Obratnye zadachi v astrofizike

1. Vvedenie

Astrofizika yavlyaetsya nablyudatel'noi naukoi, poskol'ku issledovatel' v podavlyayushem bol'shinstve sluchaev ne imeet vozmozhnosti vozdeistvovat' na izuchaemyi ob'ekt. Vyvody o prirode issleduemyh ob'ektov uchenye-astrofiziki delayut na osnove analiza kosvennoi informacii, kotoraya zaklyuchena v postupayushih iz Kosmosa razlichnyh izlucheniyah: elektromagnitnom (ot gamma-kvantov do radiovoln), neitrinnom, korpuskulyarnom (kosmicheskie luchi), gravitacionno-volnovom (registraciya kotorogo namechaetsya v blizhaishei perspektive). Harakteristiki etih izluchenii (intensivnost', spektr, polyarizaciya, peremennost' i t. p.) yavlyayutsya sledstviyami teh processov, o prirode kotoryh dolzhen sudit' astronom. Lish' v redkih sluchayah astrofiziki mogut neposredstvenno vozdeistvovat' na izuchaemyi ob'ekt – eto issledovanie meteoritnogo veshestva, kotoroe vypadaet na Zemlyu iz mezhplanetnogo prostranstva (upomyanem v etoi svyazi nedavnee otkrytie amerikanskimi uchenymi sledov zhiznedeyatel'nosti mikroorganizmov v marsianskom meteorite), a takzhe izuchenie poverhnostei planet s pomosh'yu aktivnyh kosmicheskih apparatov, spuskaemyh na poverhnost' planety. V podavlyayushem zhe bol'shinstve sluchaev astrofiziki vynuzhdeny po sledstviyam nekotoryh processov, protekayushih na nebesnyh telah, sudit' o prichinah, ih porodivshih, to est' reshat' obratnye zadachi.

Reshenie pryamoi zadachi svyazano s otyskaniem sledstviya nekotorogo processa po ego izvestnoi prichine. Naprimer, mozhno na lyuboi moment vremeni rasschitat' polozheniya planet Solnechnoi sistemy, znaya glavnuyu prichinu, kotoraya lezhit v osnove ih dvizheniya, – zakon vsemirnogo tyagoteniya N'yutona s popravkami za effekty obshei teorii otnositel'nosti, otvetstvennye, naprimer, za progressivnoe smeshenie perigeliya Merkuriya, costavlyayushee 43″ v stoletie. Odnako kogda I. N'yuton reshal obratnuyu zadachu – vyvodil svoi znamenityi zakon vsemirnogo tyagoteniya iz nablyudaemogo dvizheniya planet, obobshennogo v izvestnyh zakonah Keplera, on stolknulsya so znachitel'no bolee slozhnoi problemoi. Tol'ko ogromnyi nablyudatel'nyi material po mnogim planetam v sochetanii s genial'nost'yu i tonkoi fizicheskoi intuiciei pozvolili N'yutonu uspeshno reshit' etu tipichnuyu obratnuyu zadachu.

V otlichie ot pryamyh zadach trudnosti resheniya obratnyh zadach svyazany s tem, chto odin i tot zhe effekt mozhet byt' porozhden raznymi prichinami. Naprimer, izvestno, chto esli nagret' vodu pri atmosfernom davlenii do temperatury 100ºC, to ona zakipit. Odnako iz togo fakta, chto voda kipit, vovse ne sleduet, chto ona nagreta do temperatury 100ºC, poskol'ku voda mozhet kipet' i pri komnatnoi temperature, no pri dostatochno nizkom atmosfernom davlenii. Takim obrazom, effekt kipeniya vody mozhet byt' vyzvan raznymi prichinami: libo vysokoi temperaturoi, libo nizkim davleniem.

Privedennyi primer naglyadno illyustriruet, kakoi tonkoi i delikatnoi proceduroi yavlyaetsya reshenie obratnoi zadachi interpretacii nablyudatel'nyh dannyh. Esli dlya resheniya pryamoi zadachi dostatochno znat' odnu prichinno-sledstvennuyu svyaz', to dlya uspeshnogo resheniya obratnoi zadachi etogo yavno nedostatochno i neobhodimo uchityvat' mnogie prichinno-sledstvennye svyazi, soprovozhdayushie izuchaemyi process, i sledovatel'no, imet' gorazdo bolee bogatyi opyt i eksperimental'nyi material, chem dlya resheniya pryamoi zadachi.

