Geometriya zvezdnogo neba

V.Yu. Protasov
Moskovskii Gosudarstvennyi Universitet, Mehaniko-matematicheskii fakul'tet, Vorob'evy Gory, Moskva, 119992, e-mail: v-protassov@yandex.ru

Nebo nad golovoi - samyi drevnii uchebnik geometrii. Pervye ponyatiya, takie kak tochka i krug - ottuda. Skoree dazhe ne uchebnik, a zadachnik. V kotorom otsutstvuet stranichka s otvetami. Dva kruga odinakovogo razmera - Solnce i Luna, dvizhutsya po nebu, kazhdyi so svoei skorost'yu. Ostal'nye ob'ekty - svetyashiesya tochki, dvizhutsya vse vmeste, slovno oni prikrepleny k sfere, vrashayusheisya so skorost'yu 1 oborot v 24 chasa. Pravda, sredi nih est' isklyucheniya - 5 tochek dvizhutsya kak im vzdumaetsya. Dlya nih podobrali osoboe slovo - "planeta", po-grecheski - "brodyaga". Skol'ko chelovechestvo sushestvuet, ono pytaetsya razgadat' zakony etogo vechnogo dvizheniya. Pervyi proryv proizoshel v 3 veke do n.e., kogda grecheskie uchenye, vzyav na vooruzhenie moloduyu nauku - geometriyu, smogli poluchit' pervye rezul'taty ob ustroistve Vselennoi. Ob etom i poidet rech'. Chtoby imet' nekotoroe predstavlenie o slozhnosti zadachi, rassmotrim takoi primer. Predstavim sebe svetyashiisya shar diametrom 10 sm., nepodvizhno visyashii v prostranstve. Nazovem ego . Vokrug nego na rasstoyanii chut' bol'she 10 metrov obrashatsya malen'kii sharik  diametrom 1 millimetr, a vokrug  na rasstoyanii  sm. obrashaetsya sovsem krohotnyi sharik , ego diametr - chetvert' millimetra. Na poverhnosti srednego sharika  zhivut mikroskopichekie sushestva. Oni obladayut nekim razumom, no pokidat' predely svoego sharika ne mogut. Vse chto oni mogut - smotret' na dva drugih shara - i . Sprashivaetsya, mogut li oni uznat' diametry etih sharov, i izmerit' rasstoyaniya do nih ? Skol'ko ni dumai, delo, kazalos' by, beznadezhnoe. My narisovali sil'no umen'shennuyu model' Solnechnoi sistemy ( - Solnce, - Zemlya, - Luna). Vot takaya zadacha stoyala pered drevnimi astronomami. I oni ee reshili ! Bolee 22 vekov nazad, ne pol'zuyas' nichem, krome s samoi elementarnoi geometrii, na urovne 8 klassa (svoistva pryamoi i okruzhnosti, podobnye treugol'niki i teorema Pifagora). I, konechno, nablyudaya za Lunoi i za Solncem. Nad resheniem trudilis' neskol'ko uchenyh. My vydelim dvuh. Eto matematik Eratosfen, izmerivshii radius zemnogo shara, i astronom Aristarh, vychislivshii razmery Luny, Solnca i rasstoyaniya do nih. Kak oni eto sdelali ?

E.N.Koneva, M.V.Perepuhov. Cherez terniii k zvezdam

To, chto Zemlya ne ploskaya, lyudi znali davno. Drevnie moreplavateli nablyudali, kak postepenno menyaetsya kartina zvezdnogo neba: stanovyatsya vidny novye sozvezdiya, a drugie, naprotiv, zahodyat za gorizont. Uplyvayushie vdal' korabli "uhodyat pod vodu", poslednimi skryvayutsya iz vida verhushki ih macht. Kto pervyi vyskazal ideyu o sharoobraznosti Zemli, neizvestno. Skoree vsego - pifagoreicy, schitavshie shar sovershenneishei iz figur. Poltora veka spustya Aristotel' privodit neskol'ko dokazatel'stv togo, chto Zemlya - shar. Glavnoe iz nih: vo vremya lunnogo zatmeniya na poverhnosti Luny otchetlivo vidna ten' ot Zemli, i eta ten' kruglaya ! S teh por postoyanno predprinimalis' popytki izmerit' radius zemnogo shara. Dva prostyh sposoba izlozheny v uprazhneniyah 1 i 2. Izmereniya, pravda, poluchalis' netochnymi. Aristotel', naprimer, oshibsya bolee, chem v poltora raza. Schitaetsya, chto pervym, komu udalos' sdelat' eto s vysokoi tochnost'yu, byl grecheskii matematik Eratosfen Kirenskii (276-194 do n. e.). Ego imya teper' vsem izvestno, blagodarya reshetu Eratosfena - sposobu nahodit' prostye chisla (ris.1). Esli vycherknut' iz natural'nogo ryada edinicu, zatem vycherkivat' vse chetnye chisla, krome pervogo (samogo chisla ), zatem vse chisla, kratnye trem, krome pervogo iz nih (chisla ), i t.d., to v rezul'tate ostanutsya odni prostye chisla.

Ris. 1.

Dlya sovremennikov Eratosfen byl znamenit kak krupneishii uchenyi-enciklopedist, zanimavshiisya ne tol'ko matematikoi, no i geografiei, kartografiei i astronomiei. On dolgoe vremya vozglavlyal Aleksandriiskuyu biblioteku - centr mirovoi nauki togo vremeni. Rabotaya nad sostavleniem pervogo atlasa Zemli (rech', konechno, shla ob izvestnoi k tomu vremeni ee chasti), on zadumal provesti tochnoe izmerenie zemnogo shara. Ideya byla takova. V Aleksandrii vse znali, chto na yuge, v gorode Siena (sovremennyi Asuan) odin den' v godu, v polden', Solnce dostigaet zenita. Ischezaet ten' ot vertikal'nogo shesta, na neskol'ko minut osveshaetsya dno kolodca. Proishodit eto v den' letnego solncestoyaniya, 22 iyunya - den' naivysshego polozheniya Solnca na nebe. Eratosfen napravlyaet svoih pomoshnikov² v Sienu, i te ustanavlivayut, chto rovno v polden' (po solnechnym chasam) Solnce nahoditsya tochno v zenite. Odnovremenno (kak napisano v pervoistochnike: "v tot zhe chas"), t.e., v polden' po solnechnym chasam, Eratosfen izmeryaet dlinu teni ot vertikal'nogo shesta v Aleksandrii. Poluchilsya treugol'nik ( - shest, - ten', ris.2).

Ris. 2.

