Astronet > Razmernosti i podobie astrofizicheskih velichin

po tekstam po klyuchevym slovam v glossarii po saitam perevod po katalogu

Razmernosti i podobie astrofizicheskih velichin << § 6.2 Ionizacionnye fronty i udarnye volny vysvechivaniya v mezhzvezdnom prostranstve | Oglavlenie | § 6.4 Chislennoe modelirovanie vspyshek i kollapsa zvezd >>

§ 6.3 Avtomodel'nye dvizheniya v zvezdah i protozvezdah

Odin iz interesnyh razdelov kosmicheskoi gazodinamiki - issledovanie dvizheniya v zvezdah udarnyh voln, voznikayushih v rezul'tate nekotoryh katastroficheskih processov v nedrah zvezd. Interes k etim yavleniyam svyazan s tem, chto vyhod takih udarnyh voln na poverhnost' zvezdy mozhno, po-vidimomu, nablyudat' v vide yavlenii novoi ili sverhnovoi. S drugoi storony, vozmozhnye katastroficheskie yavleniya v nedrah zvezd tesno svyazany s ih evolyuciei i ob'yasnenie etih yavlenii vazhno dlya ponimaniya vsei kartiny evolyucii zvezd.

V nastoyashee vremya issledovaniya dvizheniya udarnyh voln v zvezdah v osnovnom provodyatsya metodom chislennogo integrirovaniya. Razvity i nekotorye priblizhennye metody (sm. [6]). Chislennye metody podrobno razrabatyvalis', v chastnosti, gruppoi V. S. Imshennika i D. K. Nadezhina (sm. obzor v [28]).

Vazhnost' primeneniya chislennyh metodov opredelyaetsya tem, chto lyuboi drugoi sposob ne pozvolyaet dostatochno tochno uchest' real'nuyu strukturu zvezdy, po kotoroi idet udarnaya volna, i, sledovatel'no, tol'ko pri chislennyh raschetah mozhno nadeyat'sya poluchit' hot' v kakoi-to stepeni nadezhnye kolichestvennye rezul'taty. No metod avtomodel'nogo dvizheniya takzhe dostatochno polezen. Osnovnoi nedostatok etogo metoda primenitel'no k issledovaniyu dvizheniya udarnyh voln v zvezdah zaklyuchaetsya v tom, chto prihoditsya predpolagat' stepennoe raspredelenie plotnosti v nevozmushennoi zvezde, t. e. schitat', chto zavisimost' plotnosti ρ ot rasstoyaniya do centra zvezdy opisyvaetsya formuloi

$\rho(r) = \frac{A}{r^b},$ (6.62)

gde b - nekotoroe chislo, a A teper' yavlyaetsya opredelyayushim parametrom s razmernost'yu

$[A] = \mbox{g} \cdot \mbox{sm}^{b-3}.$ (6.63)

Razumeetsya, v real'noi zvezde raspredelenie nevozmushennoi plotnosti ρ(r) ne mozhet byt' opisano formuloi (6.62) pri lyubom vybore parametra b. No, vo-pervyh, takaya approksimaciya vozmozhna hotya by v nekotoryh sloyah zvezdy, a vo-vtoryh, pri etom uslovii mozhno legko poluchit' znacheniya parametrov dvizheniya udarnyh voln, kotorye, po krainei mere kachestvenno, mozhno ispol'zovat' i dlya analiza dvizheniya udarnyh voln v bolee real'nyh zvezdnyh strukturah.

Issledovanie dvizheniya udarnyh voln v zvezdah metodom avtomodel'nogo dvizheniya bylo nachato v rabotah L. I. Sedova i K. P. Stanyukovicha (sm. [7] i [8]). Zatem eti idei razvivalis' v rabotah [29-32]. Poskol'ku v knige L. I. Sedova imeetsya podrobnoe opisanie poluchennyh rezul'tatov (v osnovnom i prinadlezhashih L. I. Sedovu), to my ogranichimsya kratkim opisaniem nekotoryh vyvodov.

Ishodnymi yavlyayutsya uravneniya sfericheski-simmetrichnogo dvizheniya gaza s uchetom gravitacionnogo prityazheniya:

$\begin{array}{l} \frac{\partial v}{\partial t} + v\frac{\partial v}{\partial r} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r} + \frac{GM_r}{r^2} = 0, \\ \\ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial r}(\rho v) + 2\frac{\rho v}{r} = 0, \\ \\ \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{p}{\rho^\gamma}\right) + v \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{p}{\rho^\gamma}\right) = 0, \\ \\ \frac{\partial M_r}{\partial r} = 4\pi r^2\rho. \end{array}$ (6.64)

Zdes', po-prezhnemu, M_r est' massa vnutri sfery radiusa r, no teper' nuzhno uchest' i to, chto eta velichina zavisit takzhe ot vremeni. V sluchae nachal'nogo raspredeleniya tipa (6.62) iz uravnenii (6.64) legko poluchit' nachal'nye ravnovesnye raspredeleniya vseh parametrov, esli polozhit' ∂/∂t = 0. V chastnosti, dlya M_r imeem

