<< Oglavlenie |
Vvedenie
Izuchenie evolyucii planetnyh sistem, i prezhde vsego Solnechnoi, predstavlyaet soboi odnu iz fundamental'nyh zadach nebesnoi mehaniki.
Vplot' do serediny XX veka issledovanie zadachi ob evolyucii planetnyh sistem, i prezhde vsego Solnechnoi, provodilos' analiticheskimi metodami, kotorye pokazali ustoichivost' planetnyh sistem tipa Solnechnoi pri i vysokuyu veroyatnost' ustoichivosti pri . Vremena poryadka ne rassmatrivalis'.
S semidesyatyh godov na pomosh' analitike prihodyat chislennye metody. Shag integrirovaniya proporcionalen naimen'shemu iz periodov obrasheniya prinyatyh vo vnimanie planet. Poetomu na vremenah poryadka vozrasta Solnechnoi sistemy (let) issledovana tol'ko sistema planet-gigantov i Plutona, okazyvayushayasya dostatochno ustoichivoi. Chto kasaetsya vsei sistemy ot Merkuriya do Plutona, to ee rassmotrenie trebuet na dva poryadka bol'she mashinnogo vremeni. Poetomu rezul'taty polucheny lish' dlya let i pokazali bol'shuyu izmenchivost' orbit vnutrennih planet po sravneniyu s vneshnimi.
V vos'midesyatye gody proshlogo veka rabotami Zh.Laskara otkryvaetsya novyi period primeneniya analiticheskih metodov v zadache ob evolyucii Solnechnoi sistemy. Imenno Laskar privodit uravneniya dvizheniya k vidu, ne soderzhashemu bystryh uglov. Gamil'tonian v novyh peremennyh naiden analiticheski. Poskol'ku shag zdes' mozhet byt' vybran poryadka 250 let, udalos' prodlit' interval integrirovaniya do desyatkov milliardov let. Podtverzhdena ustoichivost' orbit planet-gigantov. No planety zemnoi gruppy okazyvayutsya na granice ustoichivosti, a ustoichivost' orbity Merkuriya i vovse pod voprosom [5].
Rezul'taty, poluchennye Laskarom, trebuyut proverki i utochneniya. Poetomu zadacha ob evolyucii orbit planet reshaetsya v nastoyashee vremya s ispol'zovaniem drugih analiticheskih i chislennyh metodov.
V nastoyashei rabote byla postavlena zadacha: vypolnit' chislennoe integrirovanie sistemy v srednih elementah i issledovat' svoistva poluchaemogo resheniya. Dlya integrirovaniya sistemy ispol'zovalsya metod Runge-Kutty 9-go i 11-go poryadkov. Dlya nego (na osnove podprogrammy-integratora, razrabotannoi V.M.Danilovym) byla napisana programma, vychislyayushaya znacheniya srednih elementov s zadannym shagom integrirovaniya. Provedeno issledovanie samogo integratora: vybran nailuchshii shag integrirovaniya i ocenena ego tochnost'. Issledovany evolyucii orbit Yupitera i Saturna na dlitel'nyh intervalah vremeni (poryadka vozrasta Solnechnoi sistemy).
Ustoichivost' v nebesnoi mehanike
Voprosy, kasayushiesya ustoichivosti planetnyh sistem, i prezhde vsego Solnechnoi, yavlyayutsya naibolee vazhnymi v nebesnoi mehanike. Do otkrytiya zakona vsemirnogo tyagoteniya vopros ob ustoichivosti sistemy Mira reshalsya a priori. Snachala delalos' predpolozhenie o fundamental'nom svoistve Mira ustoichivost', haotichnost' i t.p. zatem sozdavalis' sistemy. Po svoei suti oni byli kinematicheskimi.
N'yuton pervym postroil dinamicheskuyu model' Solnechnoi sistemy i srazu zhe stolknulsya s voprosom o ee ustoichivosti. On vyshel iz etogo zatrudneniya s pomosh'yu Velikogo Chasovshika, kotoryi vremya ot vremeni dolzhen vozvrashat' planety na ih orbity.
