Obshaya teoriya otnositel'nosti
12.12.2005 21:11 | "Sorosovskaya Enciklopediya"
1. Nemnogo istorii
Obshaya teoriya otnositel'nosti (OTO) – sovremennaya teoriya tyagoteniya, svyazyvayushaya ego s kriviznoi chetyrehmernogo prostranstva-vremeni.
B svoem klassicheskom variante teoriya tyagoteniya byla sozdana Isaakom N'yutonom eshe v XVII veke i do sih por verno sluzhit chelovechestvu. Ona vpolne dostatochna dlya mnogih, esli ne dlya bol'shinstva zadach sovremennoi astronomii, astrofiziki, kosmonavtiki. Mezhdu tem ee principial'nyi vnutrennii nedostatok byl yasen eshe samomu N'yutonu. Eto teoriya s dal'nodeistviem: v nei gravitacionnoe deistvie odnogo tela na drugoe peredaetsya mgnovenno, bez zapazdyvaniya. N'yutonovskaya gravitaciya tak zhe sootnositsya s obshei teoriei otnositel'nosti, kak zakon Kulona s maksvellovskoi elektrodinamikoi. Dzh.K. Maksvellu udalos' izgnat' dal'nodeistvie iz elektrodinamiki. V gravitacii eto sdelal Al'bert Einshtein.
V 1905 godu A. Einshtein sformuliroval special'nuyu teoriyu otnositel'nosti, kotoraya zavershila v ideinom otnoshenii razvitie klassicheskoi elektrodinamiki. V stat'yah predshestvennikov Einshteina H.A. Lorenca i Zh.A. Puankare soderzhalis' mnogie elementy special'noi teorii otnositel'nosti, odnako cel'naya kartina fiziki bol'shih skorostei poyavilas' lish' v rabote Einshteina.
Sozdanie sovremennoi teorii tyagoteniya bylo nemyslimo bez special'noi teorii otnositel'nosti, bez glubokogo ponimaniya struktury klassicheskoi elektrodinamiki, bez osoznaniya edinstva prostranstva-vremeni. Ochen' veliko dlya OTO znachenie matematiki. Ee apparat, tenzornyi analiz, ili absolyutnoe differencial'noe ischislenie, byl razvit G. Richchi i T. Levi-Chivita.
I vse zhe OTO – eto fizicheskaya teoriya, v osnove kotoroi lezhit yasnyi fizicheskii princip, tverdo ustanovlennyi eksperimental'nyi fakt.
2. Princip ekvivalentnosti i geometrizaciya tyagoteniya
G. Galilei ustanovil: vse tela dvizhutsya v pole tyazhesti (pri otsutstvii soprotivleniya sredy) s odinakovym uskoreniem, traektorii vseh tel s zadannoi skorost'yu iskrivleny v gravitacionnom pole odinakovo. Blagodarya etomu v svobodno padayushem lifte nikakoi eksperiment ne mozhet obnaruzhit' gravitacionnoe pole, inymi slovami, v svobodno dvizhusheisya v gravitacionnom pole sisteme otscheta v maloi oblasti prostranstva-vremeni gravitacii net. Poslednee utverzhdenie – eto odna iz formulirovok principa ekvivalentnosti.
Dannoe svoistvo polya tyagoteniya otnyud' ne trivial'no. V sluchae elektromagnitnogo polya situaciya sovershenno inaya. Sushestvuyut, naprimer, nezaryazhennye neitral'nye tela, kotorye elektromagnitnogo polya voobshe ne chuvstvuyut. Tak vot, gravitacionno-neitral'nyh tel net, ne sushestvuet ni lineek, ni chasov, kotorye ne chuvstvovali by gravitacionnogo polya. Lyuboi etalon pryamoi, naprimer luch sveta, ne obladaet v pole tyagoteniya svoistvami pryamoi linii. Net ob'ektov, kotorye v etom pole mozhno bylo by otozhdestvit' s pryamymi, kak v evklidovoi geometrii. Poetomu geometriyu nashego prostranstva estestvenno schitat' neevklidovoi.