$M_r = \frac{4\pi A}{3-b}r^{3-b}.$ (6.65)

Granichnomu usloviyu v centre mozhno udovletvorit', tol'ko esli b < 3. Polnaya energiya (gravitacionnaya i teplovaya) vnutri sfery radiusa r est' (sm. [17])

$W_r = \frac{8\pi^2}{\gamma}\frac{1-2(b-1)(\gamma-1)}{(b-1)(3-b)(5-2b)}GA^2r^{5-2b}.$ (6.66)

Sluchayu b > 2,5 sootvetstvuet beskonechnaya energiya pri r → 0 i poetomu etot sluchai ne interesen. Esli

$1 < b < \frac{2\gamma - 1}{2(\gamma - 1)}, \quad b < \frac{5}{2},$ (6.67)

to energiya konfiguracii vnutri sfery radiusa r polozhitel'na - takie konfiguracii neustoichivy i my ih tozhe ne budem rassmatrivat'. Naibolee interesen sluchai

$\frac{2\gamma - 1}{2(\gamma - 1)} < b < \frac{5}{2},$ (6.68)

pri kotorom nachal'naya energiya konfiguracii otricatel'na, t. e. sistema ustoichiva. Etim sluchaem my i ogranichimsya. Pri γ = 5/3 neravenstvu (6.68) sootvetstvuet uzkii interval 1,75 < b < 2,5. Etot interval eshe umen'shaetsya pri umen'shenii γ. Pri γ = 4/3 i levaya chast' neravenstva stanovitsya ravnoi 5/2, t. e. eto reshenie budet spravedlivo tol'ko pri b = 5/2, kogda W_r konechna i ne zavisit ot r.

V takoi modeli konfiguracii est' dva parametra s nezavisimymi razmernostyami. Odin iz nih A - postoyannaya v formule raspredeleniya plotnosti (6.62), vtoroi - mnozhitel' GA² v formule (6.66), opredelyayushii nachal'nuyu energiyu konfiguracii. Teper', chtoby primenit' avtomodel'nyi metod, my dolzhny opustit' odin iz etih dvuh parametrov libo vvesti drugie parametry s toi zhe razmernost'yu, chto i uzhe imeyushiesya.

V chastnosti, zdes' mozhno ispol'zovat' i teoriyu sil'nogo vzryva, esli schitat', chto v nachal'nyi moment imeet mesto ochen' bol'shoe vydelenie energii v ochen' nebol'shoi okrestnosti centra konfiguracii. Togda mozhno predpolozhit', chto energiya vzryva E mnogo bol'she energii v okrestnosti centra i ostavit' v kachestve opredelyayushih parametrov tol'ko velichiny A i E. Etot sluchai mozhno nazvat' sluchaem mgnovennogo tochechnogo vzryva. Pol'zuyas' obshimi pravilami, nahodim uravnenie dvizheniya sfericheski-simmetrichnoi udarnoi volny v zvezde s raspredeleniem plotnosti po (6.62):

$r_{\mbox{ud}} = \left(\frac{E}{A}t^2\right)^{\frac{1}{5-b}},$ (6.69)

kotoroe, estestvenno, svoditsya k (6.16) pri b = 0. Eto reshenie spravedlivo, poka energiya vzryva ostaetsya bol'shei energii chasti konfiguracii, vovlechennoi v dvizhenie.

Vtoroi sluchai, kotoryi mozhno nazvat' "raspredelennym vzryvom" (zamechanie D. K. Nadezhina), imeet mesto v konfiguracii s b = 5/2. Kombinaciya GA² imeet razmernost' energii. Zdes' na oblast' vydeleniya energii ne nalagaetsya ogranichenii i kolichestvo vydelivsheisya pri vzryve energii mozhet byt' proizvol'nym:

$E = \alpha GA^2,$ (6.70)

gde α - nekotoraya postoyannaya. Zakon dvizheniya fronta udarnoi volny sleduet srazu iz (6.69), kuda sleduet podstavit' (6.70) i prinyat' b = 5/2, t. e.

$E = (\alpha GAt^2)^{2/5}.$ (6.71)

Formal'no v etom reshenii energiya oblasti dvizheniya vsegda bol'she energii konfiguracii (pri b = 5/2 W_r ne zavisit ot radiusa). Veroyatno, reshenie (6.71) mozhno ispol'zovat' dlya issledovaniya dinamiki gaza v nedrah zvezd, gde mozhet vydelyat'sya energiya srazu v bol'shoi oblasti, naprimer, pri fazovom perehode v sostoyanie vyrozhdennogo elektronnogo gaza.