V matematike horosho izvestno, chto podavlyayushee bol'shinstvo obratnyh zadach yavlyayutsya nekorrektno postavlennymi – malym vozmusheniem ishodnyh dannyh (dannyh nablyudenii) mogut sootvetstvovat' skol' ugodno bol'shie vozmusheniya resheniya. Kak otmecheno francuzskim uchenym Zh. Adamarom v 1939 godu, zadacha nazyvaetsya korrektno postavlennoi (korrektnoi), esli: 1) ee reshenie sushestvuet, 2) reshenie edinstvenno, i 3) reshenie nepreryvno zavisit ot vhodnyh dannyh, to est' ustoichivo po otnosheniyu k malym vozmusheniyam (oshibkam) dannyh nablyudenii. Esli hotya by odno iz etih treh uslovii ne vypolnyaetsya, zadacha nazyvaetsya nekorrektno postavlennoi (ili nekorrektnoi).

Naibolee chasto v sluchae obratnyh zadach narushaetsya tret'e uslovie, to est' uslovie ustoichivosti resheniya. V etom sluchae voznikaet paradoksal'naya situaciya: nesmotrya na to chto zadacha matematicheski sformulirovana, ee reshenie nevozmozhno poluchit' obychnymi metodami. Deistvitel'no, kakoi smysl imeet reshenie, kotoroe ispytyvaet formal'no beskonechno bol'shie vozmusheniya pri malyh vozmusheniyah rezul'tatov nablyudenii, kotorye vsegda poluchayutsya s nekotoroi neopredelennost'yu (oshibkoi). Imenno poetomu Adamar i prishel k zaklyucheniyu, chto nekorrektnye zadachi ne imeyut prakticheskogo smysla. Odnako po sushestvu vse zadachi obrabotki i interpretacii rezul'tatov astronomicheskih nablyudenii, kak i mnogih fizicheskih eksperimentov, yavlyayutsya obratnymi i nekorrektno postavlennymi. Do poyavleniya sovremennyh nauchno obosnovannyh metodov issledovatel', libo ispol'zuya detal'nuyu fizicheskuyu model' izuchaemogo yavleniya svodil obratnuyu zadachu k nahozhdeniyu nebol'shogo chisla parametrov, libo osnovyvayas' na fizicheskoi intuicii otbiral iz mnozhestva dopustimyh reshenii to, kotoroe luchshe vsego sootvetstvuet zdravomu smyslu. V pervom sluchae chasto byvaet, chto detal'naya fizicheskaya model', dopuskayushaya zhestkuyu parametrizaciyu resheniya, ne adekvatna ispol'zuemym nablyudatel'nym dannym (chto privodit k bol'shim ostatochnym ukloneniyam nablyudatel'nyh dannyh ot teoreticheskih predskazanii), vo vtorom sluchae vybor resheniya sub'ektiven, chto ne harakterno dlya nauchnogo metoda issledovanii.

Matematicheski pod obratnoi zadachei ponimaetsya zadacha otyskaniya funkcii z(s) po funkcii u(x) , poluchaemoi iz eksperimenta ili nablyudenii i opredelyaemoi uravneniem vida

Vo mnogih sluchayah obratnaya zadacha (1) mozhet byt' predstavlena integral'nym uravneniem Fredgol'dma 1-go roda

Matematicheskie trudnosti resheniya obratnyh zadach svyazany s tem, chto obratnyi operator A ^-1 (sm. uravnenie (1)) ne yavlyaetsya nepreryvnym. Poetomu esli dannye nablyudenii u(x) polucheny s nekotoroi oshibkoi δ (oboznachim priblizhennye dannye simvolom u_δ(x)), to sootvetstvuyushee priblizhennoe reshenie, poluchennoe standartnym metodom,

Predlagaemye ranee metody resheniya obratnyh nekorrektnyh zadach osnovyvalis' prezhde vsego na intuicii avtorov, i, hotya v ryade obratnyh zadach udavalos' poluchit' vazhnuyu fizicheskuyu informaciyu, neobhodimost' v strogoi matematicheskoi postanovke i razrabotke chislennyh metodov resheniya etogo vazhneishego dlya sovremennogo estestvoznaniya kruga problem nazrela k 60-m godam, osobenno v svyazi s shirokim vnedreniem komp'yuterov v praktiku nauchnyh issledovanii.

