<< 1. Vvedenie | Oglavlenie | 3. Razlet bez sblizhenii >>

2. Osnovnaya teorema

Slabovozmushennaya zadacha neskol'kih tel v podhodyashih peremennyh mozhet byt' predstavlena sistemoi obyknovennyh differencial'nyh uravnenii sleduyushego vida [19]:

Zdes'  - vektor medlennyh peremennyh,  - vektor bystryh peremennyh,  - vektor-funkcii;  - malyi skalyarnyi parametr.

Uprostim sistemu (3). Vo-pervyh, primem za novye medlennye peremennye. Etogo vsegda mozhno dobit'sya, dobaviv k vektoru i uvelichiv tem samym poryadok sistemy uravnenii. Esli zhe vzaimno-odnoznachno zavisit ot komponent vektora , to mozhno ne uvelichivat' chisla peremennyh. Vo-vtoryh, obratim v nul' vektor . Tut pridetsya uvelichit' chislo medlennyh peremennyh. Dlya kazhdogo , dlya kotorogo , vvedem novuyu medlennuyu peremennuyu i zamenim na :

Zametim, chto eto preobrazovanie ne novo. Esli  - srednyaya anomaliya,  - srednee dvizhenie, to  - srednyaya anomaliya epohi, a  - integral ot srednego dvizheniya po vremeni.

V rezul'tate dvuh preobrazovanii uravneniya primut formu

Zdes' , i my opustili shtrihi. Mnozhitel' vveden dlya soglasovaniya fizicheskih razmernostei. Privedem i vektornuyu formu uravnenii

gde na glavnoi diagonali pryamougol'noi matricy razmera stoit , ostal'nye elementy ravny nulyu.

V dal'neishem imeem delo tol'ko s sistemoi vida (5). Funkcii schitaem nepreryvnymi i udovletvoryayushimi usloviyu Lipshica v oblasti , k postroeniyu kotoroi my pristupaem.

V prostranstvah i vvedem normy, kotorye budem oboznachat' edinym simvolom , chto ne privodit k putanice. Oni induciruyut normu v i rasstoyaniya v etih treh prostranstvah. Dlya vektor-funkcii , , vvedem normu pri fiksirovannom i ravnomernuyu normu:

Pust'  - dekartovo proizvedenie vypuklyh kompaktov i . Vvedem virtual'noe vremya . Tak kak sistema (5) avtonomna, za nachalo otscheta vremeni mozhno vzyat' epohu . Nashi postroeniya legche provodit' dlya polutraektorii, pochemu my i ogranichilis' budushim. Proshloe v avtonomnoi sisteme obladaet temi zhe svoistvami, a nuzhnoe vposledstvii ob'edinenie proshlogo i budushego legkovypolnimo. Rassmotrim mnozhestvo - dekartovo proizvedenie mnozhestva nepreryvnyh na funkcii so znacheniyami v i mnozhestva postoyannyh takih, chto pri kazhdom . Za primem mnozhestvo tochek iz , predstavimyh v vide pri i fiksirovannom . Oboznacheniya soglasovany: pri . Za primem ob'edinenie po vsem .

Soglasno lemmam 1, 2 (s uchetom vypuklosti dekartova proizvedeniya vypuklyh mnozhestv) i vypukly i sovpadayut s mnozhestvom tochek, predstavimyh v vide pri , pri fiksirovannom i pri vseh sootvetstvenno. Eto - klyuchevoi moment dlya dal'neishego. Hotya my ne znaem povedeniya traektorii sistemy (5) kak funkcii real'nogo vremeni, my ustanavlivaem oblast', v kotoroi oni nahodyatsya, issleduya zavisimost' fazovyh koordinat kak lineinyh funkcii virtual'nogo vremeni.

V obshem sluchae naidutsya nachal'nye dannye iz takie, chto otvechayushaya im polutraektoriya pokinet . Chtoby etogo ne sluchilos', suzim oblast' nachal'nyh dannyh do , gde  - mnozhestvo tochek iz , otstoyashih ot granicy ne menee, chem na , . Po lemme 3  - vypuklyi kompakt. Dlya nepustoty potrebuem

gde  - rasstoyanie ot granicy do naibolee udalennoi ot nee tochki .

Teper' my v sostoyanii sformulirovat' osnovnuyu teoremu.

Teorema 1. Dana sistema (5) s nepreryvnoi i udovletvoryayushei usloviyu Lipshica v funkciei . Schitaem funkciei virtual'nogo vremeni posredstvom

Pust' pri kazhdom i lyubom vybore , takih, chto
, , spravedlivy neravenstva

prichem mazhoranty dopuskayut integral'nye ocenki

Togda pri vseh polozhitel'nyh , podchinennyh usloviyu (6), i

1) resheniya sistemy (5) s nachal'nymi dannymi iz prodolzhimy na vsyu poluos' i ne vyhodyat iz , prinadlezha pri kazhdom ;

2) resheniya, nachinayushiesya v , mozhno naiti, ispol'zuya iteracii, shodyashiesya so skorost'yu geometricheskoi progressii; shodimost' k ravnomerna otnositel'no nachal'nyh dannyh i vremeni na mnozhestve , shodimost' k ravnomerna na mnozhestve pri lyubom ;

3) pri peremennye stremyatsya k postoyannym;

4) esli predel vektora otlichen ot nulya, to vektor pri stremitsya k lineinoi funkcii vremeni.

