<< Titul'nyi list | Oglavlenie | 2. Osnovnaya teorema >>
1. Vvedenie
Postroenie reshenii klassicheskoi nebesnomehanicheskoi zadachi N tel
(
) i issledovanie svoistv etih reshenii yavlyaetsya vazhneishei
problemoi matematiki i mehaniki so vremen N'yutona. Vse popytki
reshit' etu zadachu po analogii s zadachei dvuh tel putem nahozhdeniya
polnogo nabora global'nyh (t. e. opredelennyh vo vsem fazovom
prostranstve) avtonomnyh integralov dvizheniya zakanchivalis'
neudachei. Napomnim, chto integralom nazyvaetsya gladkaya (ili
odnoznachnaya analiticheskaya) funkciya ot vremeni i fazovyh koordinat,
postoyannaya na traektoriyah sistemy differencial'nyh uravnenii, no
razlichnaya dlya razlichnyh traektorii. Ne zavisyashii ot vremeni
integral nazyvaetsya avtonomnym. Na rubezhe 19 i 20
stoletii bylo ustanovleno, chto neudachi geniev vrode Eilera v
poiske hotya by odnogo dopolnitel'nogo k klassicheskim integrala
vyzvany tem, chto ih poprostu net. Prezhde vsego rech' idet o
klassicheskih teoremah Brunsa [17] i Puankare
[10] o nesushestvovanii global'nyh integralov
opredelennogo vida v zadache treh tel. V nastoyashee vremya dokazana
neintegriruemost' ryada dinamicheskih sistem razlichnogo
proishozhdeniya [3,4,6,8,9]. S drugoi storony, dlya ryada gamil'tonovyh dinamicheskih
sistem sravnitel'no nedavno udalos' dokazat' polnuyu
integriruemost' (chislo integralov v involyucii ravno chislu stepenei
svobody). Upomyanem izvestnyi primer cepochki Tody. Razrabotany
sootvetstvuyushie obshie metody (predstavlenie Laksa i t. p.).
Podrobnosti i dal'neishie ssylki mozhno naiti v monografiyah
[3,4,9].
Pri otsutstvii polnogo nabora global'nyh integralov inogda udaetsya dostich' uspeha v opisanii traektorii ne na vsem fazovom prostranstve, a na men'shem mnozhestve. Tak, v rabote [21] postroeny dve invariantnye oblasti v fazovom prostranstve konservativnoi sistemy s tremya stepenyami svobody, opredelyaemoi analiticheskim gamil'tonianom, v odnoi iz kotoryh sushestvuyut tol'ko dva klassicheskih integrala dvizheniya, a v drugoi eshe i tretii nezavisimyi integral. V rabote [22] pokazana integriruemost' gamil'tonovoi dinamicheskoi sistemy pri odnom fiksirovannom znachenii integrala energii i neintegriruemost' - pri drugih ego znacheniyah.
Otsutstvie polnogo nabora global'nyh
integralov ne obyazatel'no svidetel'stvuet o slozhnom povedenii
traektorii ili sluzhit prepyatstviem dlya ih issledovaniya
[8,20].
Tak, lineinaya odnorodnaya avtonomnaya sistema na ploskosti ne
imeet avtonomnogo nepreryvnogo integrala
v sluchae uzla ili fokusa. Takova sistema
obshee reshenie kotoroi srazu naidet lyuboi vtorokursnik. A integrala net! Odnako ploskost' mozhno razbit' na konechnoe chislo invariantnyh mnogoobrazii, vnutri kotoryh integral sushestvuet. Naprimer, v pravoi poluploskosti mozhno ukazat' na integral
. Dlya
takih situacii estestvenno ispol'zovat' termin polnaya
regional'naya integriruemost'. Regional'naya integriruemost' (ne
obyazatel'no polnaya) imeet mesto, esli mozhno ukazat' hotya by odnu
invariantnuyu oblast', v kotoroi integral sushestvuet.
Na tore eshe bolee prostye sistemy okazyvayutsya neintegriruemymi dazhe regional'no po prichine otsutstviya invariantnyh oblastei, otlichnyh ot vsego fazovogo prostranstva. Takova, naprimer, sistema
gde
- irracional'noe chislo; 
- uglovye
peremennye, ponimaemye po 
. Vy mozhete vozrazit',
privedya primer funkcii
. No eta velichina ne
yavlyaetsya funkciei na
tore, poskol'ku ee znacheniya razlichny, naprimer, v tochkah 
i
. Inogda podobnogo tipa funkcii nazyvayut mnogoznachnymi
integralami.
