<< 3.1. Uravneniya dvizheniya | Oglavlenie | 4. Integriruemost' >>

3.2. Oblasti i mazhoranty

V prostranstve polozhenii i prostranstve skorostei razmernosti vvedem normu - naibol'shuyu iz dlin sostavlyayushih ego trehmernyh vektorov

Za oblast' primem proizvedenie trehmernyh sharov

pri polozhitel'nyh . Oblast' poluchaetsya iz zamenoi na . Vypuklyi kompakt sovpadaet s mnozhestvom tochek pri fiksirovannom i ; . Schitaem .

Na postoyannye nalozhim ogranicheniya, garantiruyushie bystryi razlet tel bez tesnyh sblizhenii. Imenno, pust'

Zdes'

Indeksy nezavisimo izmenyayutsya ot do N s propuskom znachenii .

Neravenstva , garantiruyut, chto tochki v oblasti otdeleny drug ot druga i obladayut nenulevymi otnositel'nymi skorostyami. Polozhitel'nost' obespechivaet nekollinearnost' vektorov otnositel'nogo polozheniya i otnositel'noi skorosti . Tochnee, polozhitel'nost' ravnosil'na

chto vlechet otsutstvie tesnyh sblizhenii. Zdes'  - ugol mezhdu vektorami i . Neravenstva (28) s ochevidnost'yu sovmestny: dostatochno schitat' malymi , konechnymi i nekollinearnymi vektory .

Perehodim k opredeleniyu . Na mnozhestve

V silu (27)

otkuda po neravenstvu treugol'nika

chto polozhitel'no soglasno (28). Takim obrazom,

Vyvod vtorogo iz neravenstv (31) povtoryaet vyvod pervogo s tochnost'yu do oboznachenii. Dalee,

Soglasno (30, 31, 32) na mnozhestve

V silu (26) mozhno polozhit'

S uchetom pervogo iz neravenstv (57) prilozheniya dopustimo schitat'

Poskol'ku ne zavisit ot , to .

Perehodim k opredeleniyu . V silu (26)

Soglasno formule (56) prilozheniya

Chislitel' sprava ne prevoshodit

tak chto

Formuly (7, 37, 33) pokazyvayut, chto mozhno polozhit'

S pomosh'yu poslednego iz neravenstv (57) prilozheniya ustanavlivaem, chto dopustimo schitat'

Itak, my nahodimsya v usloviyah teoremy 1 (s uchetom zamechaniya na s. ) pri . Sformuliruem rezul'tat.

Teorema 2. Pri vseh polozhitel'nyh i vektorah , podchinennyh usloviyam (28) i

gde opredeleny formulami ,

1) resheniya sistemy (25) s nachal'nymi dannymi iz prodolzhimy na vsyu os' vremeni i ne vyhodyat iz , prinadlezha pri kazhdom ;

2) resheniya, nachinayushiesya v , mozhno naiti s pomosh'yu iteracii, shodyashihsya so skorost'yu geometricheskoi progressii; shodimost' k ravnomerna otnositel'no nachal'nyh dannyh i vremeni na mnozhestve , shodimost' k ravnomerna na mnozhestve pri lyubom ;

3) pri i peremennye stremyatsya k postoyannym;

4) vektory (za isklyucheniem ne bolee odnogo iz nih) stremyatsya k lineinym funkciyam vremeni.

Dokazatel'stvo. Usloviya (28) vlekut (7, 8) pri i , opredelyaemyh po (35, 39). Neravenstvo (9) sleduet iz (40) pri . Vse usloviya teoremy 1 vypolneny, otkuda sleduet spravedlivost' pervyh treh utverzhdenii teoremy 2.

Ravenstvo

mozhet vypolnyat'sya tol'ko v tom sluchae, esli shar soderzhit nachalo koordinat. Vtoroe iz uslovii (28) pokazyvaet, chto trehmernye shary otdeleny drug ot druga. Poetomu (41) mozhet byt' spravedlivym ne bolee chem dlya odnogo znacheniya indeksa.