Itak, solnechnyi luch v Siene perpendikulyaren poverhnosti Zemli, a znachit prohodit cherez ee centr - tochku . Parallel'nyi emu luch v Aleksandrii sostavlyaet ugol s vertikal'yu. Pol'zuyas' ravenstvom nakrestlezhashih uglov pri parallel'nyh, zaklyuchaem, chto . Esli oboznachit' cherez cherez dlinu okruzhnosti, a cherez  dlinu ee dugi , to poluchaem proporciyu  . Ugol  v treugol'nike Eratosfen izmeril, poluchilos' . Velichina  - ne chto inoe, kak dlina puti ot Aleksandrii do Sieny, primerno  km. Ee Eratosfen akkuratno vychislyaet, ishodya iz srednego vremeni dvizheniya verblyuzh'ih karavanov, regulyarno hodivshih mezhdu dvumya gorodami, a takzhe, ispol'zuya dannye bematistov - lyudei special'noi professii, izmeryavshih rasstoyaniya shagami. Teper' ostalos' reshit' proporciyu  , poluchiv dlinu okruzhnosti (t.e., dlinu zemnogo merediana)  km. Togda radius Zemli  raven , eto primerno  km. To, chto dlina zemnogo merediana vyrazhaetsya stol' kruglym chislom v  km., ne udivitel'no, esli vspomnit', chto edinica dliny v 1 metr i byla vvedena (vo Francii v konce 18 veka), kak odna sorokamillionnaya chast' okruzhnosti Zemli (po opredeleniyu !). Eratosfen, konechno, ispol'zoval druguyu edinicu izmereniya - stadii (okolo 200 m). Stadiev bylo neskol'ko: egipetskii, grecheskii, vavilonskii, i kakim iz nih pol'zovalsya Eratosfen - neizvestno. Poetomu trudno sudit' navernyaka o tochnosti ego izmereniya. Krome togo, neizbezhnaya oshibka voznikala v silu geograficheskogo polozheniya dvuh gorodov. Eratosfen rassuzhdal tak: esli goroda nahodyatsya na odnom merediane (t.e., Aleksandriya raspolozhena v tochnosti k severu ot Sieny), to polden' v nih nastupaet odnovremenno. Poetomu, sdelav izmereniya vo vremya naivysshego polozheniya Solnca v kazhdom gorode, my dolzhny poluchit' pravil'nyi rezul'tat. No na samom dele Aleksandriya i Siena - daleko ne na odnom merediane. Seichas v etom legko ubedit'sya, vzglyanuv na kartu, no u Eratosfena takoi vozmozhnosti ne bylo, on kak raz i rabotal nad sostavleniem pervyh kart. Poetomu ego metod (absolyutno vernyi !) privel k oshibke v opredelenii radiusa Zemli. Tem ne menee, mnogie issledovateli uvereny, chto tochnost' izmereniya Eratosfena byla vysoka, i chto on oshibsya menee, chem na . Esli eto tak, to uluchshit' etot rezul'tat chelovechestvo smoglo tol'ko cherez 2 tysyachi let, v seredine 19 veka. Nad etim trudilas' gruppa uchenyh vo Francii i ekspediciya V.Ya.Struve v Rossii. Dazhe v epohu velikih geograficheskih otkrytii, v 16 veke, lyudi ne smogli dostich' rezul'tata Eratosfena, i pol'zovalis' nevernym znacheniem dliny zemnoi okruzhnosti v 37.000 km. Ni Kolumb, ni Magellan ne znali, kakovy istinnye razmery Zemli, i kakie rasstoyaniya im pridetsya preodolevat'. Oni-to schitali, chto dlina ekvatora na 3 tysyachi km. men'she, chem na samom dele. Znali by - mozhet i ne poplyli by.

V chem prichina stol' vysokoi tochnosti metoda Eratosfena (konechno, esli on pol'zovalsya nuzhnym stadiem) ? Do nego izmereniya byli lokal'nymi, na rasstoyaniyah, obozrimyh chelovecheskim glazom, t.e., ne bolee 100 km. Takovy, naprimer, sposoby v uprazhneniyah 1 i 2. Pri etom neizbezhny oshibki iz-za rel'efa mestnosti, atmosfernyh yavlenii, i t.d. Chtoby dobit'sya bol'shei tochnosti, nuzhno provodit' izmereniya global'no, na rasstoyaniyah, sravnimyh s radiusom Zemli. Rasstoyanie v km. mezhdu Aleksandriei i Sienoi okazalos' vpolne dostatochnym.

Uprazhnenie 1. Kak vychislit' radius Zemli po sleduyushim dannym: s gory vysotoi 500 m. prosmatrivayutsya okrestnosti na rasstoyanii 80 km.?

Uprazhnenie 2. Kak vychislit' radius Zemli po sleduyushim dannym: korabl' vysotoi 20 m., otplyv ot berega na 16 km., polnost'yu ischezaet iz vida ?.

Uprazhnenie 3. Dva druga - odin v Moskve, drugoi - v Tule, berut po metrovomu shestu i stavyat ih vertikal'no. V moment, v techenie dnya, kogda ten' ot shesta dostigaet naimen'shei dliny, kazhdyi iz nih izmeryaet dlinu teni. V Moskve poluchilos'  sm., a v Tule -  sm. Vyrazite radius Zemli cherez i . Goroda raspolozheny na odnom meridiane na rasstoyanii 185 km.

Kak vidno iz uprazhneniya 3, opyt Eratosfena mozhno prodelat' i v nashih shirotah, gde Solnce nikogda ne byvaet v zenite. Pravda, dlya etogo nuzhny dve tochki obyazatel'no na odnom merediane. Esli zhe povtorit' opyt Eratosfena dlya Aleksandrii i Sieny, i pri etom sdelat' izmereniya v etih gorodah odnovremenno (seichas dlya etogo est' tehnicheskie vozmozhnosti), to my poluchim vernyi otvet, pri etom budet ne vazhno, na kakom merediane nahoditsya Siena (pochemu ?).

Pamyatnik Aristarhu-Samosskomu v Salonikah

Grecheskii ostrov Samos v Egeiskom more - teper' gluhaya provinciya. Sorok kilometrov v dlinu, vosem' - v shirinu. Na etom krohotnom ostrove v raznoe vremya rodilis' tri velichaishih geniya - matematik Pifagor, filosof Epikur i astronom Aristarh. Pro zhizn' Aristarha Samosskogo izvestno malo. Daty zhizni priblizitel'ny: rodilsya okolo 310 do n. e., umer okolo 230 do n. e. Kak on vyglyadel, my ne znaem, ni odnogo izobrazheniya ne sohranilos' (sovremennyi pamyatnik Aristarhu v grecheskom gorode Saloniki - lish' fantaziya skul'ptora). Mnogo let provel v Aleksandrii, gde rabotal v biblioteke i v observatorii. Glavnoe ego dostizhenie - kniga "O velichinah i rasstoyaniyah Solnca i Luny", po edinodushnomu mneniyu istorikov yavlyaetsya nastoyashim nauchnym podvigom. V nei on vychislyaet radius Solnca, radius Luny i rasstoyaniya ot Zemli do Luny i do Solnca. Sdelal on eto v odinochku, pol'zuyas' ochen' prostoi geometriei i vsem izvestnymi rezul'tatami nablyudenii za Solncem i Lunoi, tozhe vpolne elementarnymi. Na etom Aristarh ne ostanavlivaetsya, on delaet neskol'ko vazhneishih vyvodov o stroenii Vselennoi, kotorye namnogo operedili svoe vremya. Ne sluchaino ego nazvali vposledstvii "Kopernikom antichnosti".