Tretii sluchai avtomodel'nosti dvizheniya mozhno poluchit', esli schitat', chto energiya vydelyaetsya po zakonu

$E = \alpha G^{(5-b)/b}A^{5/b}t^{2(5-b)/b}.$ (6.72)

Etot sluchai opyat' spravedliv i pri b ≠ 5/2. Zdes' dva opredelyayushih parametra, A i G.

Zakon dvizheniya fronta udarnoi volny

$r_{\mbox{ud}} = (GAt^2)^{1/b}.$ (6.73)

takzhe svoditsya k (6.71) pri b = 5/2.

Udarnye volny zamedlyayutsya pri perehode k menee plotnym sloyam, esli b < 2, i uskoryayutsya pri 2 < b ≤ 5/2.

Kak uzhe otmechalos', podrobnoe issledovanie uravnenii avtomodel'nogo dvizheniya, pozvolyayushee naiti raspredelenie plotnosti, skorosti i temperatury za frontom udarnoi volny, sozdannoi sil'nym vzryvom v centre zvezdy, dano v knige L. I. Sedova [7]. V chastnosti, okazalos', chto u vzryvov, sozdayushih ochen' sil'nye udarnye volny s chislom Maha po otnosheniyu k skorosti zvuka pered frontom, ravnym 6, v centre obrazuetsya sfericheskaya polost', lishennaya veshestva.

Krome togo, v rabote [7] privedeny i drugie chastnye sluchai, v kotoryh udalos' poluchit' prostye analiticheskie resheniya. Interesen, naprimer, sluchai tak nazyvaemogo vzryva dinamicheskogo ravnovesiya, pozvolyayushii izuchat' raspad konfiguracii, poteryavshih ustoichivost'. Predpolozhim, chto eta neustoichivost' privodit k razletu zvezdy tak, chto perednii front rasshiryayusheisya oblasti vblizi centra dvizhetsya v srede s raspredeleniem plotnosti po (6.62), i primem, chto v silu intensivnogo vzaimodeistviya s izlucheniem temperatura gaza v rasshiryayusheisya oblasti ostaetsya odnorodnoi po vsei etoi oblasti, no mozhet menyat'sya so vremenem. Togda imeet mesto avtomodel'noe reshenie, opisyvayushee dvizhenie udarnoi volny po zakonu

$r_{\mbox{ud}} = \left(\frac{18\pi GA}{3-b}\right)^{\frac{1}{b}} t^{2/b},$ (6.74)

prichem v oblasti, ogranichennoi etoi udarnoi volnoi, plotnost', davlenie i temperatura odnorodny i menyayutsya po zakonu

$\rho = \frac{1}{6\pi Gt^2}, \quad p \sim t^{-4\frac{b-1}{b}}, \quad T \sim t^{-2\frac{b-1}{b}}.$ (6.75)

Esli pri b < 5/2 vypolneno uslovie γ = 2(8b - 15)/3b, to energiya dvizhushegosya gaza ravna ego nachal'noi polnoi energii - takoi vzryv ravnovesiya ne trebuet dopolnitel'nyh istochnikov energii.

V rabote I. M. Yavorskoi [46] rassmatrivalos' takzhe avtomodel'noe dvizhenie detonacionnyh udarnyh voln v sredah s raspredeleniem plotnosti soglasno (6.62). Odin iz sushestvennyh rezul'tatov etogo rascheta zaklyuchaetsya v tom, chto rasprostranenie detonacionnoi volny s usloviem Chepmana - Zhuge (t. e. s usloviem, chto za frontom volny skorost' gaza ravna skorosti zvuka) vozmozhno, tol'ko esli 0 ≤ b ≤ 2γ/(γ+1), gde γ - pokazatel' adiabaty pokoyashegosya gaza. Pri vspyshkah zvezd deistvitel'no mozhet proishodit' detonaciya ne sgorevshego vodoroda, geliya i dazhe kisloroda vo vneshnih sloyah i poetomu podobnaya zadacha takzhe mozhet naiti primenenie k astrofizicheskim problemam.

Metodom avtomodel'nyh dvizhenii rassmatrivalos' i dvizhenie razryvov v ul'trarelyativistskom gaze [37, 38].

Pravda, kak uzhe otmechalos', v nastoyashee vremya dvizhenie udarnyh (i detonacionnyh) voln v zvezdah issleduetsya preimushestvenno chislennymi metodami, poskol'ku raspredelenie plotnosti v real'nyh zvezdah sushestvenno otlichaetsya ot zavisimosti (6.62). Krome togo, konkretnye svoistva zvezdnyh udarnyh voln sushestvenno zavisyat ot uslovii vydeleniya energii pri vzryvah v nedrah zvezd. Poetomu detal'nyh issledovanii udarnyh voln v zvezdah metodom avtomodel'nogo dvizheniya ne bylo. Cennost' etogo metoda v nastoyashee vremya zaklyuchaetsya glavnym obrazom v tom, chto s ego pomosh'yu mozhno poluchit' kachestvennye ocenki povedeniya udarnyh voln v ob'ektah, struktura kotoryh neizvestna.

