15.2. Simmetriya i integraly dvizheniya zvezdnoi sistemy
Rassmotrim svoistva funkcii fazovoi plotnosti zvezdnoi sistemy v ramkah zvezdnoi dinamiki. Pri etom zvezdy rassmatrivayutsya kak tochechnye tyagoteyushie massy. Opredelim funkciyu fazovoi plotnosti kak plotnost' raspredeleniya veroyatnosti naiti zvezdu v elemente shestimernogo fazovogo prostranstva:
Napomnim, chto integrirovanie funkcii fazovoi plotnosti po skorostyam daet prostranstvennoe raspredelenie zvezd v sisteme, a integrirovanie po vsem prostranstvennym koordinatam privodit k plotnosti raspredeleniya skorostei tochek sistemy. Po svoemu fizicheskomu smyslu funkciya fazovoi plotnosti vezde polozhitel'na, a pri stremlenii lyuboi iz shesti fazovyh koordinat k beskonechnosti ona dolzhna dostatochno bystro stremit'sya k nulyu, tak kak integral ot etoi funkcii po vsem peremennym raven chislu zvezd v sisteme i dolzhen byt' konechen.
Pust' F(x,y,z,t) est' gravitacionnyi potencial sistemy. Dvizhenie material'noi tochki opisyvaetsya uravneniyami:
Rassmotrim gruppu zvezd v dvizhushemsya elemente fazovogo prostranstva. Neizmennost' chisla zvezd v gruppe pozvolyaet priravnyat' znacheniya funkcii fazovoi plotnosti v momenty t i t+dt, t.e. Ψ(t) = Ψ(t + dt). Razlozhiv pravuyu chast' etogo ravenstva v ryad Teilora i ogranichivayas' pervymi stepenyami prirashenii, poluchim lineinoe odnorodnoe differencial'noe uravnenie v chastnyh proizvodnyh pervogo poryadka, kotoromu dolzhna udovletvoryat' funkciya fazovoi plotnosti:
Pri vyvode etogo uravneniya proizvodnye ot skorostei po prostranstvennym koordinatam zameneny na chastnye proizvodnye ot potenciala v silu uravnenii dvizheniya (15-8). Uravnenie (15-9) yavlyaetsya
fundamental'nym uravneniem besstolknovitel'noi zvezdnoi dinamiki i, po suti, predstavlyaet soboi uravnenie nerazryvnosti dlya funkcii fazovoi plotnosti, yavlyayas' analogom uravneniya Bol'cmana dlya gaza nevzaimodeistvuyushih chastic. V sluchae zametnoi roli vzaimodeistviya mezhdu zvezdami, vmesto nulya v pravoi chasti (15-9) poyavlyaetsya tak nazyvaemyi stolknovitel'nyi chlen, rezko uslozhnyayushii analiz uravneniya.
Resheniem uravneniya v chastnyh proizvodnyh yavlyaetsya proizvol'naya funkciya ot nezavisimyh integralov sootvetstvuyushei sistemy obyknovennyh differencial'nyh uravnenii Lagranzha:
Esli my raspolagaem vyrazheniem dlya gravitacionnogo potenciala, to v principe mozhem naiti
shest' integralov sistemy (15-10) i zapisat' vyrazhenie dlya funkcii fazovoi plotnosti. Pri etom sleduet pomnit', chto vmesto potenciala my mozhem ispol'zovat' raspredelenie plotnosti massy v Galaktike, tak kak ona svyazana s gravitacionnym potencialom uravneniem Puassona.
Zadacha neskol'ko uproshaetsya, esli zvezdnaya sistema obladaet simmetriei. Izvestnaya teorema teoreticheskoi mehaniki, dokazannaya v nachale HH-go veka E. Neter, v uproshennoi formulirovke glasit, chto kazhdomu nepreryvno zavisyashemu ot odnogo parametra preobrazovaniyu, ne menyayushemu funkcional deistviya, sootvetstvuet zakon sohraneniya - nekii integral uravnenii dvizheniya. Takimi preobrazovaniyami yavlyayutsya preobrazovaniya simmetrii. Pri etom otmetim, chto Dzhins v 1915 godu dokazal teoremu, kotoraya glasit, chto dlya horosho peremeshannogo zvezdnogo naseleniya funkciya fazovoi plotnosti mozhet byt' zapisana tol'ko kak funkciya integralov dvizheniya: Ψ = Ψ(I1,...,I6). Nas obychno interesuet vid funkcii Ψ v zavisimosti ot prostranstvennyh koordinat i komponentov prostranstvennoi skorosti, tak chto neobhodimo podstavit' v vyrazhenie dlya Ψ yavnyi vid integralov dvizheniya. Konkretnyi vid funkcii fazovoi plotnosti mozhno naiti tol'ko iz nablyudenii, pri etom nekotoruyu informaciyu o svoistvah funkcii Ψ mozhno poluchit' iz samyh obshih soobrazhenii o simmetrii rassmatrivaemoi zvezdnoi sistemy. Rassmotrim neskol'ko primerov.