V dal'neishem ponyatie ustoichivosti razvivalos' parallel'no s issledovaniyami dvizheniya planet. Lagranzh schital dvizhenie ustoichivym, esli ono proishodit v zamknutoi oblasti prostranstva. Soglasno teoreme Laplasa-Lagranzha (1773, 1776 gg.) ob otsutstvii vekovyh vozmushenii bol'shih poluosei planetnyh orbit, ih izmenenie s tochnost'yu do velichin pervogo poryadka malosti otnositel'no vozmushayushih mass mozhno predstavit' v vide summy trigonometricheskih slagaemyh. Na osnove etoi teoremy v 1773 g. Laplas sformuliroval teoremu ob ustoichivosti Solnechnoi sistemy: esli dvizhenie planet proishodit v odnom napravlenii, ih massy odnogo poryadka, ekscentrisitety i naklony maly, a bol'shie poluosi ispytyvayut lish' nebol'shie kolebaniya otnositel'no srednego polozheniya, to ekscentrisitety i naklony orbit budut ostavat'sya malymi na rassmatrivaemom intervale. Vyvod obnadezhivayushii. Odnako, v nastoyashee vremya eta teorema imeet tol'ko istoricheskii interes. Ona ne primenima na intervalah vremeni, sravnimyh s vozrastom Solnechnoi sistemy, poskol'ku uchityvaet vozmusheniya tol'ko pervogo poryadka. Krome togo, massy tel Solnechnoi sistemy razlichayutsya sushestvenno.
Naibolee udachnoe ponyatie ustoichivosti sformuliroval v konce XIX veka russkii matematik A.M.Lyapunov. Issleduemoe dvizhenie schitaetsya ustoichivym, esli vse vozmozhnye dvizheniya, malo otlichayushiesya ot nego v nachal'nyi moment, v posleduyushem budut malo otklonyat'sya ot nego na vsem interesuyushem intervale vremeni. Esli zhe naidetsya hotya by odno (!) dvizhenie, v nachal'nyi moment malo otlichayusheesya ot issleduemogo, kotoroe postepenno, pust' i cherez bol'shoi promezhutok vremeni, zametno otklonitsya ot nego, to issleduemoe dvizhenie neustoichivo. Eto opredelenie schitaetsya osnovnym po sei den'. Dlya analiza skorosti razbeganiya sosednih traektorii primenyayut special'nuyu harakteristiku, nazyvaemuyu vremenem Lyapunova. Ona opredelyaet promezhutok vremeni, v techenie kotorogo rasstoyanie mezhdu sosednimi traektoriyami uvelichivaetsya v e raz.
Krome togo, govorya ob ustoichivosti Solnechnoi sistemy, kak pravilo, imeyut v vidu ustoichivost' dvizheniya bol'shih planet na beskonechnom ili ochen' bol'shom, sravnimom s ee vozrastom, intervale vremeni. V etom sluchae krainimi proyavleniyami neustoichivosti yavlyayutsya uhod iz Solnechnoi sistemy, padenie na Solnce ili stolknovenie s drugoi planetoi. Takoe sobytie sposobno sushestvenno izmenit' strukturu i dinamiku Solnechnoi sistemy [1].
Issledovanie dinamiki Solnechnoi sistemy
Vplot' do serediny XX veka issledovanie zadachi ob evolyucii planetnyh sistem, i prezhde vsego Solnechnoi, provodilos' analiticheskimi metodami, kotorye pokazali ustoichivost' planetnyh sistem tipa Solnechnoi pri i vysokuyu veroyatnost' ustoichivosti pri . Vremena poryadka ne rassmatrivalis'.
S semidesyatyh godov na pomosh' analitike prihodyat chislennye metody. Shag integrirovaniya proporcionalen naimen'shemu iz periodov obrasheniya prinyatyh vo vnimanie planet. Poetomu na vremenah poryadka vozrasta Solnechnoi sistemy (let) issledovana tol'ko sistema planet-gigantov i Plutona, okazyvayushayasya dostatochno ustoichivoi. Chto kasaetsya vsei sistemy ot Merkuriya do Plutona, to ee rassmotrenie trebuet na dva poryadka bol'she mashinnogo vremeni. Poetomu rezul'taty polucheny lish' dlya let i pokazali bol'shuyu izmenchivost' orbit vnutrennih planet po sravneniyu s vneshnimi.
Takim obrazom, chislennye metody reshili vopros ob ustoichivosti dvizheniya planet-gigantov na kosmogonicheskih vremenah. No vopros ob evolyucii orbit zemnoi gruppy i proizvol'nyh planetnyh sistem ostalsya otkrytym.