Nado otmetit', chto issledovanie odnogo iz vazhneishih yavlenii nestacionarnyh dvizhenii gaza v zvezdah - vspyshek sverhnovyh - predstavlyaet interes i tem, chto na rannem etape vspyshki, po-vidimomu, odnovremenno primenimy i teoriya sil'nogo vzryva i teoriya razleta gaza v pustotu. Razlet v pustotu opisyvaet rasshirenie i razbros zvezdy posle vspyshki, a teoriya sil'nogo vzryva opisyvaet udarnuyu volnu v mezhzvezdnoi srede (zamechanie D. K. Nadezhina).

Bol'shoe znachenie imeet metod avtomodel'nogo dvizheniya dlya issledovaniya kollapsa zvezd i protozvezd. Naprimer, v rabote D. K. Nadezhina [33] rassmotrena zadacha o kollapse zvezdy posle ischerpaniya termoyadernyh istochnikov energii. Esli neitrinnoe izluchenie obespechit dostatochno bystroe udalenie energii iz nedr zvezdy, to protivodavlenie padaet i kollaps protekaet ochen' bystro. Imenno takoi process i rassmotren v rabote [33] metodom avtomodel'nogo resheniya. V etoi rabote dlya moshnosti vydeleniya neitrinnoi energii prinyato vyrazhenie vida (4.24). Poskol'ku prinimaetsya, chto dlya neitrinnogo izlucheniya zvezda prozrachna, to koefficient neprozrachnosti v chislo opredelyayushih parametrov ne vhodit. Vazhnoe znachenie imeet uchet protivodavleniya. V rabote [33] dlya obshnosti prinimaetsya, chto davlenie zavisit ot plotnosti i temperatury kak:

$p = p_0\rho^{\xi}T^\eta,$ (6.76)

gde ξ i η - nekotorye chisla (sm. formulu (4.62)). V etoi zadache est' tri razmernyh parametra, G, ε₀ i r₀, no okazalos', chto parametrov s nezavisimymi razmernostyami vsego dva. V kachestve pervogo parametra mozhno vybrat' G, a vtoroi razmernyi parametr vybiraetsya soglasno [33] v vide

$A = \left(\frac{(4\pi G)^{m_1}p_0^n}{\epsilon_0|\delta|^{2(n_1 + m_1)-3}}\right)^{0,5(n_1 - 1)},$ (6.77)

gde pokazateli m₁, n₁ i γ vyrazhayutsya cherez pokazateli m i m v zakone vydeleniya energii, ξ i η v vyrazhenii dlya davleniya, a takzhe pokazatel' adiabaty γ sleduyushimi formulami:

$\begin{array}{l} n_1 = \frac{n}{\eta}, \quad m_1 = m - \frac{n}{\eta}(1-\eta)(\gamma - 1), \quad \delta = \frac{n_1 + m_1 - 3/2}{n_1 - 1}. \end{array}$ (6.78)

Ispol'zuya dva razmernyh parametra A i G, mozhno pereiti v sisteme (6.64) k avtomodel'nym peremennym. Sleduet tol'ko v poslednee uravnenie vklyuchit' chlen, opisyvayushii poteri energii na neitrinnoe izluchenie. Ne budem zdes' vypisyvat' eti uravneniya, a privedem srazu rezul'taty raschetov.

V rabote [33] bylo pokazano, chto pri lyubyh γ i 5 est' reshenie, sootvetstvuyushee svobodnomu szhatiyu odnorodnoi sfery, t. e. sootvetstvuyushee sluchayu, kogda protivodavlenie ravno nulyu. V etom reshenii plotnost' schitaetsya odinakovoi po vsei zvezde, no menyaetsya so vremenem po zakonu

$\rho = \frac{\delta^2}{6\pi Gt^2}.$ (6.79)

Skorost' dvizheniya granicy sfery opredelyaetsya obychnoi formuloi avtomodel'nosti

$v = -\frac{2}{3}\delta At^\delta .$ (6.80)

No, krome etogo, okazalos', chto esli pokazatel' adiabaty prevyshaet nekotoryi predel

$\gamma > \gamma_k = 2 - \delta,$ (6.81)

to poyavlyaetsya eshe odno reshenie, v kotorom avtomodel'nost' sohranyaetsya i pri uchete protivodavleniya. Eti resheniya analiziruyutsya v [33] chislennym metodom. Rassmatrivalis', v chastnosti, primery vspyshek sverhnovyh II tipa, kogda neitrinnoe izluchenie obyazano "urka"-processu (znacheniya parametrov: m = 0, n = 6, γ_k), a takzhe kollaps massivnyh zvezd, gde neitrinnoe izluchenie obyazano obrazovaniyu elektronno-pozitronnyh par pri vysokoi temperature (m = -1, n = 9). V poslednem sluchae ne udalos' poluchit' fizicheski razumnogo resheniya.