Predlozhennyi rossiiskim akademikom A.N. Tihonovym metod resheniya nekorrektno postavlennyh zadach sostoit v tom, chto takie zadachi rassmatrivayutsya kak fizicheski nedoopredelennye. Oni "ploho" postavleny, mnozhestva ih priblizhennyh reshenii ochen' shiroki, dazhe neogranichenny. Poetomu nekorrektnye zadachi nuzhno doopredelit'. Dlya etogo neobhodima dopolnitel'naya (apriornaya) informaciya ob iskomom reshenii z(s), vytekayushaya iz obshirnogo opyta vsestoronnih issledovanii dannogo processa. Eta dopolnitel'naya informaciya ob iskomom reshenii dolzhna byt' izvestna a priori (zaranee), do resheniya sootvetstvuyushei nekorrektnoi zadachi. Apriornaya informaciya pozvolyaet sformulirovat' kriterii otbora priblizhennogo resheniya iz mnozhestva priblizhennyh reshenii uravneniya (1) i postroit' regulyariziruyushii algoritm.

Takoi informaciei mogut sluzhit' svedeniya o gladkosti iskomogo resheniya z(s), ego monotonnosti, vypuklosti, neotricatel'nosti, prinadlezhnosti k konechno-parametricheskomu semeistvu i t. p.

Na ris. 1,a privedeny tochnoe i priblizhennoe reshenie nekorrektnoi zadachi – integral'nogo uravneniya Fredgol'ma 1-go roda (2), prichem priblizhennoe reshenie polucheno s pomosh'yu regulyariziruyushego algoritma – suzheniya mnozhestva dopustimyh reshenii do mnozhestva vypuklyh funkcii. Popytka resheniya etoi zhe zadachi bez regulyarizacii yavlyaetsya bezuspeshnoi (sm. ris. 1,b).

V nastoyashee vremya razvitaya teoriya resheniya nekorrektno postavlennyh zadach uspeshno primenyaetsya dlya resheniya mnogih obratnyh zadach astrofiziki, a takzhe zadach optiki i spektroskopii, optimal'nogo planirovaniya i t. p. Regulyariziruyushie algoritmy garantiruyut shodimost' posledovatel'nosti priblizhennyh reshenii k tochnomu resheniyu obratnoi zadachi, to est' pri stremlenii oshibki nablyudenii δ k nulyu priblizhennoe reshenie stremitsya k tochnomu. Eto daet veskie osnovaniya schitat', chto priblizhennoe reshenie nekorrektnoi zadachi, poluchennoe s pomosh'yu regulyariziruyushego algoritma, blizko k resheniyu, sootvetstvuyushemu ideal'no tochnym dannym nablyudenii u(x). Stihiinye intuitivnye metody resheniya obratnyh nekorrektnyh zadach, otmechennye vyshe, ne obladayut etim dostoinstvom.

Nizhe rassmotreny neskol'ko primerov primeneniya regulyariziruyushih algoritmov k resheniyu obratnyh zadach astrofiziki.