1) Pust' potencial i funkciya fazovoi plotnosti ne zavisyat yavno ot vremeni, t.e. ∂Ψ/∂t i sistema stacionarna. Perepishem tri pary uravnenii iz (15-10) v vide:
Slozhim eti vyrazheniya i poluchim:
Sleva i sprava v (15-12) stoyat polnye differencialy, chto pozvolyaet legko prointegrirovat' eti vyrazheniya i zapisat':
Esli perenesti potencial v levuyu chast', my poluchim vsem izvestnuyu zapis' vyrazheniya dlya
integrala energii: I
1 = V
2 - 2F. Esli by bol'she ne nashlos' integralov sistemy (15-10), funkciya fazovoi plotnosti opisyvalas' by vyrazheniem Ψ = Ψ(V
2 - 2F), a raspredelenie skorostei poluchilos' by sfericheski simmetrichnym. Iz obsuzhdavshihsya v predydushih lekciyah nablyudatel'nyh dannyh yasno, chto etot sluchai v Galaktike ne vypolnyaetsya.
Otmetim, chto esli skorost' zvezdy takova, chto V2 - 2F > 0, to V > (2F)1/2 i zvezda pokinet sistemu. Uslovie V = (2F)1/2 opredelyaet kriticheskuyu skorost' ili skorost' otryva v zvezdnoi sisteme. Vspomnim, chto grubuyu ocenku kriticheskoi skorosti iz nablyudenii my poluchili, rassmatrivaya dvizheniya zvezd i ne nahodya zvezd s ochen' bol'shimi skorostyami. Tak iz nablyudenii mozhno ocenit' znachenie potenciala tyagoteniya dlya okrestnostei Solnca v predpolozhenii, chto samaya bol'shaya nablyudaemaya skorost' blizka k skorosti otryva.
2) Esli potencial imeet sfericheskuyu simmetriyu, to krome I1 poluchim eshe tri nezavisimyh integrala ploshadei (integraly sohraneniya vrashatel'nyh momentov otnositel'no treh osei):
Chastnoe reshenie dlya funkcii fazovoi plotnosti budet proizvol'noi funkciei chetyreh integralov:
Ψ = Ψ(I1,I2,I3,I4) Pri etom chtoby imela mesto sfericheskaya simmetriya, funkciya fazovoi plotnosti mozhet zaviset' tol'ko ot radius-vektora
r = (x2 + y2 + z2)1/2 , a ne ot koordinat x,y,z neposredstvenno. Chtoby vypolnit' eto uslovie pereidem k polnomu uglovomu momentu, pererazlozhiv polnuyu skorost' po komponentam sfericheskih koordinat :
Otsyuda
I22 + I32 + I42 = r2(VΘ2 + Vφ2). Funkciya fazovoi plotnosti v etom sluchae est'
Zdes' my imeem ellipsoid skorostei s odinakovymi osyami po uglovym peremennym, no szhatyi ili rastyanutyi v radial'nom napravlenii.
3) Rassmotrim sluchai cilindricheskoi simmetrii, chto, kak pokazyvayut nablyudatel'nye dannye, s horoshei stepen'yu priblizheniya vypolnyaetsya v nashei Galaktike. V etom sluchae krome integrala energii mozhno naiti tol'ko odin integral ploshadei:
V cilindricheskoi galaktocentricheskoi sisteme koordinat
I2 = RVΘ Novym chastnym resheniem osnovnogo uravneniya budet, sledovatel'no,
Zdes' komponenty skorosti po r i z vhodyat v vyrazhenie dlya fazovoi plotnosti simmetrichno, tak chto ellipsoid skorostei imeet dve ravnye osi (ellipsoid vrasheniya), i tol'ko szhat ili rastyanut v napravlenii galakticheskogo vrasheniya.
Ni v odnom iz perechislennyh sluchaev nel'zya poluchit' polnyi nabor integralov. Otmetim, chto my poluchili dlya osesimmetrichnoi Galaktiki integraly, upravlyayushie dvizheniyami po osyam, lezhashim v ploskosti Galaktiki, i dolzhen sushestvovat' integral, upravlyayushii dvizheniem po osi z. Yasno takzhe, chto obshego resheniya nel'zya poluchit' bez znaniya tochnogo vyrazheniya dlya gravitacionnogo potenciala Galaktiki.