Vychislenie Aristarha mozhno uslovno razbit' na tri shaga. Kazhdyi shag svoditsya k prostoi geometricheskoi zadache. Pervye dva shaga sovsem elementarny, tretii - chut' poslozhnee. V geometricheskih postroeniyah my budem oboznachat' cherez i centy Zemli, Solnca i Luny sootvetstvenno, a cherez i - ih radiusy. Vse nebesnye tela budem schitat' sharami, a ih orbity - okruzhnostyami, kak i schital sam Aristarh (hotya, kak my teper' znaem, eto ne sovsem tak). My nachinaem s pervogo shaga, i dlya etogo nemnogo ponablyudaem za Lunoi.

Shag 1. Vo skol'ko raz Solnce dal'she, chem Luna ?

Kak izvestno, Luna svetit otrazhennym solnechnym svetom. Esli vzyat' shar, i posvetit' na nego so storony bol'shim prozhektorom, to v lyubom polozhenii osveshennoi okazhetsya rovno polovina poverhnosti shara. Granica osveshennoi polusfery - okruzhnost', lezhashaya v ploskosti, perpendikulyarnoi lucham sveta. Takim obrazom, Solnce vsegda osveshaet rovno polovinu poverhnosti Luny. Vidimaya nam forma Luny zavisit ot togo, kak raspolozhena eta osveshennaya polovina. Pri novolunii, kogda Luna vovse ne vidna na nebe, Solnce osveshaet ee obratnuyu storonu. Zatem osveshennaya polusfera postepenno povorachivaetsya v storonu Zemli. My nachinaem videt' tonkii serp, zatem - mesyac ("rastushaya Luna"), dalee - polukrug (eta faza Luny nazyvaetsya "kvadraturoi"). Zatem den' oto dnya (vernee, noch' ot nochi) polukrug dorastaet do polnoi Luny. Potom nachinaetsya obratnyi process: osveshennaya polusfera ot nas otvorachivaetsya. Luna "stareet", postepenno prevrashayas' v mesyac, povernutyi k nam levoi storonoi, podobno bukve "C", i, nakonec, v noch' novoluniya ischezaet. Period ot odnogo novoluniya do drugogo dlitsya primerno chetyre nedeli. Za eto vremya Luna sovershaet polnyi oborot vokrug Zemli. Ot novoluniya do poloviny Luny prohodit chetvert' perioda, otsyuda i nazvanie "kvadratura".

Ris. 3.

Zamechatel'naya dogadka Aristarha sostoyala v tom, chto pri kvadrature solnechnye luchi, osveshayushie polovinu Luny, perpendikulyarny pryamoi, soedinyayushei Lunu s Zemlei. Takim obrazom, v treugol'nike ugol pri vershine - pryamoi (ris. 3). Esli teper' izmerit' ugol  (oboznachim ego cherez ), to poluchim, chto . Dlya prostoty my schitaem, chto nablyudatel' nahoditsya v centre Zemli. Eto nesil'no povliyaet na rezul'tat, poskol'ku rasstoyanie ot Zemli do Luny i do Solnca znachitel'no prevoshodit radius Zemli.

Itak, izmeriv ugol mezhdu luchami i vo vremya kvadratury, Aristarh vychislyaet otnoshenie rasstoyanii do Luny i do Solnca. Kak odnovremenno zastat' Solnce i Lunu na nebosvode ? Eto mozhno sdelat' rannim utrom, kogda v yasnuyu pogodu vidny oba nebesnyh tela. Slozhnost' voznikaet po drugomu, neozhidannomu, povodu. Vo vremena Aristarha ne bylo kosinusov. Pervye ponyatiya trigonometrii poyavyatsya pozzhe, v rabotah Apolloniya i Arhimeda. No Aristarh znal, chto takoe podobnye treugol'niki, i etogo bylo dostatochno. Nachertiv malen'kii pryamougol'nyi treugol'nik s tem zhe ostrym uglov , i izmeriv ego storony, poluchaem, chto , i eto otnoshenie primerno ravno . Poluchaetsya, chto Solnce v 400 raz dal'she ot Zemli, chem Luna. Etu konstantu - otnoshenie rasstoyanii ot Zemli do Solnca i ot Zemli do Luny, my my budem oboznachat' bukvoi . Itak, my nashli, chto .

Shag 2. Vo skol'ko raz Solnce bol'she Luny ?

Dlya togo, chtoby naiti otnoshenie radiusov Solnca i Luny, Aristarh privlekaet Solnechnye zatmeniya (ris.4). Oni proishodyat, kogda Luna zagorazhivaet Solnce. Pri chastichnom, ili kak govoryat astronomy, chastnom zatmenii Luna lish' prohodit po disku Solnca, ne zakryvaya ego polnost'yu. Poroi takoe zatmenie dazhe nel'zya razglyadet' nevooruzhennym glazom, Solnce svetit kak v obychnyi den'. Lish' skvoz' sil'noe zatemnenie, naprimer, zakopchenoe steklo, vidno, kak chast' solnechnogo diska zakryta chernym krugom.

Ris. 4.

Gorazdo rezhe proishodit polnoe zatmenie, kogda Luna na neskol'ko minut polnost'yu zakryvaet solnechnyi disk. V eto vremya stanovitsya temno, na nebe poyavlyayutsya zvezdy. Zatmeniya navodili uzhas na drevnih lyudei, schitalis' predvestnikami tragedii. Solnechnoe zatmenie nablyudaetsya po-raznomu v raznyh chastyah Zemli. Vo vremya polnogo zatmeniya na poverhnosti Zemli voznikaet ten' ot Luny - krug, diametr kotorogo ne prevoshodit 270 km. Lish' v teh raionah zemnogo shara, po kotorym prohodit eta ten', mozhno nablyudat' polnoe zatmenie. Poetomu v odnom i tom zhe meste polnoe zatmenie proishodit kraine redko - v srednem raz v 200-300 let. Aristarhu povezlo - on smog nablyudat' polnoe solnechnoe zatmenie sobstvennymi glazami. Na bezoblachnom nebe Solnce postepenno nachalo tusknet' i umen'shat'sya v razmerah, ustanovilis' sumerki. Na neskol'ko mgnovenii Solnce ischezlo. Potom proglyanul pervyi luch sveta, solnechnyi disk stal rasti, i vskore Solnce zasvetilo v polnuyu silu. Pochemu zatmenie dlitsya stol' korotkoe vremya ? Aristarh otvechaet na etot vopros: prichina v tom, chto Luna imeet te zhe vidimye razmery na nebe, chto i Solnce. Chto eto znachit ? Provedem ploskost' cherez centry Zemli, Solnca i Luny. Poluchivsheesya sechenie izobrazheno na risunke 5 (a). Ugol mezhdu kasatel'nymi, provedenymi iz tochki k okruzhnosti Luny nazyvaetsya uglovym razmerom Luny, ili ee uglovym diametrom. Tak zhe opredelyaetsya uglovoi razmer Solnca. Esli uglovye diametry Solnca i Luny sovpadayut, to oni imeyut odinakovye vidimye razmery na nebe, a pri zatmenii Luna deistvitel'no polnost'yu zagorazhivaet Solnce (ris. 5 (b)), no lish' na mgnovenie, kogda sovpadut luchi i . Na fotografii polnogo solnechnogo zatmeniya (sm. ris. 4) yasno vidno ravenstvo razmerov.