Vernemsya k zadache N tel. V seredine proshlogo veka V. M. Alekseev [1,2] sformuliroval gipotezu: zadacha treh tel dlya giperbolicheskih, giperboloellipticheskih i giperboloparabolicheskih dvizhenii integriruema v smysle sushestvovaniya polnogo nabora avtonomnyh integralov dvizheniya. Ochevidno, rech' idet o regional'noi integriruemosti.
Tradicionno klassicheskaya nebesnaya mehanika bol'she interesuetsya traektoriyami, lezhashimi v ogranichennoi oblasti, a ne uhodyashimi v beskonechnost'. Takovy traektorii postoyannyh chlenov Solnechnoi sistemy. Odnako i "uhodyashie" traektorii, kotorye my budem rassmatrivat' v nastoyashei rabote, mogut predstavlyat' interes dlya astronomii i kosmologii. Issleduya obshie svoistva dvizhenii v zadache N tel, D. Saari [24] ustanovil, chto obychnyi rezul'tat dinamicheskoi evolyucii sistemy - raspad na podsistemy, kotorye razletayutsya drug ot druga. Eto svoistvo podtverzhdaetsya i mnogimi rezul'tatami chislennogo modelirovaniya dinamicheskoi evolyucii sistem ne ochen' bol'shogo chisla tel [25,26,23,11]. Po sovremennym predstavleniyam, zvezdy obrazuyutsya gruppami v molekulyarnyh oblakah, i v rezul'tate dinamicheskoi evolyucii eti gruppy raspadayutsya na ustoichivye podsistemy maloi kratnosti, bol'shinstvo iz kotoryh - odinochnye, dvoinye ili ierarhicheskie troinye.
V nashih rabotah [12,13,14]
pokazano, chto v oblasti fazovogo
prostranstva, otvechayushei bystromu razletu N tel bez sblizhenii,
reshenie zadachi N tel sushestvuet dlya vseh znachenii vremeni 
,
yavlyayas' odnoznachnoi veshestvenno-analiticheskoi funkciei ot i nachal'nyh
dannyh. Zametim, chto fakt prodolzhimosti resheniya na vsyu os' vremeni
daleko ne trivialen [5,7].
Kazhdaya traektoriya diffeomorfna pryamoi s otdelennymi koncami.
Reshenie mozhet byt' polucheno yavno kak predel
posledovatel'nosti, shodyasheisya so skorost'yu geometricheskoi progressii.
Etot rezul'tat pozvolil nam naiti v ukazannoi oblasti polnyi nabor
nezavisimyh odnoznachnyh veshestvenno-analiticheskih avtonomnyh
integralov i dokazat' tem samym regional'nuyu integriruemost' zadachi
N tel [15,20]. V rabote
[16] my obobshili rezul'tat na razlet odinochnyh i tesnyh
dvoinyh zvezd.
Pochemu zadacha o dvizhenii dvuh planet vokrug Solnca okazyvaetsya neintegriruemoi pri skol' ugodno malyh massah i pochti ploskom pochti krugovom nachal'nom dvizhenii, togda kak zadacha o razlete proizvol'nogo chisla tel pri proizvol'nyh massah pri neobremenitel'nyh dopolnitel'nyh usloviyah integriruema? Delo v tom, chto v pervom sluchae vozmusheniya, hotya i malye, mogut nakaplivat'sya so vremenem, togda kak vo vtorom sluchae vozmusheniya s techeniem vremeni stremyatsya k nulyu.
Zdes' my privodim uluchshennoe dokazatel'stvo anonsirovannyh vyshe svoistv traektorii zadachi N tel v oblasti fazovogo prostranstva, opisyvayushei razlet odinochnyh zvezd. My postaralis' sdelat' ego dostupnym studentam, horosho orientirovannym v matematicheskom analize tret'ei chetverti proshlogo veka. Nichego bolee izoshrennogo ne ponadobitsya. Razlet odinochnyh i dvoinyh issledovan v [16].
<< Titul'nyi list | Oglavlenie | 2. Osnovnaya teorema >>
|
Publikacii s klyuchevymi slovami:
Nebesnaya mehanika - zadacha n-tel - zadacha treh tel
Publikacii so slovami: Nebesnaya mehanika - zadacha n-tel - zadacha treh tel | |
Sm. takzhe:
Vse publikacii na tu zhe temu >> | |