Etim zhe metodom I. G. Kolesnikom i D. K. Nadezhinym [34] byla rassmotrena zadacha o szhatii protozvezdy. Predpolagaetsya, chto protozvezda prozrachna dlya generiruemogo vnutri nee elektromagnitnogo izlucheniya. Pri nizkih temperaturah osnovnoi mehanizm elektromagnitnogo izlucheniya - vozbuzhdenie vrashatel'nyh urovnei molekuly vodoroda H₂. Moshnost' poter' energii opredelyaetsya formuloi (sm. [32]):

$\epsilon = \epsilon_0T^{3,7} = 1,67 \cdot 10^{-9}\,T^{3,7}\,\, \frac{\mbox{erg}}{\mbox{g} \cdot \mbox{sek}}.$ (6.82)

Eto izluchenie sosredotocheno v infrakrasnoi oblasti spektra i, soglasno usloviyu avtomodel'nosti, predpolagaetsya, chto protozvezda prozrachna dlya infrakrasnyh luchei.

Avtomodel'nost' zadachi harakterizuetsya dvumya razmernymi parametrami: G i

$A = \frac{1}{\epsilon_0}\left(\frac{\Re}{\mu}\right)^{3,7},$ (6.83)

prichem razmernost' poslednego

$[A] = \frac{\mbox{sm}^{5,4}}{\mbox{sek}^{4,4}}.$ (6.84)

Otsyuda bezrazmernyi argument vseh funkcii avtomodel'nogo dvizheniya budet imet' vid

$\lambda = \frac{r}{A^{5/22}t^{22/27}}.$ (6.85)

Dalee, soglasno obychnomu metodu avtomodel'nogo dvizheniya s dvumya opredelyayushimi parametrami zapisyvayutsya uravneniya dlya bezrazmernyh plotnosti, davleniya i temperatury. Pri etom celesoobraznee vydelit' v plotnosti mnozhitel', opisyvayushii szhatie, v sleduyushem vide:

$\rho(r,t) = \frac{R(\lambda)}{4\pi Gt^2}.$ (6.86)

Pri svobodnom szhatii odnorodnoi sfery, kak my znaem, R(λ) = const, no v rabote [34] uchityvalas' i neodnorodnost' szhatiya. Uravneniya dlya R(λ), V(λ) i drugih peremennyh reshayutsya tol'ko chislenno. Poetomu privedem tol'ko nekotorye konechnye rezul'taty. V processe szhatiya rastut central'naya temperatura T_c i central'naya plotnost' ρ_c tak, chto

$\frac{\rho_c}{T_c^{5,4}} = const,$ (6.87)

t. e. T_c rastet s uvelicheniem szhatiya gorazdo medlennee, chem, naprimer, pri adiabaticheskom szhatii. Uslovie (6.87) sootvetstvuet znacheniyu effektivnogo parametra γ_eff = 6,4/5,4 ≈ 1,2. Funkciya R(λ) pri λ > 1 ochen' bystro padaet, V(λ) snachala padaet s rostom λ , imeet minimum i zatem vozrastaet.

Legko rasschitat' i polnuyu svetimost' szhimayusheisya protozvezdy:

$L = 4\pi\int\limits_0^\infty\rho\epsilon r^2 dr = \left(\frac{\Re}{\mu}\right)^{3,4} \frac{l_0}{G\epsilon_0^{0,93}}t^{-\frac{25}{27}} = L_n t^{-\frac{25}{27}},$ (6.88)

gde l₀ - nekotoraya chislennaya postoyannaya, L_n ≈ (1,5-2,6) ⋅ 10⁴² erg ⋅ sek^-2/27. Bylo takzhe pokazano, chto polnoe vremya szhatiya v avtomodel'nom rezhime proishodit v neskol'ko raz medlennee, chem v sluchae svobodnogo szhatiya s odnorodnoi plotnost'yu. Eto svyazano s preimushestvennym nagrevaniem vnutrennih sloev i poyavleniem protivodavleniya.

Na ris. 24 pokazano sravnenie avtomodel'nogo resheniya s rezul'tatami chislennogo rascheta. Vidno, chto avtomodel'noe reshenie, po krainei mere na nekotoryh stadiyah szhatiya, daet dostatochno udovletvoritel'noe soglasie s chislennymi raschetami polnyh uravnenii.

Ris. 24. Zavisimost' svetimosti szhimayusheisya protozvezdy ot vremeni.
Pryamaya liniya - avtomodel'nyi raschet, tochki - chislennyi raschet.

Kak uzhe neodnokratno podcherkivalos', metod avtomodel'nyh reshenii primenim tol'ko v teh sluchayah, kogda dvizhenie polnost'yu harakterizuetsya dvumya razmernymi parametrami - A, vklyuchayushem v sebya razmernost' massy, i B, v kotoryi vhodyat razmernosti dliny i vremeni.