Ris. 5.

Vyvod Aristarha okazalsya porazitel'no tochen ! V real'nosti srednie uglovye diametry Solnca i Luny otlichayutsya vsego na . My vynuzhdeny govorit' o srednih diametrah, poskol'ku oni menyayutsya v techenie goda, tak kak planety dvizhutsya ne po okruzhnostyam, a po ellipsam.

Soediniv centr Zemli s centrami Solnca i Luny , a takzhe c tochkami kasaniya i , poluchim dva pryamougol'nyh treugol'nika i (ris. 5 (a)). Oni podobny, poskol'ku u nih est' para ravnyh ostryh uglov . Sledovatel'no, . Takim obrazom, otnoshenie radiusov Solnca i Luny ravno otnosheniyu rasstoyanii ot ih centrov do centra Zemli. Itak, . Nesmotrya na to, chto ih vidimye razmery ravny, Solnce okazalos' bol'she Luny v  raz !

Ravenstvo uglovyh razmerov Luny i Solnca - schastlivoe sovpadenie. Ono ne vytekaet iz zakonov mehaniki. U mnogih planet Solnechnoi sistemy est' sputniki: u Marsa ih dva, u Yupitera - chetyre (i eshe neskol'ko desyatkov melkih), i vse oni imeyut raznye uglovye razmery, ne sovpadayushie s solnechnym.

Teper' my pristupaem k reshayushemu i samomu slozhnomu shagu.

Shag 3. Vychislenie razmerov Solnca i Luny i rasstoyanii do nih.

Itak, nam izvestno otnoshenie razmerov Solnca i Luny, i otnoshenie ih rasstoyanii do Zemli. Eta informaciya otnositel'na: ona vosstanavlivaet kartinu okruzhayushego mira lish' s tochnost'yu do podobiya. Mozhno udalit' Lunu i Solnce ot Zemli v 10 raz, uvelichiv vo stol'ko zhe raz ih razmery, i vidimaya s Zemli kartina ostanetsya takoi zhe. Chtoby naiti real'nye razmery nebesnyh tel, nado sootnesti ih s kakim-to izvestnym razmerom. No iz vseh astronomicheskih velichin Aristarhu poka izvesten tol'ko radius zemnogo shara³  km. Pomozhet li eto ? Hot' v kakom-to iz vidimyh yavlenii, proishodyashih na nebe, poyavlyaetsya radius Zemli ? Ne sluchaino govoryat "nebo i zemlya", imeya v vidu dve nesovmestnye veshi. I vse zhe, takoe yavlenie est'. Eto - lunnoe zatmenie. S ego pomosh'yu, primeniv dovol'no hitroumnoe geometricheskoe postroenie, Aristarh vychislyaet otnoshenie radiusa Solnca k radiusu Zemli, i cep' zamykaetsya: teper' my odnovremenno nahodim radius Luny, radius Solnca, a zaodno i rasstoyaniya ot Luny i ot Solnca do Zemli.

Ris. 6.

Pri lunnom zatmenii Luna uhodit v ten' Zemli. Spryatavshis' za Zemlyu, Luna lishaetsya solnechnogo sveta, i takim obrazom, perestaet svetit'. Ona ne ischezaet iz vida polnost'yu, poskol'ku nebol'shaya chast' solnechnogo sveta rasseivaetsya zemnoi atmosferoi i dohodit do Luny v obhod Zemli. Luna temneet, priobretaya krasnovatyi ottenok (cherez atmosferu luchshe vsego prohodyat krasnye i oranzhevye luchi). Na lunnom diske pri etom otchetlivo vidna ten' ot Zemli (ris. 6). Kruglaya forma teni eshe raz podtverzhdaet sharoobraznost' Zemli. Aristarha zhe interesoval razmer etoi teni. Dlya togo, chtoby opredelit' radius kruga zemnoi teni (my sdelaem eto po fotografii na ris.6), dostatochno reshit' prostoe uprazhnenie:

Uprazhnenie 4. Na ploskosti dana duga okruzhnosti. S pomosh'yu cirkulya i lineiki postroite otrezok, ravnyi ee radiusu.

Ris. 7.

Vypolniv postroenie, nahodim, chto radius zemnoi teni primerno v raza bol'she radiusa Luny. Obratimsya teper' k risunku 7. Serym cvetom zakrashena oblast' zemnoi teni, v kotoruyu popadaet Luna pri zatmenii. Predpolozhim, chto centry okruzhnostei i lezhat na odnoi pryamoi. Provedem diametr Luny , perpendikulyarnyi pryamoi . Prodolzhenie etogo diametra peresekaet obshie kasatel'nye okruzhnostei Solnca i Zemli v tochkah i . Togda otrezok priblizhenno raven diametru teni Zemli. My prishli k sleduyushei zadache:

Zadacha 1. Dany tri okruzhnosti s centrami i , lezhashimi na odnoi pryamoi. Otrezok , prohodyashii cherez , perpendikulyaren pryamoi , a ego koncy lezhat na obshih vneshnih kasatel'nyh k pervoi i vtoroi okruzhnostyam. Izvestno, chto otnoshenie otrezka k diametru tret'ei okruzhnosti ravno , a otnoshenie diametrov pervoi i tret'ei okruzhnosti ravno . Naiti otnoshenie diametrov pervoi i vtoroi okruzhnosti.

Esli reshit' etu zadachu, to budet naideno otnoshenie radiusov Solnca i Zemli. Znachit, budet naiden radius Solnca, a s nim i Luny. No reshit' ee ne udastsya. Mozhete poprobovat' - v zadache ne dostaet odnogo dannogo. Naprimer, ugla mezhdu obshimi vneshnimi kasatel'nymi k pervym dvum okruzhnostyam. No dazhe esli etot ugol byl by izvesten, reshenie budet ispol'zovat' trigonometriyu, kotoruyu Aristarh ne znal (my formuliruem sootvetstvuyushuyu zadachu v uprazhnenii 6). On nahodit bolee prostoi vyhod. Provedem diametr pervoi okruzhnosti i diametr vtoroi, oba - parallel'nye otrezku . Pust' i - tochki peresecheniya otrezka s pryamymi i sootvetstvenno (ris. 8).