V shestidesyatye gody HH veka analiticheskaya nebesnaya mehanika poluchila novye moshnye sredstva: KAM-teoriyu i metod preobrazovanii Hori-Depri. KAM-teoriya v prilozhenii k Solnechnoi sisteme daet sleduyushuyu teoremu: esli massy planet dostatochno maly, ekscentrisitety i naklony orbit maly, to dlya bol'shinstva nachal'nyh uslovii (isklyuchaya rezonansnye i blizkie k nim) dvizhenie budet uslovno-periodicheskim, ekscentrisitety i naklony budut ostavat'sya malymi, a bol'shie poluosi budut vechno kolebat'sya vblizi svoih pervonachal'nyh znachenii, to est' Solnechnaya sistema budet ustoichivoi po Lyapunovu na beskonechnom intervale vremeni.
Rezul'tat zamechatel'nyi! Odnako, s ochen' sushestvennoi ogovorkoi: pri uslovii otsutstviya rezonansov. K sozhaleniyu, v real'noi Solnechnoi sisteme rezonansy igrayut ochen' vazhnuyu rol'. Poetomu, vyvody KAM-teorii ne mogut byt' primeneny k Solnechnoi sisteme v celom na vsem intervale ee sushestvovaniya.
V vos'midesyatye gody proshlogo veka rabotami Zh.Laskara otkryvaetsya novyi period primeneniya analiticheskih metodov v zadache ob evolyucii Solnechnoi sistemy. Imenno Laskar privodit uravneniya dvizheniya k vidu, ne soderzhashemu bystryh uglov. Gamil'tonian v novyh peremennyh naiden analiticheski. Chislennoe integrirovanie sistemy v osrednennyh elementah provedeno s ispol'zovaniem metoda Adamsa 12-go poryadka. Poskol'ku shag zdes' mozhet byt' vybran poryadka 250 let, udalos' prodlit' interval integrirovaniya do desyatkov milliardov let. Podtverzhdena ustoichivost' orbit planet-gigantov. No planety zemnoi gruppy okazyvayutsya na granice ustoichivosti, a ustoichivost' orbity Merkuriya i vovse pod voprosom [5].
Dvuhplanetnaya zadacha
Rezul'taty, poluchennye Laskarom, trebuyut proverki i utochneniya. Krome togo, v 1999 g. byla otkryta pervaya vnesolnechnaya planetnaya sistema, i v svyazi s etim, hotelos' by postroit' apparat, s pomosh'yu kotorogo mozhno bylo by issledovat' povedenie proizvol'nyh planetnyh sistem. Poetomu zadacha ob evolyucii orbit planet reshaetsya v nastoyashee vremya s ispol'zovaniem analiticheskih i chislennyh metodov otlichnyh ot teh, kotorymi pol'zovalsya Laskar. V ramkah etoi zadachi bylo sdelano sleduyushee:
- V otlichie ot Laskara, ispol'zovalas' sistema koordinat Yakobi, kotoraya yavlyaetsya naibolee podhodyashei, t.k. pozvolyaet zapisat' edinyi gamil'tonian dlya vsei sistemy.
- Polucheno razlozhenie v ryad Puassona po vsem elementam.
- Dlya dvuplanetnoi zadachi Solnce - Yupiter - Saturn naideny sootvetstvuyushie koefficienty razlozheniya [6]. Osrednennyi gamil'tonian poluchen s tochnost'yu do .
- Postroeny razlozheniya dlya osrednennogo gamil'toniana, proizvodyashei funkcii preobrazovaniya Li, uravnenii zameny peremennyh i pravyh chastei osrednennyh uravnenii dvizheniya s tochnost'yu do vtoroi stepeni malogo parametra.
V nastoyashei rabote byla postavlena zadacha: vypolnit' chislennoe integrirovanie sistemy v srednih elementah i issledovat' svoistva poluchaemogo resheniya.