Esli oba parametra izvestny, to reshenie zadachi na avtomodel'noe dvizhenie nahoditsya srazu, analiticheski ili chislenno. No mozhet vstretit'sya i sluchai, kogda po tem ili inym prichinam odin iz razmernyh parametrov, naprimer B, ne udaetsya opredelit' po usloviyam zadachi, no iz fizicheskih soobrazhenii sleduet, chto takoi parametr v deistvitel'nosti sushestvuet. Okazyvaetsya, chto i v etom sluchae mozhno reshit' vsyu zadachu na avtomodel'noe dvizhenie, opredeliv zaodno i parametr B. Ideya metoda resheniya etih zadach byla predlozhena L. D. Landau, podrobnoe izlozhenie metoda dano v knigah [8] i [35].

Sushnost' etogo metoda zaklyuchaetsya v sleduyushem. Pust' parametr A izvesten, a parametr B s razmernost'yu [B] = sm^k₃ ⋅ sek^k₄ nado naiti. No poskol'ku my schitaem dvizhenie avtomodel'nym, to ono dolzhno opisyvat'sya uravneniyami (6.8) - (6.12). My ne mozhem tol'ko srazu reshat' etu sistemu, poskol'ku ne znaem velichiny δ = -k₃/k₄ i ϰ iz (6.11). No mozhno popytat'sya issledovat' reshenie etih uravnenii metodom prob. Zadadim proizvol'no znachenie δ, opredelim ϰ iz (6.11) i postroim integral'nuyu krivuyu.

Eta krivaya dolzhna udovletvoryat' ochevidnomu fizicheskomu usloviyu - vse funkcii V(λ), R(λ), Z(λ) dolzhny byt' v lyubyh tochkah etoi krivoi konechnymi. Inache krivaya, postroennaya s zadannym znacheniem δ, ne imeet fizicheskogo smysla, poskol'ku po usloviyu ni plotnost', ni skorost' nigde ne obrashayutsya v beskonechnost'.

Ogranichennost' reshenii nalagaet opredelennye usloviya na velichiny V, R i Z - chisliteli i znamenateli uravnenii sistemy (6.8) - (6.12) dolzhny odnovremenno obrashat'sya v nul'. Dlya illyustracii rassmotrim primer pochti izotermicheskogo dvizheniya (γ = 1) s vyborom plotnosti v kachestve opredelyayushego parametra (t. e. k₁ = -3, k₂ = 0). Togda integral'naya krivaya, opisyvayushaya reshenie, imeyushee fizicheskii smysl, dolzhna obyazatel'no peresech' liniyu v prostranstve (V, R, Z), udovletvoryayushuyu uravneniyu

$Z = (V-\delta)^2, \quad V(V-1)(V-\delta) + (1 - \delta - \nu V)Z = 0.$ (6.89)

Eto uravnenie legko poluchit', priravnyav chisliteli i znamenateli uravnenii (6.8) - (6.10) nulyu pri zadannom vybore parametrov.

Sovershenno ochevidno, chto pri proizvol'nom vybore δ my ne popadem na osobuyu krivuyu tipa (6.89). Zadacha zaklyuchaetsya v tom, chtoby putem prob naiti to znachenie δ, pri kotorom integral'naya krivaya sistemy uravnenii (6.8) - (6.12) pri zadannyh granichnyh usloviyah proidet i cherez osobuyu krivuyu.

Posle opredeleniya δ razmernost' parametra B uzhe izvestna. Pravda, ego chislennoe znachenie ostalos' neopredelennym, no dlya nas vazhnee vsego imenno razmernost' etogo parametra, poskol'ku tol'ko ona opredelyaet zakony dvizheniya razryvov i udarnyh voln.

S pomosh'yu sovremennoi vychislitel'noi tehniki reshenie zadachi o nahozhdenii integral'noi krivoi sistemy obyknovennyh differencial'nyh uravnenii ne yavlyaetsya ochen' trudnoi problemoi.

V knigah [8] i [35] opisano neskol'ko zadach, reshennyh podobnym sposobom. V chastnosti, etim metodom reshena zadacha o shlopyvanii simmetrichnoi kumulyativnoi udarnoi volny, idushei k centru po pervonachal'no odnorodnomu pokoyashemusya gazu. V etom sluchae parametr δ zavisit tol'ko ot vybora pokazatelya adiabaty γ opisyvayushego skachok plotnosti na fronte udarnoi volny. Metodom prob naideny znacheniya δ dlya sluchaya cilindricheskoi i sfericheskoi simmetrii (tabl. 10).