Ris. 8.

Togda v kachestve diametra zemnoi teni voz'mem otrezok vmesto otrezka . Stop, stop ! Chto znachit, "voz'mem odin otrezok vmesto drugogo" ? Oni zhe ne ravny ! Otrezok lezhit vnutri otrezka , znachit . Da, otrezki raznye, no oni pochti ravny. Delo v tom, chto rasstoyanie ot Zemli do Solnca vo mnogo raz bol'she diametra Solnca (primerno v 215 raz). Poetomu rasstoyanie mezhdu centrami pervoi i vtoroi okruzhnosti znachitel'no prevoshodit ih diametry. Znachit, ugol mezhdu obshimi vneshnimi kasatel'nymi k etim okruzhnostyam blizok k nulyu (v real'nosti on primerno ), t.e., kasatel'nye "pochti parallel'ny". Esli by oni byli v tochnosti parallel'ny, to tochki i sovpadali by s tochkami kasaniya, sledovatel'no tochka sovpala by s , i s , a znachit . Takim obrazom, otrezki i pochti ravny. Intuiciya i zdes' ne podvela Aristarha: na samom dele otlichie mezhdu dlinami otrezkov sostavlyaet menee sotoi doli procenta ! Eto - nichto po sravneniyu s vozmozhnymi pogreshnostyami izmerenii. Ubrav teper' lishnie linii, vklyuchaya okruzhnosti i ih obshie kasatel'nye, prihodim k sleduyushei zadache:

Zadacha 1'. Na bokovyh storonah i trapecii vzyaty tochki i  tak, chto otrezok parallelen osnovaniyam. Pust' i - serediny otrezkov i sootvetstvenno. Na osnovanii lezhit otrezok s seredinoi . Izvestno, chto  i . Naiti .

Reshenie. Tak kak , to , a znachit treugol'niki i podobny s koefficientom . Sledovatel'no, , i poetomu tochka  lezhit na otrezke . Analogichno,  lezhit na otrezke (ris. 9). Tak kak i , to .

Dalee, treugol'niki  i podobny. Ih koefficient podobiya raven . Sledovatel'no,

S drugoi storony,

Itak,

Iz etogo ravenstva srazu poluchaem:

Ris. 9.

Itak, otnoshenie diametrov Solnca i Zemli ravno  , a Luny i Zemli ravno  . Podstavlyaya izvestnye nam velichiny i , poluchaem, chto Luna primerno v raza men'she Zemli, a Solnce v raz bol'she Zemli. Tak kak radius Zemli nam izvesten, nahodim radiusy Luny i radius Solnca  .

Teper' rasstoyaniya ot Zemli do Luny i do Solnca vychislyayutsya v odin shag, eto mozhet byt' sdelano s pomosh'yu uglovogo diametra. Uglovoi diametr  Solnca i Luny raven primerno polgradusa (esli byt' sovsem tochnym, ). Kak drevnie astronomy ego izmeryali, ob etom rech' vperedi. Opustiv kasatel'nuyu na okruzhnost' Luny, poluchaem pryamougol'nyi treugol'nik s ostrym uglom (ris. 10).

Ris. 10.

Iz nego nahodim , chto primerno ravno , ili . Analogichno, rasstoyanie do Solnca ravno .

Vse. Razmery Solnca i Luny i rasstoyaniya da nih naideny.

Uprazhnenie 5. Dokazhite, chto pryamye i dve obshie vneshnie kasatel'nye k pervoi i vtoroi okruzhnostyam (ris. 8) peresekayutsya v odnoi tochke.

Uprazhnenie 6. Reshite zadachu 1, esli dopolnitel'no izvesten ugol mezhdu kasatel'nymi mezhdu pervoi i vtoroi okruzhnost'yu.

Uprazhnenie 7. Solnechnoe zatmenie mozhet nablyudat'sya v odnih chastyah zemnogo shara i ne nablyudat'sya drugih. A lunnoe zatmenie ?

Uprazhnenie 8. Dokazhite, chto solnechnoe zatmenie mozhet nablyudat'sya tol'ko vo vremya novoluniya, a lunnoe zatmenie - tol'ko vo vremya polnoluniya.

Uprazhnenie 9. Chto proishodit na Lune, kogda na Zemle proishodit lunnoe zatmenie ?

Na samom dele vse bylo neskol'ko slozhnee. Geometriya tol'ko formirovalas', i mnogie privychnye dlya nas, eshe s vos'mogo klassa shkoly, veshi byli v to vremya sovsem ne ochevidny. Aristarhu potrebovalos' napisat' celuyu knigu, chtoby izlozhit' to, chto my izlozhili na treh stranicah. I s eksperimental'nymi izmereniyami tozhe vse bylo neprosto. Vo-pervyh, Aristarh oshibsya s izmereniem diametra zemnoi teni vo vremya lunnogo zatmeniya, poluchiv otnoshenie , vmesto . Krome togo, on, vrode by, ishodil iz nevernogo znacheniya ugla  - uglovogo diametra Solnca, schitaya ego ravnym . No eta versiya spornaya: Arhimed v svoem traktate "Psammit" pishet, chto, naprotiv, Aristarh pol'zovalsya pochti pravil'nym znacheniem v . Odnako, samaya uzhasnaya oshibka proizoshla na pervom shage, pri vychislenii parametra - otnosheniya rasstoyanii ot Zemli do Solnca i do Luny. Vmesto u Aristarha poluchilos' . Kak mozhno bylo oshibit'sya bolee, chem v 20 raz ? Obratimsya eshe raz k shagu 1, ris 3. Dlya togo, chtoby naiti otnoshenie Aristarh izmeril ugol , i togda  . Naprimer, esli ugol  byl by raven , to my poluchili by , i Solnce bylo by vdvoe dal'she ot Zemli, chem Luna. No rezul'tat izmereniya okazalsya neozhidannym: ugol poluchalsya pochti pryamym. Eto oznachalo, chto katet vo mnogo raz prevoshodit . U Aristarha poluchilos' , i togda (napomnim, chto vse vychisleniya u nas - priblizhennye). Istinnoe znachenie ugla  , i  . Tak pogreshnost' izmereniya menee, chem v , privela k oshibke v  raz ! Zavershiv vychisleniya, Aristarh prihodit k vyvodu, chto radius Solnca raven radiusov Zemli (vmesto ).