Poyasnim smysl chetvertogo utverzhdeniya. Oboznachim

Togda . V to zhe vremya raznost' mozhet ne byt' ogranichennoi.

Dokazatel'stvo. Zamenim (5) s nachal'nymi dannymi pri ravnosil'noi sistemoi integral'nyh uravnenii

Obrazuem posledovatel'nost' priblizhenii pikarovskogo tipa. Za nachal'noe voz'mem integriruemyi sluchai . Dalee v kachestve priblizheniya dlya medlennyh peremennyh primem pravuyu chast' pervoi iz formul (10), kuda podstavleno predydushee priblizhenie. Dlya bystryh zhe peremennyh sprava v (10) prisutstvuyut tol'ko medlennye peremennye, i my mozhem podstavit' tuda tekushee priblizhenie. Takim obrazom,

Indeks sverhu vsegda oboznachaet nomer priblizheniya, snizu - nomer komponenty.

Nulevoe priblizhenie s nachal'nymi dannymi iz s ochevidnost'yu ne vyhodit iz .

Pereidem k pervomu priblizheniyu.

V silu (7, 8)

Vsledstvie (9) imeem , poetomu , tak chto pri lyubom spravedlivo . Otsyuda

Dalee deistvuem po indukcii, predpolagaya pri . Soglasno (12)

gde

Po induktivnomu predpolozheniyu obe tochki i
lezhat v . Vospol'zuemsya ocenkami (7):

Analogichno (14) imeem

Podstavlyaya (17) v (16), a rezul'tat - v (15), poluchim s uchetom (8)

gde

Sprava v (9) stoit vozrastayushaya funkciya ot , poetomu iz (9) sleduet

tak chto i operator perehoda ot k yavlyaetsya szhimayushim. Iz (18, 13) vytekaet

Slozhenie neravenstv (19) pozvolyaet zapisat'

Neravenstvo (9) vlechet

Poetomu pri lyubyh i tochka lezhit v , sootvetstvenno tochka lezhit v , prichem

Oboznachim cherez predely pri . Dokazatel'stvo togo, chto predely sushestvuyut, predstavlyayut soboi reshenie (5) i spravedlivy pervye dva utverzhdeniya teoremy, povtoryaet dokazatel'stvo klassicheskoi teoremy Pikara-Lindelefa [18]. Privedem lish' neskol'ko poleznyh formul:

Sopostavlenie (7, 8, 10) pokazyvaet, chto sushestvuet konechnyi predel

Pust' . Soglasno (10) predstavim dlya dostatochno bol'shih v vide , gde

Sdvigom nachala otscheta vremeni i, vozmozhno, izmeneniem znaka mozhno dobit'sya polozhitel'nosti i neotricatel'nosti .

Togda

Iz stremleniya k nulyu pri sleduet .

Teorema dokazana.

Zamechanie. Issleduemye v mehanike uravneniya dvizheniya, kak pravilo, invariantny otnositel'no peremeny znaka vremeni. Sistema (5) perehodit v sebya pri podstanovke . Poetomu teorema 1 ostaetsya spravedlivoi i dlya proshlogo pri estestvennyh izmeneniyah uslovii. Imenno, oboznachim oblasti cherez , a analogichnye oblasti, zametaemye polutraektoriyami pri , cherez . Dokazannye svoistva perenosyatsya i na , prichem
. Dlya spravedlivosti teoremy 1 pri otricatel'nyh s ochevidnymi pereformulirovkami nado lish' zamenit' (8) na

Oboznachim cherez ob'edinenie . Ochevidno, pri pri . Utverzhdenie teoremy 1 ostaetsya spravedlivym s sootvetstvuyushimi pereformulirovkami pri , esli v (24) zamenit' predely integrirovaniya na . Zametim tol'ko, chto beskonechnaya v obe storony oblast' uzhe ne budet v obshem sluchae vypukloi, chto ne sushestvenno: igraet rol' tol'ko vypuklost' .

---

<< 1. Vvedenie | Oglavlenie | 3. Razlet bez sblizhenii >>

Publikacii s klyuchevymi slovami: Nebesnaya mehanika - zadacha n-tel - zadacha treh tel Publikacii so slovami: Nebesnaya mehanika - zadacha n-tel - zadacha treh tel

Sm. takzhe: Saimon N'yukom (1835 -1909) k 175-letiyu so dnya rozhdeniya. Naum Il'ich Idel'son - 125 let so dnya rozhdeniya Metody teorii special'nyh vozmushenii v nebesnoi mehanike K 90-letiyu Aleksandra Aleksandrovicha Orlova Dinamika zvezdnyh skoplenii Prosteishaya forma predstavleniya gradienta gravitacionnogo potenciala nebesnyh tel Evolyuciya elementov orbit Yupitera i Saturna na dlitel'nyh intervalah vremeni Vse publikacii na tu zhe temu >>