Nekotoroe predstavlenie o svoistvah takogo prostranstva mozhno poluchit' na prosteishem primere sfery, poverhnosti obychnogo globusa. Rassmotrim na nei sfericheskii treugol'nik, figuru, ogranichennuyu dugami bol'shogo kruga. (Duga bol'shogo kruga, soedinyayushaya dve tochki na sfere, – eto kratchaishee rasstoyanie mezhdu nimi; ona predstavlyaet soboi estestvennyi analog pryamoi na ploskosti.) Vyberem v kachestve etih dug uchastki meridianov, otlichayushihsya na 90° po dolgote, i ekvatora (ris. 1). Summa uglov etogo sfericheskogo treugol'nika ne ravna π – summe uglov treugol'nika na ploskosti:
| α+β+γ =1,5π. | (1) |
Prevyshenie summy uglov dannogo treugol'nika nad π mozhet byt' vyrazheno cherez ego ploshad' S i radius sfery R:
| α+β+γ-π =S/R 2. | (2) |
Eto sootnoshenie spravedlivo dlya lyubogo sfericheskogo treugol'nika. Obychnyi sluchai treugol'nika na ploskosti takzhe vytekaet iz etogo ravenstva: ploskost' mozhno rassmatrivat' kak sferu s R→∞. Esli perepisat' formulu (2) inache:
| K=1/R 2=[α+β+γ-π]/S, | (3) |
to vidno, chto radius sfery mozhno opredelit', ostavayas' na nei, ne obrashayas' k trehmernomu prostranstvu, v kotoroe ona pogruzhena. Dlya etogo dostatochno izmerit' ploshad' sfericheskogo treugol'nika i summu ego uglov. Inymi slovami, R ili K yavlyayutsya vnutrennei harakteristikoi sfery. Velichinu K prinyato nazyvat' gaussovoi kriviznoi, ona estestvennym obrazom obobshaetsya na proizvol'nuyu gladkuyu poverhnost':
| K(x)=limS→∞[α+β+γ-π]/S. | (4) |
Zdes' ugly i ploshad' otnosyatsya k malomu treugol'niku na poverhnosti, ogranichennomu liniyami kratchaishih rasstoyanii na nei, a krivizna, voobshe govorya, menyaetsya ot tochki k tochke, to est' yavlyaetsya velichinoi lokal'noi. V obshem sluchae, tak zhe kak i dlya sfery, parametr K sluzhit vnutrennei harakteristikoi poverhnosti, ne zavisyashei ot ee pogruzheniya v trehmernoe prostranstvo. Gaussova krivizna ne menyaetsya pri izgibanii poverhnosti bez ee razryva i rastyazheniya. Tak, naprimer, konus ili cilindr mozhno razognut' v ploskost', i poetomu dlya nih, tak zhe kak dlya ploskosti, K=0.
Esli vzyat' na polyuse (ris. 1) vektor, napravlennyi vdol' odnogo iz meridianov, perenesti ego vdol' etogo meridiana, ne menyaya ugla mezhdu nimi (v dannom sluchae nulevogo), na ekvator, dalee, perenesti ego vdol' ekvatora, snova ne menyaya ugla mezhdu nimi (na sei raz π/2), na vtoroi meridian, nakonec takim zhe obrazom vernut'sya vdol' vtorogo meridiana na polyus, to v otlichie ot takogo zhe perenosa po zamknutomu konturu na ploskosti vektor okazhetsya povernutym otnositel'no svoego ishodnogo napravleniya na π/2 ili na
| α+β+γ-π =KS. | (5) |
Etot rezul'tat – povorot vektora pri ego perenose vdol' zamknutogo kontura na ugol, proporcional'nyi ohvachennoi ploshadi, – estestvennym obrazom obobshaetsya ne tol'ko na proizvol'nuyu dvumernuyu poverhnost', no i na mnogomernye neevklidovy prostranstva. Odnako v obshem sluchae n-mernogo prostranstva krivizna ne svoditsya k odnoi skalyarnoi velichine K(x) . Eto bolee slozhnyi geometricheskii ob'ekt, imeyushii n2(n2-1)/12 komponent. Ego nazyvayut tenzorom krivizny ili tenzorom Rimana, a sami eti prostranstva – rimanovymi. V chetyrehmernom rimanovom prostranstve-vremeni obshei teorii otnositel'nosti tenzor krivizny imeet 20 komponent.