Integrirovanie osrednennyh uravnenii dvizheniya
Dlya integrirovaniya sistemy ispol'zovalsya metod Runge-Kutty 9-go i 11-go poryadkov [3]. Dlya nego (na osnove podprogrammy-integratora, razrabotannoi V.M.Danilovym) byla napisana programma, vychislyayushaya znacheniya srednih elementov s zadannym shagom integrirovaniya. V kachestve ishodnyh dannyh v etoi programme ispol'zuyutsya znacheniya elementov orbit Yupitera i Saturna v sisteme koordinat Yakobi. Zatem schityvayutsya ryady dlya funkcii zameny peremennyh, i takim obrazom osushestvlyaetsya perehod ot oskuliruyushih elementov k srednim. Tol'ko posle etogo proishodit vychislenie znachenii orbital'nyh elementov obeih planet dlya sootvetstvuyushih momentov vremeni. Takim obrazom, v rezul'tate raboty programmy, my poluchaem znacheniya orbital'nyh elementov Yupitera i Saturna na neobhodimyi moment vremeni.
Tak kak pri integrirovanii bol'shie poluosi planet ostayutsya fiksirovannymi, to izmenyayutsya tol'ko ekscentrisitety, naklony i sootvetstvuyushie dolgoty. Rassmotrim evolyuciyu etih elementov.
Na ris. 1 pokazana zavisimost' ekscentrisitetov obeih planet ot vremeni na intervale v 500 tys. let.
Ris. 1
Po osi absciss otlozheny znacheniya ekscentrisitetov, po osi ordinat vremya v godah. Sploshnaya liniya na grafike sootvetstvuet Yupiteru, punktirnaya - Saturnu. Horosho vidno, chto amplitudy kolebanii na protyazhenii vsego intervala integrirovaniya ostayutsya postoyannymi. Maksimal'noe znachenie ekscentrisiteta Yupitera ne prevoshodit 0,051, a minimal'noe ne opuskaetsya nizhe 0,019. Podobnym zhe obrazom vedet sebya i Saturn, dlya nego verhnii predel sostavil 0,77, nizhnii - 0,021. Krome togo, kak i ozhidalos', kolebaniya znachenii ekscentrisitetov Yupitera i Saturna proishodit v protivofaze.
Na ris. 2 pokazana zavisimost' naklonov Yupitera i Saturna ot vremeni. Obshii vremennoi interval sostavlyaet takzhe 500 tys. let. Zdes' po osi absciss otlozheny znacheniya naklonov (v gradusah), po osi ordinat vremya v godah. Kak i na predydushem grafike, sploshnaya liniya sootvetstvuet Yupiteru, punktirnaya - Saturnu. Kak i v sluchae s ekscentrisitetami, kolebaniya naklonov Yupitera i Saturna proishodit v protivofaze, i amplitudy etih kolebanii ostayutsya postoyannymi. Diapazon izmeneniya naklona sostavil: dlya Yupitera - 1.3-2.0o, dlya Saturna - 0.73-2.5o.
Ris. 2
Neobhodimo zametit', chto hotya na grafikah privedeny znacheniya ekscentrisitetov i naklonov Yupitera i Saturna na vremennom otrezke 500 tys. let, na obshem intervale integrirovaniya (10 mlrd. let) eti orbital'nye elementy ne menyayut svoego povedeniya.
Dolgoty pericentrov orbit izmenyayutsya vekovym obrazom. Harakter evolyucii dolgot voshodyashih uzlov zavisit ot ispol'zuemoi osnovnoi ploskosti i poryadka metoda Hori-Depri. V pervom priblizhenii na ploskosti ekliptiki uzly Yupitera i Saturna libriruyut s amplitudami 13o i 33o sootvetstvenno (ris. 3), na ploskosti Laplasa - otstoyat na 180o drug ot druga. Vo vtorom priblizhenii harakter evolyucii uzlov na ploskosti ekliptiki menyaetsya na vekovoi.
Ris. 3
Krome znachenii elementov orbit Yupitera i Saturna dlya obeih planet byli polucheny znacheniya pokazatelei Lyapunova i oceneno vremya Lyapunova [2]. Pokazateli Lyapunova igrayut vazhnuyu rol' v teorii gamil'tonovyh dinamicheskih sistem. Oni dayut vychislimuyu kolichestvennuyu meru stepeni stohastichnosti: srednyuyu skorost' eksponencial'noi rashodimosti blizkih traektorii. Dlya Yupitera vremya Lyapunova sostavilo 14 mln. let, dlya Saturna 10 mln. let.
