: $ {\bf a}={\bf c}\times{\bf b}$, gde vektor $ \bf c$ imeet komponenty $ (c_1,c_2,c_3)$.

Tak kak v (2.19) $ \Lambda_{ij}=-\Lambda_{ji}$, to matrica $ \Lambda $ nazyvaetsya antisimmetrichnoi. Sootvetstvenno, tenzor, izobrazhaemyi matricei (2.19), nazyvaetsya antisimmetrichnym.

Summiruem vysheskazannoe. Opredelenie sistemy koordinat oznachaet vybor troiki bazisnyh vektorov, kotorye: opisyvayut 1) orientaciyu sistemy v prostranstve, a takzhe pozvolyayut 2) odnoznachno opredelit' polozhenie ob'ekta otnositel'no osei sistemy.

Mozhno opredelit' raznye sistemy koordinat v zavisimosti ot reshaemoi zadachi. Vybor v kachestve sistemy koordinat dekartovoi sistemy opredelyaetsya sleduyushimi svoistvami etoi sistemy: osi, zadavaemye troikoi bazisnyh vektorov $ {\bf i},{\bf j},{\bf k}$, yavlyayutsya vzaimno-perpendikulyarnymi, napravlenie osei neizmenno dlya lyuboi tochki prostranstva, osi yavlyayutsya pryamymi liniyami.

V dekartovoi sisteme koordinat zakon proporcional'nosti mezhdu dvumya vektorami, zapisannyi v vide (2.7): $ {\bf a}=\Lambda{\bf b}$, uproshaetsya, tak kak tenzor $ \Lambda $ yavlyaetsya kvadratnoi matricei s osobymi svoistvami. Esli matrica $ \Lambda $ simmetrichna, to sushestvuyut vydelennye v prostranstve napravleniya, v kotoryh vektory $ \bf a$ i $ \bf b$ parallel'ny. Podcherknem, chto eto -- matematicheskaya interpretaciya zakona (2.7). S fizicheskoi tochki zreniya i vektory $ \bf a$, $ \bf b$, i tenzor $ \Lambda $ otrazhayut vpolne opredelennye svoistva fizicheskogo tela, i, sledovatel'no, sushestvovanie glavnyh osei tenzora otrazhaet fizicheskie harakteristiki tela.

Esli matrica $ \Lambda $ antisimmetrichna, to eto oznachaet, chto vektory $ \bf a$ i $ \bf b$ vsegda perpendikulyarny, i s matematicheskoi tochki zreniya deistvie takogo tenzora ekvivalentno vektornomu proizvedeniyu.


<< 2.1. Osnovnye ponyatiya | Oglavlenie | 2.3. Sfericheskaya sistema koordinat >>

Publikacii s klyuchevymi slovami: astrometriya - sfericheskaya astronomiya - sistemy koordinat - shkaly vremeni
Publikacii so slovami: astrometriya - sfericheskaya astronomiya - sistemy koordinat - shkaly vremeni
Sm. takzhe:
Vse publikacii na tu zhe temu >>

Mneniya chitatelei [13]
Ocenka: 3.5 [golosov: 304]
 
O reitinge
Versiya dlya pechati Raspechatat'

Astrometriya - Astronomicheskie instrumenty - Astronomicheskoe obrazovanie - Astrofizika - Istoriya astronomii - Kosmonavtika, issledovanie kosmosa - Lyubitel'skaya astronomiya - Planety i Solnechnaya sistema - Solnce

Astronet | Nauchnaya set' | GAISh MGU | Poisk po MGU | O proekte | Avtoram

Kommentarii, voprosy? Pishite: info@astronet.ru ili syuda

Rambler's Top100 Yandeks citirovaniya