Ris. 1. Rezul'taty resheniya obratnoi zadachi, opisyvaemoi integral'nym uravneniem (2) s yadrom K(x, s)=1/[1+100(x-s). Sploshnoi liniei predstavleno tochnoe reshenie z(s) . Eto reshenie podstavlyalos' pod znak integrala v uravnenie (2) i vychislyalas' sootvetstvuyushaya emu funkciya u(x) – ideal'no tochnye vhodnye dannye obratnoi zadachi (2). Zatem v poluchennuyu funkciyu u(x) vnosilas' pogreshnost' δ=3 % ot maksimal'nogo znacheniya, i reshalas' obratnaya zadacha: po vozmushennoi funkcii uδ(x) nahodilos' priblizhennoe reshenie zδ(s). Priblizhennoe reshenie zδ(s) (a, tochki) polucheno s pomosh'yu regulyariziruyushego algoritma, ispol'zuyushego apriornuyu informaciyu o vypuklosti iskomogo resheniya z(s). Pri popytke reshit' etu zhe zadachu bez regulyarizacii poluchayutsya skol' ugodno bol'shie otkloneniya priblizhennogo resheniya (b, tochki) ot istinnogo. Tak proyavlyaetsya nekorrektnost' obratnoi zadachi (2)

2. Zvezdy Vol'fa-Raie v tesnyh dvoinyh sistemah

Zvezdy Vol'fa-Raie, raspolozhennye vblizi galakticheskoi ploskosti (to est' otnosyashiesya k pervomu tipu naseleniya Galaktiki), byli otkryty v 1867 godu francuzskimi uchenymi M. Vol'fom i Dzh. Raie. Sredi 100 mlrd zvezd Galaktiki takih zvezd izvestno okolo 200. Pochemu astronomy udelyayut stol' pristal'noe vnimanie izucheniyu etih ob'ektov? Prichina v tom, chto v opticheskom spektre zvezd Vol'fa-Raie (WR) odnovremenno prisutstvuyut sil'nye i shirokie linii izlucheniya atomov i ionov vodoroda, geliya, a takzhe azota, ugleroda i kisloroda v raznyh stadiyah ionizacii (ris. 2). Dlya vozniknoveniya vysokoi stepeni ionizacii neobhodima temperatura v sotni tysyach gradusov, v to vremya kak nepreryvnyi spektr zvezd WR v opticheskom diapazone mozhet byt' grubo approksimirovan izlucheniem absolyutno chernogo tela so srednei temperaturoi, ne prevyshayushei 10 000-20 000 K. Eto svidetel'stvuet o sil'nom otklonenii veshestva atmosfer zvezd WR ot sostoyaniya termodinamicheskogo ravnovesiya.

Zvezdy WR delyatsya na dve posledovatel'nosti: azotnuyu WN i uglerodnuyu WC. V spektrah zvezd WN v osnovnom soderzhatsya linii azota, a v spektrah zvezd WC – linii ugleroda i kisloroda. I v zvezdah WN, i v zvezdah WC prisutstvuyut linii geliya, a inogda takzhe slabye linii vodoroda. Ocenki otnositel'nogo soderzhaniya himicheskih elementov pokazyvayut, chto chislo atomov geliya v atmosferah zvezd WR vo mnogo raz bol'she, chem chislo atomov vodoroda. Etim zvezdy WR radikal'no otlichayutsya ot obychnyh zvezd solnechnogo tipa. V poslednie gody vse bolee utverzhdaetsya tochka zreniya o tom, chto zvezdy WR predstavlyayut soboi obnazhennye yadra massivnyh m=30-100M_ʘ goryachih (T=30 000-40 000 K) zvezd spektral'nyh klassov O ili B, poteryavshih znachitel'nuyu chast' (do 60 %) svoei massy vsledstvie istecheniya veshestva libo v vide zvezdnogo vetra, libo v rezul'tate peretekaniya veshestva v tesnyh dvoinyh sistemah. Takim obrazom, skoree vsego spektry zvezd WR demonstriruyut produkty termoyadernyh reakcii, protekayushih v nedrah massivnyh zvezd.