Oshibki byli neizbezhny, uchityvaya nesovershennye izmeritel'nye pribory togo vremeni. Vazhnee to, chto metod okazalsya pravil'nym. Vskore (po istoricheskim merkam, t.e., primerno cherez 100 let) vydayushiisya astronom antichnosti Gipparh (190 - ok. 120 do n. e.) ustranit vse netochnosti i, sleduya metodu Aristarha, vychislit pravil'nye razmery Solnca i Luny. Vozmozhno, oshibka Aristarha okazalas' v rezul'tate dazhe poleznoi. Do nego gospodstvovalo mnenie, chto Solnce i Luna libo vovse imeyut odinakovye razmery (kak i kazhetsya zemnomu nalyudatelyu), libo otlichayutsya nesil'no. Dazhe otlichie v raz udivilo sovremennikov. Poetomu, ne isklyucheno, chto, naidi Aristarh pravil'noe otnoshenie  , v eto nikto by ne poveril, a mozhet byt', i sam uchenyi otkazalsya by ot svoego metoda, sochtya rezul'tat nesuraznym. Izvestnyi princip glasit, chto geometriya - eto iskusstvo horosho rassuzhdat' na ploho vypolnennyh chertezhah. Perefraziruya, mozhno skazat', chto nauka v celom - eto iskusstvo delat' vernye vyvody iz netochnyh, ili dazhe oshibochnyh, nablyudenii. I Aristarh takoi vyvod sdelal ! Za 17 vekov do Kopernika on ponyal, chto v centre mira nahoditsya ne Zemlya, a Solnce. Tak vpervye poyavilas' geliocentricheskaya model' i ponyatie Solnechnoi sistemy.

Gospodstvovavshee v Drevnem Mire predstavlenie ob ustroistve Vselennoi, znakomoe nam po urokam istorii, zaklyuchalos' v tom, chto v centre mira - nepodvizhnaya Zemlya, vokrug nee po krugovym orbitam vrashayutsya 7 planet, vklyuchaya Lunu i Solnce (kotoroe tozhe schitalos' planetoi). Zavershaetsya vse nebesnoi sferoi s prikreplennymi k nei zvezdami. Sfera vrashaetsya vokrug Zemli, delaya polnyi oborot za 24 chasa. So vremenem v etu model' mnogokratno vnosilis' ispravleniya. Tak, stali schitat', chto nebesnaya sfera nepodvizhna, a Zemlya vrashaetsya vokrug svoei osi. Zatem stali ispravlyat' traektorii dvizheniya planet: krugi zamenili cikloidami, t.e., liniyami, kotorye opisyvayut tochki okruzhnosti pri ee dvizhenii po drugoi okruzhnosti (ob etih zamechatel'nyh liniyah mozhno prochitat' v knigah G.N.Bermana "Cikloida", A.I.Markushevicha "Zamechatel'nye krivye", a takzhe v "Kvante": stat'ya S.Verova "Tainy cikloidy" N8, 1975, i stat'ya S.G.Gindikina "Zvezdnyi vek cikloidy", N6,1985). Cikloidy luchshe soglasovyvalis' s rezul'tatami nablyudenii, v chastnosti, ob'yasnyali "popyatnye" dvizheniya planet. Eto - geocentricheskaya sistema mira, v centre kotoroi - Zemlya ("geo"). Vo II v. n.e. ona prinyala okonchatel'nyi vid v knige "Al'magest" Klavdiya Ptolemeya (87-165 n.e.), vydayushegosya grecheskogo astronoma, odnofamil'ca egipetskih carei. So vremenem nekotorye cikloidy uslozhnyalis', dobavlyalis' vse novye promezhutochnye okruzhnosti. No v celom sistema Ptolemeya gospodstvovala okolo polutora tysyacheletii, do XVI veka, do otkrytii Kopernika i Keplera. Ponachalu geocentricheskoi modeli priderzhivalsya i Aristarh. Odnako, vychisliv, chto radius Solnca v  raz bol'she radiusa Zemli, on zadal prostoi vopros: pochemu takoe bol'shoe Solnce dolzhno vrashat'sya vokrug takoi malen'koi Zemli ? Ved' esli radius Solnca bol'she v  raz, to ego ob'em bol'she pochti v  raz ! Znachit, v centre mira dolzhno nahodit'sya Solnce. Vokrug nego vrashayutsya 6 planet, vklyuchaya Zemlyu.⁴ A sed'maya planeta, Luna, vrashaetsya vokrug Zemli. Tak vpervye poyavilas' geliocentricheskaya sistema mira ("gelios" - Solnce). Uzhe sam Aristarh otmechal, chto takaya model' luchshe ob'yasnyaet vidimoe dvizhenie planet po krugovym orbitam, luchshe soglasuetsya s rezul'tatami nablyudenii. No ee ne prinyali ni uchenye, ni oficial'nye vlasti. Aristarh byl obvinen v bezbozhii i podvergsya presledovaniyam. Iz vseh astronomov antichnosti, tol'ko Selevk stal storonnikom novoi modeli. Bol'she ee ne prinyal nikto, po krainei mere, u istorikov net tverdyh svedenii na etot schet. Dazhe Arhimed i Gipparh, pochitavshie Aristarha i razvivshie mnogie ego idei, ne reshilis' postavit' Solnce v centr mira. Pochemu ?