V kachestve kriteriev tochnosti integrirovaniya vystupayut: integral energii i integral ploshadei. Pri ispol'zovanii integratora 11-go poryadka kolebaniya otnositel'noi oshibki energii proishodyat okolo odnogo i togo zhe srednego znacheniya s postoyannoi amplitudoi. Chto zhe kasaetsya 9-go poryadka, to zdes' nablyudaetsya zametnoe uvelichenie (po modulyu) podobnogo srednego znacheniya (ris. 4, ris. 5). Podobnoe povedenie nablyudaetsya i pri rassmotrenii integrala ploshadei.
Ris. 4
Ris. 5
Otnositel'no svoistv samogo integratora neobhodimo otmetit' sleduyushee. Maksimal'nyi shag integrirovaniya sostavlyaet 10 tys. let, imenno takoe znachenie vremennogo shaga yavlyaetsya optimal'nym, i ono ispol'zovalos' v nastoyashei rabote. Estestvenno, umen'shenie shaga dolzhno davat' luchshii rezul'tat, no eto privedet ne tol'ko k neizbezhnomu uvelicheniyu obshego vremeni integrirovaniya, no i k nakopleniyu oshibki okrugleniya.
Vyvody otnositel'no nailuchshego poryadka integratora takzhe ochevidny. Ispol'zovanie integratorov bolee vysokih poryadkov pozvolyaet povysit' tochnost' integrirovaniya, no neizbezhno vlechet za soboi uvelichenie obshego vremeni vychislenii.
Maksimal'nyi interval, na kotorom provodilos' issledovanie, sostavil 10 mlrd. let (pri rabote na Pentium IV 2,4 Ggc dlya vypolneniya odnogo shaga trebuetsya 4 s mashinnogo vremeni pri ispol'zovanii 9-go poryadka i 12 s pri ispol'zovanii 11-go poryadka).
Zaklyuchenie
Takim obrazom, v dannoi rabote bylo provedeno issledovanie dvuhplanetnoi zadachi na primere sistemy Solnce - Yupiter - Saturn. Dlya etogo byla napisana programma, pozvolyayushaya integrirovat' sistemu uravnenii v srednih elementah. Polucheny znacheniya orbital'nyh elementov Yupitera i Saturna na intervale 10 mlrd. let. Polucheny ocenki vremeni Lyapunova dlya Yupitera (14 mln. let) i Saturna (10 mln. let). A takzhe provedeno issledovanie samogo integratora: vybran nailuchshii shag integrirovaniya i ocenena ego tochnost'. V kachestve ishodnyh dannyh vzyaty pravye chasti osrednennyh uravnenii dvizheniya i uravneniya zameny peremennyh, poluchennye v rezul'tate vypolneniya pervogo priblizheniya metoda Hori-Depri [4].
O povedenii issleduemoi sistemy mozhno skazat' sleduyushee: v sisteme Solnce- Yupiter - Saturn sohranyaetsya uslovno-periodicheskoe dvizhenie na kosmogonicheskih intervalah vremeni, no s malym vremenem Lyapunova.
Spisok literatury
[1] Kuznecov E.D. Struktura, dinamika i ustoichivost' Solnechnoi sistemy. http://virlib.eunnet.net/win/metod_materials/wm3/dynamics.htm
[2] Lihtenberg A., Liberman M. Regulyarnaya i stohasticheskaya dinamika. M.: Mir, 1984. 528 s.
[3] Mur R., Drakos N. (Moore R., Drakos N.) Metody Runge-Kutty. http://www.dvo.ru/studio
[4] Holshevnikov K.V. Asimptoticheskie metody nebesnoi mehaniki. L.: Izd-vo Leningr. un-ta., 1985. 208 s.
[5] Holshevnikov K.V., Greb A.V., Kuznecov E.D. Razlozhenie gamil'toniana v ryad Puassona po vsem elementam (teoriya) // Astron. vestn., 2001. T. 35, No 3. S. 267--272.
[6] Holshevnikov K.V., Greb A.V., Kuznecov E.D. Razlozhenie gamil'toniana dvuplanetnoi zadachi v ryad Puassona po vsem elementam: ocenka i pryamoe vychislenie koefficientov // Astron. vestn., 2002. T. 36, No 1. S. 75--87.
<< Oglavlenie | V nachalo stranicy |
|
Publikacii s klyuchevymi slovami:
Nebesnaya mehanika - planetnaya sistema
Publikacii so slovami: Nebesnaya mehanika - planetnaya sistema | |
Sm. takzhe:
Vse publikacii na tu zhe temu >> | |