Ris. 2. Opticheskie spektry dvuh zvezd Vol'fa-Raie: HD 191765 (WN6) i HD 192103 (WC7). Otmecheny linii izlucheniya razlichnyh himicheskih elementov

Yavlyayas' ob'ektami absolyutno molodymi (vozrast ~10⁶ let), zvezdy WR, po-vidimomu, nahodyatsya na konechnoi stadii evolyucii – na stadii ischerpaniya zapasov yadernoi energii, posle kotoroi dolzhen sledovat' kollaps zvezdy s obrazovaniem relyativistskogo ob'ekta – neitronnoi zvezdy ili chernoi dyry. Kak vozmozhnye praroditeli neitronnyh zvezd i chernyh dyr zvezdy WR interesuyut mnogih issledovatelei. Odnako do poslednego vremeni problema zvezd WR byla daleka ot okonchatel'nogo resheniya. Naryadu s opisannoi koncepciei evolyucii zvezd WR sushestvuet neskol'ko variantov dlya ob'yasneniya yavleniya WR. Ot gipotezy, v kotoroi zvezda WR schitaetsya molodym ob'ektom normal'nogo himicheskogo sostava, nahodyashimsya na stadii gravitacionnogo szhatiya, do modeli, soglasno kotoroi yavlenie WR v tesnyh dvoinyh sistemah svyazano so sverhkriticheskoi akkreciei na relyativistskii ob'ekt.

Takaya neodnoznachnost' v interpretacii yavleniya WR svyazana s tem, chto sobstvenno zvezda WR pogrebena vnutri moshnoi protyazhennoi atmosfery, radial'no rasshiryayusheisya pod deistviem davleniya radiacii so skorost'yu v tysyachi kilometrov v sekundu. Atmosfera zvezdy WR prostiraetsya na mnogo millionov kilometrov i v neskol'ko raz prevyshaet radius sobstvenno zvezdy. Pri etom massa atmosfery nichtozhno mala – v milliard raz men'she massy central'noi zvezdy.

Dlya sravneniya: disk SolnceSolnca rezko ocherchen. Eto svyazano s tem, chto tolshina atmosfery Solnca, gde formiruetsya vidimoe izluchenie, ne prevyshaet 300 km, chto sostavlyaet ~1/10 000 ego radiusa.

Neudivitel'no poetomu, chto mnogie issledovateli, osnovyvayas' na izuchenii odinochnyh zvezd WR, kogda izmeryaetsya polnoe izluchenie ot vsego diska zvezdy s protyazhennoi atmosferoi, prihodili k vyvodu, chto radiusy zvezd WR veliki (poryadka 20-30R_ʘ ), a effektivnye temperatury otnositel'no nizki (poryadka 30 000 K).

V zatmennyh dvoinyh sistemah, soderzhashih WR-komponentu, situaciya inaya. Kogda proishodit zatmenie zvezdy WR ee sputnikom – normal'noi zvezdoi spektral'nogo klassa OB s tonkoi atmosferoi, krivaya bleska soderzhit informaciyu ne tol'ko o summarnoi svetimosti zvezdy WR, no i o raspredelenii yarkosti po ee disku. Dazhe v samyi krupnyi teleskop vse zvezdy (krome Solnca) vyglyadyat kak tochki. Iz-za kolossal'noi udalennosti zvezd WR ih diski nel'zya uvidet' (v otlichie ot Solnca, u kotorogo viden disk i mozhno izuchat' strukturu poverhnosti). Tem ne menee analiz zatmenii v dvoinyh sistemah, soderzhashih zvezdy WR, daet unikal'nuyu vozmozhnost' vosstanovit' raspredelenie yarkosti po disku zvezdy i kak by narisovat' ego izobrazhenie.

V obshem sluchae zadacha opredeleniya fizicheskih harakteristik zvezd iz analiza krivoi bleska zatmennoi dvoinoi sistemy svoditsya k resheniyu dvuh integral'nyh uravnenii Fredgol'ma 1-go roda

Klassicheskaya metodika interpretacii osnovyvaetsya na predpolozhenii o tom, chto tolshina atmosfery zvezdy mala po sravneniyu s ee radiusom. Teoriya tonkih zvezdnyh atmosfer daet analiticheskoe vyrazhenie dlya raspredeleniya yarkosti I(χ) kak funkciyu treh parametrov: yarkosti v centre diska zvezdy I₀, radiusa zvezdy r i koefficienta potemneniya k krayu X . Analiticheskoe vyrazhenie dlya I(χ) podstavlyaetsya v uravnenie (4), kotoroe v rezul'tate integrirovaniya svoditsya k sisteme nelineinyh algebraicheskih uravnenii otnositel'no nebol'shogo chisla parametrov. Eto pozvolyaet oboiti trudnosti, svyazannye s nekorrektnost'yu obratnoi zadachi (4).