3. Klassicheskie opyty po proverke OTO
V nachale predydushego razdela uzhe otmechalos', chto gravitacionnoe pole vliyaet na dvizhenie ne tol'ko massivnyh tel, no i sveta. V chastnosti, foton, rasprostranyayas' v pole Zemli vverh, sovershaet rabotu protiv sily tyazhesti i poetomu teryaet energiyu (sm., odnako, rabotu [6]). Kak izvestno, energiya fotona proporcional'na ego chastote, kotoraya tozhe padaet. Etot effekt – krasnoe smeshenie – byl predskazan Einshteinom eshe v 1907 godu. Netrudno ocenit' ego velichinu. Rabota protiv sily tyazhesti, ochevidno, proporcional'na gh, gde g – uskorenie svobodnogo padeniya, a h – vysota pod'ema. Proizvedenie gh imeet razmernost' kvadrata skorosti. Poetomu rezul'tat dlya otnositel'nogo smesheniya chastoty iz soobrazhenii razmernosti takov:
| δω/ω=gh/c2, | (6) |
gde c – skorost' sveta. Pri g ≈10 m/s2, h≈10 m otnositel'noe smeshenie nichtozhno malo: ~10-15. Neudivitel'no, chto eksperimental'no krasnoe smeshenie udalos' nablyudat' lish' spustya polveka, s poyavleniem tehniki, ispol'zuyushei effekt Mëssbauera.
Eshe odin effekt, predskazannyi Einshteinom na zare OTO, – otklonenie lucha sveta v pole Solnca. Ego velichina ocenivaetsya sleduyushim obrazom. Esli harakternoe, pricel'noe rasstoyanie lucha ot Solnca ravno ρ, to radial'noe uskorenie sostavlyaet GM/ρ2, gde G – n'yutonovskaya gravitacionnaya postoyannaya, a M – massa Solnca. Za harakternoe vremya proleta ρ/c radial'naya komponenta skorosti fotona izmenitsya na GM/(ρc) i sootvetstvenno ugol otkloneniya sostavit
| rg =2GM/c2. | (7) |
Naivnoe ispol'zovanie poluklassicheskih soobrazhenii deistvitel'no privodit k otvetu
| θ=2rg /ρ. | (8) |
Gravitacionnyi radius Solnca rg ≈3 km, a pricel'nyi parametr estestvenno sdelat' kak mozhno blizhe k obychnomu radiusu Solnca, kotoryi sostavlyaet 7·108 m. Takim obrazom, dlya lucha sveta, prohodyashego vblizi poverhnosti Solnca, ugol otkloneniya sostavlyaet 1″,75. Izmereniya, provedennye gruppoi A.S. Eddingtona vo vremya solnechnogo zatmeniya 1919 goda, podtverdili poslednee predskazanie.
K chislu klassicheskih testov OTO otnositsya takzhe vrashenie perigeliya orbity Merkuriya. Zamknutye ellipticheskie orbity – eto specifika nerelyativistskogo dvizheniya v prityagivayushem potenciale 1/r. Neudivitel'no, chto v OTO orbity planet nezamknuty. Malyi effekt takogo roda udobno opisyvat' kak vrashenie perigeliya ellipticheskoi orbity. Zadolgo do poyavleniya OTO astronomy znali, chto perigelii orbity Merkuriya povorachivaetsya za stoletie primerno na 6000″. Povorot etot v osnovnom ob'yasnyalsya gravitacionnymi vozmusheniyami dvizheniya Merkuriya so storony drugih planet Solnechnoi sistemy. Ostavalsya, odnako, neustranimyi ostatok – okolo 40″, v stoletie. V 1915 godu Einshtein ob'yasnil eto rashozhdenie v ramkah OTO.