Tablica 10

	Cilindricheskaya simmetriya ν=2				Sfericheskaya simmetriya ν=3
γ	1	7/5	3	∞	1	7/5	3	∞
δ	1	0,834	0,810	1/2	1	0,717	0,638	3/8

Strogo izotermicheskomu dvizheniyu sootvetstvuet δ = 1 - eto ochevidno, poskol'ku my znaem opredelyayushii parametr $B = \sqrt{\Re T/\mu}$ . s izvestnoi razmernost'yu skorosti zvuka. Znaya parametr δ, srazu opredelyaem zakony dvizheniya udarnoi kumulyativnoi udarnoi volny:

$r_{\mbox{ud}} \sim (t_0 - t)^\delta, \quad v_{\mbox{ud}} \sim (t_0 - t)^{\delta - 1} \sim r_{\mbox{ud}}^{\frac{2(\delta - 1)}{\delta}},$ (6.90)

gde t₀ - moment vremeni, v kotoryi kumulyativnaya udarnaya volna shoditsya k centru. Plotnost' gaza za frontom sil'noi kumulyativnoi udarnoi volny ostaetsya odinakovoi (i ravnoi (γ + 1)/(γ - 1) ot pervonachal'noi plotnosti), no davlenie, a sledovatel'no, i temperatura rastut:

$p_2 \sim T_2 \sim (t_0 - t)^{\frac{2}{\delta - 1}} \sim r^{\frac{2(\delta - 1)}{\delta}}.$ (6.91)

Iz soobrazhenii analiza razmernostei opredelyayutsya raspredeleniya davleniya gaza i ego skorosti v moment shlopyvaniya, t. e. pri t=t₀. Zdes' imeem tri razmernye velichiny: [r]=sm, [v] =sm/sek i opredelennyi teper' parametr B s naidennoi razmernost'yu [B]=sm/sek^δ. Otsyuda [35]

$\begin{array}{l} v = B^{1/\delta}r^{-(1-\delta)/\delta}, \\ p \sim r^{-2(\delta - 1)/\delta}. \end{array}$ (6.92)

Posle shlopyvaniya udarnaya volna otrazhaetsya ot centra i dvizhetsya naruzhu cherez gaz, kotoryi prodolzhaet stekat'sya k centru. Dvizhenie sohranilo svoyu avtomodel'nost', poetomu u rashodyasheisya udarnoi volny

$r \sim (t-t_0)^\delta.$ (6.93)

Obshee uvelichenie plotnosti za frontom rashodyasheisya udarnoi volny veliko - pri γ = 7/5 plotnost' vozrastaet v 137,5 raza po sravneniyu s nevozmushennoi plotnost'yu do prohozhdeniya kumulyativnoi udarnoi volny.

Zadacha o dvizhenii gaza k centru sfericheskoi konfiguracii i vozniknovenii udarnyh voln imeet celyi ryad vazhnyh astrofizicheskih primenenii.

Naprimer, v rabote [36] rassmotrena sleduyushaya model'. Pust' granica goryachei zony N II, davlenie vnutri kotoroi veliko, pri svoem dvizhenii vstretila plotnoe neprozrachnoe gazovoe oblako N I (globulu) s nizkoi temperaturoi i poetomu otnositel'no nevysokim davleniem. Togda zona N II okruzhit globulu so vseh storon i nachnet ee szhimat'. Obrazuetsya udarnaya volna, idushaya k centru globuly i eshe bol'she szhimayushaya ee. Posle otrazheniya ot centra voznikaet rashodyashayasya volna. V rezul'tate obrazuetsya ochen' plotnoe oblako, iz kotorogo pri dal'neishem razvitii dzhinsovskoi neustoichivosti mogut kondensirovat'sya zvezdy. V rabote [36] rassmatrivalos' strogo izotermicheskoe davlenie, chemu sootvetstvuet znachenie γ = 1. Uravneniya dvizheniya takie zhe, kak v predydushem paragrafe, gde rassmatrivalis' ionizacionnye razryvy, i poetomu mozhno ispol'zovat' opisannyi tam metod. V chastnosti, v etom sluchae shodyashayasya k centru udarnaya volna imeet takoi zhe harakter, chto i udarnaya volna, szhimayushaya gaz v zone N I pered ionizacionnym frontom. No zdes' vazhno uchest' sferichnost' frontov. Priblizhennyi raschet pokazal, chto v etom sluchae deistvitel'no dostigaetsya ogromnoe uvelichenie plotnosti. Kogda shodyashayasya sfericheskaya udarnaya volna dostigaet centra globuly, plotnost' gaza tam okazyvaetsya poryadka

$\frac{\rho_c}{\rho_1} \approx \left(\frac{\rho_2}{\rho_1}\frac{\mu_1 T_2}{\mu_2 T_1}\right)^3 = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^3.$ (6.94)

Zdes' ρ₁ i p₁ - plotnost' i davlenie vnutri globuly do ee szhatiya, ρ₂ i p₂ - plotnost' i davlenie szhimayushego globulu ionizacionnogo fronta. Skorost' udarnoi volny blizka k skorosti ionizacionnogo razryva, t. e. k $\sqrt{\Re T_2/\mu_2}$ . Otrazhennaya volna eshe uvelichivaet plotnost' na mnozhitel' poryadka μ₁T₂/μ₂T₁. Takim obrazom, obshee uvelichenie plotnosti mozhet dostigat' treh-pyati poryadkov, esli temperatura vnutri globuly ostaetsya nizkoi.