Ris. 3. Raspredelenie yarkosti po disku zvezdy WN5 v zatmennoi dvoinoi sisteme V444 Lebedya, vosstanovlennoe po krivym bleska v raznyh oblastyah spektra na mnozhestve monotonnyh neotricatel'nyh funkcii. Hotya polnyi radius protyazhennoi atmosfery zvezdy WN5 sostavlyaet okolo 20Rʘ, radius "sobstvenno zvezdy WR" (opredelyaemyi po shirine central'nogo maksimuma intensivnosti v sinei oblasti spektra) ne prevyshaet 3Rʘ, a ego temperatura vyshe 50 000 K

U zvezd WR protyazhennye atmosfery. Slozhnost' fizicheskih processov i neopredelennost' modelei protyazhennyh zvezdnyh atmosfer ne pozvolyayut primenit' v dannom sluchae klassicheskii sposob parametrizacii iskomoi funkcii I(χ) pri reshenii obratnoi zadachi (4). Vmeste s tem funkciyu I(χ) mozhno schitat' monotonnoi i neotricatel'noi, algoritm resheniya obratnoi zadachi (4) na mnozhestve monotonnyh neotricatel'nyh funkcii yavlyaetsya regulyariziruyushim, a sama zadacha (4) na etom mnozhestve funkcii I(χ) – korrektnoi v klassicheskom smysle. Eto pozvolyaet po-novomu postavit' zadachu interpretacii krivyh bleska zatmennyh dvoinyh sistem i na osnove sovremennyh metodov regulyarizacii nekorrektno postavlennyh zadach razrabotat' effektivnye chislennye algoritmy ee resheniya dlya komp'yuterov. Nekorrektnost' zadachi (4) byla preodolena, i polucheno ee ustoichivoe reshenie. Eto stimulirovalo nablyudeniya vseh izvestnyh zatmennyh dvoinyh zvezd s komponentami WR, a nablyudatel'nye dannye v ul'trafioletovom, opticheskom i infrakrasnom diapazonah interpretirovalis' s pomosh'yu novoi metodiki.

Pri reshenii obratnoi zadachi interpretacii krivyh bleska zatmennyh dvoinyh zvezd okazalos' vozmozhnym vosstanovit' raspredelenie yarkosti po disku zvezdy WR v razlichnyh uchastkah spektra (sm. ris. 3), otdelit' izluchenie sobstvenno zvezdy WR ot izlucheniya ee protyazhennoi atmosfery i tem samym opredelit' istinnyi radius, temperaturu i svetimost' zvezdy WR. Okazalos', chto v to vremya kak polnyi radius vidimoi atmosfery zvezdy WR sostavlyaet ~20R_ʘ, radius sobstvenno zvezdy WR (to est' gidrostaticheskogo tela zvezdy, soderzhashego osnovnuyu chast' massy) ne prevyshaet 3R_ʘ, a temperatura sobstvenno zvezdy WR bol'she 50 000 K (!). Otnositel'no nizkaya temperatura izlucheniya vsego diska zvezdy WR ( ~20 000 K) svyazana s nizkotemperaturnym rekombinacionnym izlucheniem poluprozrachnoi protyazhennoi atmosfery, vklad kotoroi v vidimoi oblasti spektra dostigaet 80 %. Malyi radius zvezdy WR i vysokaya effektivnaya temperatura pri masse 10M_ʘ svidetel'stvuyut o tom, chto zvezda WR yavlyaetsya gelievym ostatkom ot pervonachal'no bolee massivnoi zvezdy, poteryavshei osnovnuyu chast' svoei vodorodnoi obolochki.