Kak zhe poluchilos', chto v techenii 17 vekov uchenye ne prinimali prostoi i logichnoi sistemy mira, predlozhennoi Aristarhom ? I eto nesmotrya na to, chto oficial'no priznannaya geocentricheskaya sistema Ptolemeya chasto davala sboi, ne soglasuyas' s rezul'tatami nablyudenii za planetami i za zvezdami. Prihodilos' dobavlyat' vse novye okruzhnosti (tak nazyvaemye, vlozhennye cikly) dlya "pravil'nogo" opisaniya dvizheniya planet. Samogo Ptolemeya trudnosti ne pugali, on pisal: "K chemu udivlyat'sya slozhnomu dvizheniyu nebesnyh tel, esli ih sushnost' nam neizvestna ?" Odnako, uzhe k XIII veku etih okruzhnostei nakopilos' 75 ! Model' stala stol' gromozdkoi, chto nachali razdavat'sya ostorozhnye vozrazheniya: neuzheli mir v samom dele ustroen tak slozhno ? Shiroko izvesten sluchai s Al'fonsom X (1226-1284), korolem Kastil'i i Leona, gosudarstva, zanimavshego chast' sovremennoi Ispanii. On, pokrovitel' nauk i iskusstv, sobravshii pri svoem dvore pyat'desyat luchshih astronomov mira, na odnoi iz nauchnyh besed obmolvilsya, chto "esli by pri sotvorenii mira Gospod' okazal mne chest' i sprosil moego soveta, mnogoe bylo by ustroeno proshe." Podobnaya derzost' ne proshalas' dazhe korolyam: Al'fons byl nizlozhen i otpravlen v monastyr'.⁵ No somneniya ostalis'. Chast' iz nih mozhno bylo by razreshit', postaviv Solnce v centr Vselennoi i prinyav sistemu Aristarha. Ego trudy byli horosho izvestny. Odnako, eshe mnogo vekov nikto iz uchenyh ne reshalsya na takoi shag. Prichiny byli ne tol'ko v strahe pered vlastyami i oficial'noi cerkov'yu, kotoraya schitala teoriyu Ptolemeya edinstvenno vernoi. I ne tol'ko v inertnosti chelovecheskogo myshleniya: ne tak-to prosto priznat', chto nasha Zemlya - ne centr mira, a lish' ryadovaya planeta. Vse-taki, dlya nastoyashego uchenogo ni strah ni stereotipy - ne prepyatstviya na puti k istine. Geliocenticheskaya sistema otvergalas' po vpolne nauchnym, mozhno dazhe skazat', geometricheskim prichinam. Esli dopustit', chto Zemlya vrashaetsya vokrug Solnca, to, ee traektoriya - okruzhnost' s radiusom ravnym rasstoyaniyu ot Zemli do Solnca. Kak my znaem, eto rasstoyanie ravno 23455 radiusov Zemli, t.e., bolee 150 millionov kilometrov. Znachit, Zemlya v techenie polugoda peremeshaetsya na 300 millionov kilometrov. Gigantskaya velichina ! No kartina zvezdnogo neba dlya zemnogo nablyudatelya pri etom ostaetsya takoi zhe. Zemlya to priblizhaetsya, to udalyaetsya ot zvezd na 300 millionov kilometrov, no ni vidimye rasstoyaniya mezhdu zvezdami (naprimer, forma sozvezdii), ni ih yarkost' ne menyayutsya. Eto oznachaet, chto rasstoyaniya do zvezd dolzhny byt' eshe v neskol'ko tysyach raz bol'she. To est', nebesnaya sfera dolzhna imet' sovershenno nevoobrazimye razmery ! Eto, mezhdu prochim, osoznaval i sam Aristarh, kotoryi pisal v svoei knige: "Ob'em sfery nepodvizhnyh zvezd vo stol'ko raz bol'she ob'ema sfery s radiusom Zemlya-Solnce, vo skol'ko raz ob'em poslednei bol'she ob'ema zemnogo shara". T.e., po Aristarhu vyhodilo, chto rasstoyaniya do zvezd ravno , eto bolee 3.5 trillionov kilometrov (v real'nosti rasstoyanie ot Solnca do blizhaishei zvezdy eshe primerno v 11 raz bol'she. V modeli, kotoruyu my predstavili v samom nachale, kogda rasstoyanie ot Zemli do Solnca ravno 10 m., rasstoyanie do blizhaishei zvezdy ravno ... 2700 kilometrov !). Vmesto kompaktnogo i uyutnogo mira, v centre kotorogo nahoditsya Zemlya, i kotoryi pomeshaetsya vnutri otnositel'no nebol'shoi nebesnoi sfery, Aristarh narisoval bezdnu. I eta bezdna ispugala vseh.

Mezhdu tem, nevozmozhnost' geocentricheskoi sistemy mira, s krugovymi dvizheniyami vseh planet vokrug Zemli, mozhet byt' ustanovlena s pomosh'yu prostoi geometricheskoi zadachi.

Zadacha 2. Na ploskosti dany dve okruzhnosti s obshim centrom , po nim ravnomerno dvizhutsya dve tochki: tochka  po odnoi okruzhnosti, i tochka  po drugoi. Dokazhite, chto libo oni dvigayutsya v odnom napravlenii s odinakovoi uglovoi skorost'yu, libo v nekotoryi moment vremeni ugol tupoi.

Reshenie. Esli tochki dvizhutsya v odnom napravlenii s raznymi skorostyami, to cherez nekotoroe vremya luchi i okazhutsya sonapravlennymi. Dalee ugol  nachinaet monotonno vozrastat' do sleduyushego sovpadeniya, t.e., do . Sledovatel'no, v nekotoryi moment on raven . Sluchai, kogda tochki dvizhutsya v raznyh napravleniyah rassmatrivaetsya tak zhe.

Teorema 1. Situaciya, pri kotoroi vse planety Solnechnoi sistemy ravnomerno vrashayutsya vokrug Zemli po krugovym orbitam, nevozmozhna.

Dokazatel'stvo. Pust' - centr Zemli, - centr Merkuriya, a - centr Venery. Soglasno mnogoletnim nablyudeniyam, u Merkuriya i Venery raznye periody obrasheniya, a ugol  nikogda ne prevoshodit . V silu rezul'tata zadachi 2, teorema dokazana.

Konechno, drevnie greki neodnokratno vstrechalis' s podobnymi paradoksami. Imenno poetomu, chtoby spasti geocentricheskuyu model' mira, oni zastavili planety dvigat'sya ne po okruzhnostyam, a po cikloidam.

Dokazatel'stvo teoremy 1 ne sovsem chestno, poskol'ku Merkurii i Venera vrashayutsya ne v odnoi ploskosti, kak v zadache 2, a v raznyh. Hotya, ploskosti ih orbit pochti sovpadayut: ugol mezhdu nimi - vsego neskol'ko gradusov. V uprazhnenii 10 my predlagaem Vam ustranit' etot nedostatok i reshit' analog zadachi 2 dlya tochek, vrashayushihsya v raznyh ploskostyah. Drugoe vozrazhenie: mozhet byt' ugol byvaet tupym, no my etogo ne vidim, poskol'ku na zemle v eto vremya den' ? Prinimaem i eto. V uprazhnenii 11 nuzhno dokazat', chto dlya treh vrashayushihsya radiusov vsegda nastanet moment vremeni, kogda oni budut obrazovyvat' drug s drugom tupye ugly. Esli na koncah radiusov - Merkurii, Venera i Solnce, to v etot moment vremeni Merkurii i Venera budut vidny na nebe, a Solnce - net, to est' na zemle budet noch'. No dolzhny predupredit': uprazhneniya 10 i 11 znachitel'no slozhnee zadachi 2. Nakonec, v uprazhnenii 12 my predlagaem Vam, ni mnogo ni malo, vychislit' rasstoyanie ot Venery do Solnca i ot Merkuriya do Solnca (oni, konechno, vrashayutsya vokrug Solnca, a ne vokrug Zemli). Ubedites' sami, naskol'ko eto prosto, posle togo, kak my uznali metod Aristarha.

Uprazhnenie 10. V prostranstve dany dve okruzhnosti s obshim centrom , po nim ravnomerno, s raznymi uglovymi skorostyami, dvizhutsya dve tochki: tochka  po odnoi okruzhnosti, i tochka  po drugoi. Dokazhite, chto v nekotoryi moment ugol tupoi.