Teorema dokazana.

Ostanovimsya eshe raz na fizicheskom smysle uslovii teoremy 2. Oni nalozheny na parametry sistemy, kakovymi yavlyayutsya massy , i oblast' nachal'nyh dannyh, opisyvaemuyu postoyannymi . Podcherknem, chto vse ogranicheniya proveryayutsya tol'ko dlya epohi . Vypolnenie vtorogo i tret'ego uslovii (28) oznachaet, chto lyubye dve tochki sistemy otdeleny drug ot druga kak v prostranstve polozhenii, tak i v prostranstve skorostei. Poslednee iz uslovii (28) oznachaet, chto vektory vzaimnoi skorosti i polozheniya lyubyh dvuh tochek nekollinearny. Tochnee, ugol mezhdu vektorami podchinen usloviyu (29).

Pervoe iz uslovii (40) vyrazhaet malost' mass . Tochnee, malost' otnosheniya modulya gravitacionnoi potencial'noi energii sistemy k ee kineticheskoi energii. Ili inache, real'naya massa sistemy mnogo men'she ee virial'noi massy. Vtoroe iz uslovii (40) oznachaet, chto dlya lyubyh dvuh tochek otnoshenie kvadrata parabolicheskoi skorosti k vzaimnoi skorosti malo po sravneniyu so skorost'yu , na kotoruyu nuzhno otstupit' dlya polucheniya iz .

Zamechanie. Vse perechislennye usloviya sovmestny: dostatochno vybrat' nekollinearnye , malye , a zatem malye . Mozhno snachala fiksirovat' lyubye i vybrat' dostatochno bol'shie skorosti razleta . Takim obrazom, teorema 2 (kak i posleduyushie) primenima k zadache s proizvol'nym chislom tel N i proizvol'nymi massami .

Esli ogranichit'sya tol'ko budushim, to uslovie stanovitsya neobyazatel'nym: dostatochno isklyuchit' sblizheniya lish' pri . Sformuliruem rezul'tat, izmenyaya smysl postoyannyh i sohranyaya smysl ostal'nyh.

Teorema 3. Pri vseh polozhitel'nyh i vektorah , podchinennyh usloviyam

gde

1) resheniya sistemy (25) s nachal'nymi dannymi iz prodolzhimy na vsyu poluos' i ne vyhodyat iz , prinadlezha pri kazhdom ;

2) resheniya, nachinayushiesya v , mozhno naiti s pomosh'yu iteracii, shodyashihsya so skorost'yu geometricheskoi progressii; shodimost' k ravnomerna otnositel'no nachal'nyh dannyh i vremeni na mnozhestve , shodimost' k ravnomerna na mnozhestve pri lyubom ;

3) pri peremennye stremyatsya k postoyannym;

4) vektory (za isklyucheniem ne bolee odnogo iz nih) stremyatsya k lineinym funkciyam vremeni.

Dokazatel'stvo. Iz (30, 42) sleduet pri

Vmesto (34, 38) teper'

tak chto po lemme 6 za mozhno prinyat' znacheniya (44). Ostal'noe yasno.

---

<< 3.1. Uravneniya dvizheniya | Oglavlenie | 4. Integriruemost' >>

Publikacii s klyuchevymi slovami: Nebesnaya mehanika - zadacha n-tel - zadacha treh tel Publikacii so slovami: Nebesnaya mehanika - zadacha n-tel - zadacha treh tel

Sm. takzhe: Saimon N'yukom (1835 -1909) k 175-letiyu so dnya rozhdeniya. Naum Il'ich Idel'son - 125 let so dnya rozhdeniya Metody teorii special'nyh vozmushenii v nebesnoi mehanike K 90-letiyu Aleksandra Aleksandrovicha Orlova Dinamika zvezdnyh skoplenii Prosteishaya forma predstavleniya gradienta gravitacionnogo potenciala nebesnyh tel Evolyuciya elementov orbit Yupitera i Saturna na dlitel'nyh intervalah vremeni Vse publikacii na tu zhe temu >>