3. Analiz difrakcionnyh krivyh bleska pri pokrytii zvezd Lunoi

Pri nablyudeniyah nebesnyh tel astronomy vsegda stremyatsya dostich' kak mozhno bolee vysokogo uglovogo razresheniya. Chtoby dobit'sya etogo, oni idut na hitroumnye i dorogostoyashie uhishreniya. Sozdayutsya interferometry raznyh tipov, zapuskayutsya teleskopy za predely iskazhayushei zemnoi atmosfery (naprimer, izvestnyi kosmicheskii teleskop im. Habbla s zerkalom diametrom 2,4 m). Odnako okazyvaetsya, chto vysokoe uglovoe razreshenie (do 0″,0001-0″,001 mozhno poluchit' gorazdo bolee prostym i deshevym sposobom, nablyudaya pokrytiya zvezd Lunoi s pomosh'yu nazemnyh teleskopov so skromnym diametrom poryadka 1 metra. Sut' metoda ves'ma prosta: Luna pri svoem orbital'nom dvizhenii vokrug Zemli zatmevaet zvezdy. Uglovye diametry sravnitel'no blizkih zvezd sostavlyayut neskol'ko tysyachnyh sekundy dugi. Tol'ko u nekotoryh samyh blizkih zvezd – gigantov i sverhgigantov – uglovye razmery dostigayut sotyh dolei sekundy. Yasno, chto process zatmeniya diska zvezdy Lunoi budet imet' hotya i ochen' maluyu, no vpolne izmerimuyu prodolzhitel'nost' – poryadka neskol'kih sotyh dolei sekundy vremeni. Provedya vysokotochnye fotoelektricheskie nablyudeniya s dostatochno vysokim vremennym razresheniem (okolo 0,001 s), mozhno poluchit' krivuyu zatmeniya zvezdy Lunoi, kotoraya budet obuslovlena kak geometricheskim zatmeniem, tak i effektami difrakcii sveta zvezdy na krayu diska Luny (sm. ris. 4). Chem bol'she uglovoi diametr zatmevaemoi zvezdy, tem men'she budet vysota difrakcionnyh maksimumov i tem blizhe krivaya bleska pri pokrytii zvezdy Lunoi budet napominat' krivuyu geometricheskogo zatmeniya. Takim obrazom, reshaya obratnuyu zadachu interpretacii krivoi pokrytiya zvezdy Lunoi, mozhno opredelit' uglovoi diametr zvezdy i dazhe pytat'sya poluchat' informaciyu o raspredelenii yarkosti po disku zvezdy ili o nalichii okolozvezdnoi struktury (naprimer, protoplanetnogo diska vokrug zvezdy, ee blizkogo sputnika i t. p.). Vazhno to, chto i Luna, i zatmevaemaya eyu zvezda nahodyatsya za predelami nespokoinoi zemnoi atmosfery, poetomu atmosfernye iskazheniya ne mogut sushestvenno povliyat' na vid difrakcionnoi krivoi pokrytiya zvezdy Lunoi.

Ris. 4. Nablyudeniya (tochki) i teoreticheskaya krivaya bleska pri zatmenii Lunoi zvezdy 61δ' v sozvezdii Tel'ca. Po osi absciss otlozheno rasstoyanie x ot kraya Luny do proekcii centra diska zvezdy na ploskost' Lunnogo diska, po osi ordinat – intensivnost'. Viden effekt difrakcii sveta zvezdy na krayu diska Luny, proyavlyayushiisya v cheredovanii maksimumov i minimumov intensivnosti izlucheniya pered vhodom v zatmenie. Vysota difrakcionnyh maksimumov tem men'she, chem bol'she uglovoi diametr zvezdy. Reshenie obratnoi zadachi interpretacii krivoi bleska na mnozhestve konechno-parametricheskih funkcii daet dlya uglovogo diametra zvezdy znachenie 0″,0028±0″,001. Vnizu pokazany ostatochnye ukloneniya "nablyudennyh" tochek ot model'noi teoreticheskoi krivoi

Matematicheski rassmatrivaemaya zadacha zaklyuchaetsya v reshenii integral'nogo uravneniya Fredgol'ma 1-go roda

Uravnenie (5) – integral'noe uravnenie Fredgol'ma 1-go roda, kotoroe nuzhno reshat' s pomosh'yu metoda regulyarizacii. Estestvennoi apriornoi informaciei ob iskomoi funkcii yavlyaetsya ee monotonnost' ili vypuklost', a takzhe neotricatel'nost'. Krome togo, v sluchae zvezdy s tonkoi atmosferoi, mozhno ispol'zovat' analiticheskoe konechno-parametricheskoe predstavlenie funkcii B(χ) , poluchennoe iz teorii. V sluchae, kogda nablyudaetsya pokrytie dvoinoi zvezdy ili zvezdy, obladayushei okolozvezdnoi strukturoi (akkrecionnyi disk, planetnaya sistema), mozhno ispol'zovat' regulyariziruyushii algoritm Tihonova na mnozhestve gladkih neotricatel'nyh funkcii.