Uprazhnenie 11. Na ploskosti dany tri okruzhnosti s obshim centrom , po nim ravnomerno, s raznymi uglovymi skorostyami, dvizhutsya tri tochki. Dokazhite, chto v nekotoryi moment vse tri ugla mezhdu luchami s vershinoi , napravlennymi v dannye tochki, tupye.

Uprazhnenie 12. Izvestno, chto maksimal'noe uglovoe rasstoyanie mezhdu Veneroi i Solncem, t.e., maksimal'nyi ugol mezhdu luchami, napravlennymi s Zemli k centram Venery i Solnca, ravno . Naidite radius orbity Venery. To zhe - dlya Merkuriya, esli izvestno, chto maksimal'noe uglovoe rasstoyanie mezhdu Merkuriem i Solncem ravno .

Sleduya shag za shagom rassuzhdeniyam Aristarha, my upustili lish' odin aspekt: kak izmeryalsya uglovoi diametr Solnca ? Sam Aristarh etogo ne delal, pol'zuyas' izmereniyami drugih astronomov (po-vidimomu, ne sovsem vernymi). Napomnim, chto radiusy Solnca i Luny on smog vychislit', ne privlekaya ih uglovye diametry. Posmotrite eshe raz na shagi 1, 2 i 3: nigde znachenie uglovogo diametra ne ispol'zuetsya ! On nuzhen tol'ko dlya vychisleniya rasstoyanii do Solnca i do Luny. Popytka opredelit' uglovoi razmer "na glazok" uspeha ne prinosit. Esli poprosit' neskol'ko chelovek ocenit' uglovoi diametr Luny, bol'shinstvo nazovut ugol ot 3 do 5 gradusov, chto v razy bol'she istinnogo znacheniya. Skazyvaetsya obman zreniya: yarko-belaya Luna na fone temnogo neba kazhetsya massivnoi. Pervym, kto provel matematicheski strogoe izmerenie uglovogo diametra Solnca i Luny, byl Arhimed (287 - 212 do n. e.) On izlozhil svoi metod v knige "Psammit" ("Ischislenie peschinok"). Slozhnost' zadachi on osoznaval: "Poluchit' tochnoe znachenie etogo ugla - delo nelegkoe, potomu chto ni glaz, ni ruki, ni pribory, pri pomoshi kotoryh proizvoditsya otschet, ne obespechivayut dostatochnoi tochnosti." Poetomu Arhimed ne beretsya vychislit' tochnoe znachenie uglovogo diametra Solnca, on lish' ocenivaet ego sverhu i snizu. On pomeshaet kruglyi cilindr na konce dlinnoi lineiki, naprotiv glaza nablyudatelya. Lineika napravlyaetsya na Solnce, i cilindr pridvigaetsya k glazu do teh por, poka on ne zaslonit soboi Solnce polnost'yu. Zatem nablyudatel' uhodit, a na konce lineiki otmechaetsya otrezok , ravnyi razmeru chelovecheskogo zrachka (ris. 11).

Ris. 11.

Togda ugol  mezhdu pryamymi i men'she uglovogo diametra Solnca, a ugol - bol'she. My oboznachili cherez diametr osnovaniya cilindra, a cherez - seredinu otrezka . Itak, (dokazhite eto v uprazhnenii 13). Tak Arhimed nahodit, chto uglovoi diametr Solnca zaklyuchen v predelah ot do . Neyasnym ostaetsya, pochemu Arhimed izmeryaet Solnce, a ne Lunu. On byl horosho znakom s knigoi Aristarha, i znal chto uglovye diametry Solnca i Luny odinakovy. Lunu zhe izmeryat' gorazdo udobnee: ona ne slepit glaza, i granicy ee vidny otchetlivee.

Nekotorye drevnie astronomy izmeryali uglovoi diametr Solnca, ishodya iz prodolzhitel'nosti solnechnogo ili lunnogo zatmeniya. Poprobuite vosstanovit' etot sposob v uprazhnenii 14. A mozhno sdelat' to zhe, ne dozhidayas' zatmenii, a prosto nablyudaya zakat Solnca. Vyberem dlya etogo den' vesennego ravnodenstviya 22 marta, kogda Solnce voshodit tochno na vostoke a zahodit tochno na zapade. Eto oznachaet, chto tochki voshoda  i zakata  diametral'no protivopolozhny. Dlya zemnogo nablyudatelya Solnce dvizhetsya po okruzhnosti s diametrom .

Ris. 12.

Ploskost' etoi okruzhnosti sostavlyaet s ploskost'yu gorizonta ugol  , gde - geograficheskaya shirota tochki , v kotoroi nahoditsya nablyudatel' (naprimer, dlya Moskvy , dlya Aleksandrii ). Dokazatel'stvo privedeno na ris. 12. Pryamaya - os' vrasheniya Zemli, perpendikulyarna ploskosti ekvatora. Shirota tochki  - ugol mezhdu otrezkom i ploskost'yu ekvatora. Provedem cherez centr Solnca  ploskost' , perpendikulyarnuyu osi . Ploskost' gorizonta kasaetsya zemnogo shara v tochke . Dlya nablyudatelya, nahodyashegosya v tochke , Solnce v techenie dnya dvizhetsya po okruzhnosti v ploskosti  s centrom  i radiusom . Ugol mezhdu ploskost'yu  i ploskost'yu gorizonta raven uglu , poskol'ku ploskost' perpendikulyarna , a ploskost' gorizonta perpendikulyarna .

Ris. 13.

Itak, v den' ravnodenstviya Solnce zahodit za gorizont pod uglom . Sledovatel'no, vo vremya zakata ono prohodit dugu okruzhnosti, ravnuyu , gde - uglovoi diametr Solnca (ris. 13). S drugoi storony, za chasa ono prohodit po etoi okruzhnosti polnyi oborot, t.e., . Poluchaem proporciyu , gde - prodolzhitel'nost' zakata (edinica izmereniya - chas). Znaya i izmeriv vremya , nahodim .

Uprazhnenie 13. Dokazhite, chto ugol  mezhdu pryamymi i (ris. 12.) men'she uglovogo diametra Solnca, a ugol - bol'she.

Uprazhnenie 14. Predlozhite sposob izmereniya uglovyh razmerov Luny vo vremya lunnogo zatmeniya.

Publikacii s klyuchevymi slovami: astronomiya - istoriya astronomii Publikacii so slovami: astronomiya - istoriya astronomii
Sm. takzhe: Zhurnal "Nebosvod" za mart 2025 goda Zhurnal "Nebosvod" za fevral' 2025 goda Zhurnal "Nebosvod" za yanvar' 2025 goda Zhurnal "Nebosvod" za dekabr' 2024 goda Zhurnal dlya lyubitelei astronomii "Nebosvod" Zhurnal Nebosvod Zhurnal "Nebosvod" za sentyabr' 2024 goda Vse publikacii na tu zhe temu >>