Razumeetsya, rassmotrenie podobnoi zadachi v ramkah predpolozheniya izotermichnosti dvizheniya ves'ma ogranichivaet primenimost' teorii k real'nym zadacham. S drugoi storony, privedennye vyshe resheniya avtomodel'noi zadachi o kollapse, ne uchityvayushie vozmozhnost' obrazovaniya kumulyativnyh udarnyh voln, sozdannyh vneshnim davleniem, takzhe nedostatochny. Na ocheredi sozdanie bolee polnoi teorii szhatiya i kollapsa zvezd i protozvezd s uchetom vseh sushestvennyh faktorov. Veroyatno, metody teorii avtomodel'nogo dvizheniya sygrayut zdes' ne poslednyuyu rol'.

Metodom opredeleniya parametra δ G. M. Gendel'man i D. A. Frank-Kameneckii rasschitali vyhod udarnoi volny na poverhnost' zvezdy ([31], sm. takzhe [32]). Predpolagalos', chto plotnost' veshestva v poverhnostnyh sloyah zvezdy uvelichivaetsya s glubinoi h, otschityvaemoi ot poverhnosti, po nekotoromu politropnomu zakonu:

$\rho(h) = Ah^b,$ (6.95)

gde b - nekotoroe chislo, a opredelyayushii parametr A imeet razmernost' [A] = g ⋅ sm^-(3+b). Opyat' polagaya λ = h/Bt^δ i vybiraya integral'nuyu krivuyu, prohodyashuyu cherez osobuyu krivuyu avtomodel'noi sistemy uravnenii, avtory rabot [31] i [32] nahodyat znacheniya δ dlya raznyh γ i b (tabl. 11):

Tablica 11

	b
γ	3,25	2	1	0,5
5/3	0,590	0,696	0,816	0,877
7/5		0,718	0,831	0,906
6/5		0,752	0,855	0,920

Sluchai b = 3,25 sootvetstvuet atmosfere zvezdy, v kotoroi energiya perenositsya izlucheniem v sluchae koefficienta poglosheniya Kramersa ϰ ∼ ρ T^-7/2.

Uravnenie dvizheniya fronta udarnoi volny i ee skorost' imeyut vid:

$h_2 \sim (t_0 - t)^\delta, \quad v_{\mbox{ud}} \sim (t_0 - t)^{1-\delta} \sim h^{-(1-\delta)/\delta},$ (6.96)

gde t₀ - moment vyhoda udarnoi volny na poverhnost'. Poskol'ku zdes' v_ud → ∞, to reshenie nel'zya prodolzhat' do samoi granicy zvezdy. Eto sleduet i iz fizicheskih soobrazhenii - vblizi granicy zvezdy veliko izluchenie gaza, kotoroe zatormozit volnu.

Srazu za frontom volny temperatura rastet bystro (kak T ∼ v_ud² ∼ h^-2(1-δ)/δ), no davlenie dazhe umen'shaetsya iz-za padeniya plotnosti:

$p_2 \sim \rho v_{\mbox{ud}}^2 \sim h^{b - \frac{2(1-\delta)}{\delta}}.$ (6.97)

V zaklyuchenie zametim, chto bylo razrabotano neskol'ko priblizhennyh (no ne avtomodel'nyh) metodov rascheta dvizheniya udarnyh voln v neodnorodnoi srede. Obzor etih metodov dan v knige I. A. Klimishina [6]./// Ispol'zuya razlichnye metody, mozhno poluchit' sleduyushii approksimacionnyi zakon dvizheniya udarnoi volny v sfericheski-simmetrichnoi srede s peremennoi plotnost'yu [36]:

$p_2 \sim \rho v_{\mbox{ud}}^2 \sim h^{b - \frac{2(1-\delta)}{\delta}}.$ (6.98)

Dlya sluchaya dvizheniya ploskoi udarnoi volny v atmosfere s raspredeleniem plotnosti (6.95) otsyuda sleduet znachenie pokazatelya avtomodel'nosti:

$\delta = \frac{4}{4+b},$ (6.99)

chto pri b = 3,25 privodit k δ ≈ 0,55, a pri b = 1 daet γ = 0,80, v horoshem soglasii s rezul'tatami opredeleniya velichiny γ metodom podbora integral'noi krivoi.

<< § 6.2 Ionizacionnye fronty i udarnye volny vysvechivaniya v mezhzvezdnom prostranstve | Oglavlenie | § 6.4 Chislennoe modelirovanie vspyshek i kollapsa zvezd >>

Mneniya chitatelei [4]

Versiya dlya pechati

Astrometriya - Astronomicheskie instrumenty - Astronomicheskoe obrazovanie - Astrofizika - Istoriya astronomii - Kosmonavtika, issledovanie kosmosa - Lyubitel'skaya astronomiya - Planety i Solnechnaya sistema - Solnce