Na ris. 4 privedeny nablyudaemaya i teoreticheskaya krivye bleska pri pokrytii Lunoi zvezdy 61δ' Tel'ca (giganta spektral'nogo klassa K0), poluchennye s vremennym razresheniem 0,001 s. Naidennyi iz krivoi pokrytiya uglovoi diametr etoi zvezdy sostavlyaet d=0″,003±0″,001.

Primenenie metoda nablyudenii pokrytii zvezd Lunoi k issledovaniyu molodyh zvezd tipa T Tel'ca pozvolilo vyyavit' vnutrennie chasti okolozvezdnogo (vozmozhno, protoplanetnogo) diska vokrug zvezdy DG v sozvezdii Tel'ca s uglovym razresheniem do 0″,0001 (sm. ris. 5).

Ris. 5. Strip-raspredelenie yarkosti B(χ) dlya zvezdy DG v sozvezdii Tel'ca, vosstanovlennoe iz difrakcionnoi krivoi pokrytiya Lunoi. Ispol'zovalsya metod regulyarizacii na mnozhestve gladkih neotricatel'nyh funkcii. Central'nyi pik sootvetstvuet zvezde. Slozhnaya struktura v kryl'yah, proslezhivaemaya do rasstoyaniya v 3 a.e. ot centra zvezdy, sootvetstvuet central'nym chastyam protoplanetnogo diska vokrug zvezdy

K nastoyashemu vremeni metodom lunnyh pokrytii opredeleny uglovye diametry soten zvezd, otkryty tysyachi novyh tesnyh dvoinyh zvezd, izuchena struktura protoplanetnyh diskov vokrug ryada molodyh zvezd. Takim obrazom, metod lunnyh pokrytii prevratilsya v moshnyi metod issledovaniya zvezd s ochen' vysokim uglovym razresheniem.

4. Zaklyuchenie

Primery dvuh obratnyh zadach astrofiziki pokazyvayut, kak sovremennyi matematicheskii apparat, primenennyi k analizu vysokotochnoi nablyudatel'noi informacii, pozvolyaet delat' vazhnye vyvody o prirode i evolyucii razlichnyh astrofizicheskih ob'ektov, udalennyh ot nas na gromadnye rasstoyaniya.

Regulyariziruyushie algoritmy ispol'zuyutsya takzhe pri reshenii takih obratnyh zadach astrofiziki, kak vosstanovlenie raspredeleniya himicheskih elementov po poverhnostyam pekulyarnyh Ap-zvezd iz peremennosti linii poglosheniya v ih spektrah, vosstanovlenie radioastronomicheskih i opticheskih izobrazhenii nebesnyh tel iz nablyudenii, iskazhennyh vliyaniem apparatnoi funkcii, povyshenie razreshayushei sposobnosti spektrografa i vo mnogih drugih. Vo vseh etih zadachah primenenie sovremennyh regulyariziruyushih algoritmov okazalos' ves'ma effektivnym.

Literatura

1. Goncharskii A.V., Cherepashuk A.M., Yagola A.G. Chislennye metody resheniya obratnyh zadach astrofiziki. M.: Nauka, 1978.
2. Goncharskii A.V., Cherepashuk A.M., Yagola A.G. Nekorrektnye zadachi astrofiziki. M.: Nauka, 1985.
3. Goncharskii A.V., Cherepashuk A.M., Yagola A.G. Priroda. 1985. 9. S. 3.
4. Bogdanov M.B., Trunkovskii E.M., Cherepashuk A.M. Zemlya i Vselennaya. 1992. 6. S. 3.