Iz prostyh soobrazhenii razmernosti mozhno ozhidat', chto povorot perigeliya za odin oborot sostavlyaet
| δ=3π rg /R . | (9) |
Pri radiuse orbity Merkuriya R≈0,6·1010 m eto daet 43″ v stoletie, snimaya takim obrazom sushestvovavshee rashozhdenie. Merkurii – eto planeta, blizhaishaya k Solncu, planeta s naimen'shim radiusom orbity R, poetomu vrashenie perigeliya orbity u nee maksimal'no.
4. Chernye dyry
Rol' OTO otnyud' ne svoditsya k issledovaniyu malyh popravok k obychnoi n'yutonovskoi gravitacii. Sushestvuyut ob'ekty, nazyvaemye chernymi dyrami, v kotoryh effekty OTO igrayut klyuchevuyu rol'. Eto kompaktnye zvezdy.
Eshe v XVIII veke Dzh. Mitchel i P.S. Laplas nezavisimo zametili, chto mogut sushestvovat' zvezdy, obladayushie neobychnym svoistvom: svet ne mozhet pokinut' ih poverhnost'. Rassuzhdenie vyglyadelo primerno tak. Telo, obladayushee radial'noi skorost'yu V , mozhet pokinut' poverhnost' zvezdy radiusa R i massy M pri uslovii, chto kineticheskaya energiya etogo tela mV 2/2 prevyshaet energiyu prityazheniya GMm/R, to est' pri V 2>2GM/R. Primenenie poslednego neravenstva k svetu (chto sovershenno neobosnovanno) privodit k vyvodu: esli radius zvezdy massy M men'she chem rg,
Chernaya dyra – vpolne estestvennoe nazvanie dlya takogo ob'ekta. Svoistva ego ves'ma neobychny. Chernaya dyra voznikaet, kogda zvezda szhimaetsya nastol'ko sil'no, chto usilivayusheesya gravitacionnoe pole ne vypuskaet vo vneshnee prostranstvo nichego, dazhe svet. Poetomu iz chernoi dyry ne vyhodit nikakaya informaciya.
Pri padenii probnogo tela na chernuyu dyru po chasam beskonechno udalennogo nablyudatelya ono budet dostigat' gravitacionnogo radiusa beskonechno dolgo. Odnako po chasam, ustanovlennym na samom probnom tele, vremya etogo puteshestviya vpolne konechno.
Mnogochislennye rezul'taty astronomicheskih nablyudenii dayut ser'eznye osnovaniya polagat', chto chernye dyry – eto ne prosto igra uma fizikov-teoretikov, a real'nye ob'ekty, sushestvuyushie, po krainei mere, v yadrah galaktik. Podrobnee o problemah, svyazannyh s chernymi dyrami, mozhno uznat' iz statei A.M. Cherepashuka "Chernye dyry v dvoinyh zvezdnyh sistemah" i D.A. Kirzhnica "Goryachie chernye dyry" v etom tome.
5. Pul'sar PSR 1913+16 i gravitacionnye volny
Nobelevskaya premiya po fizike za 1993 god byla prisuzhdena R.A. Halsu i Dzh.G. Teiloru za issledovanie pul'sara PSR 1913+16 (PSR oznachaet pul'sar, a cifry otnosyatsya k koordinatam na nebesnoi sfere: pryamoe voshozhdenie 19h13m, sklonenie 16°). Issledovanie svoistv izlucheniya etogo pul'sara pokazalo, chto on yavlyaetsya komponentoi dvoinoi zvezdy, inymi slovami, u nego est' kompan'on i obe zvezdy vrashayutsya vokrug obshego centra mass. Rasstoyanie mezhdu pul'sarom i ego kompan'onom sostavlyaet vsego 1,8·109 m. Esli by nevidimyi kompan'on byl obychnoi zvezdoi s harakternym radiusom ~109 m, to nablyudalis' by, ochevidno, zatmeniya pul'sara. Odnako nichego podobnogo ne proishodit. Podrobnyi analiz nablyudenii pokazal, chto nevidimaya komponenta – eto ne chto inoe, kak neitronnaya zvezda. Inymi slovami, sistema PSR 1913+16 sostoit iz dvuh neitronnyh zvezd, odna iz kotoryh imeet sil'noe ( ~1012 Gs) magnitnoe pole, to est' yavlyaetsya pul'sarom.
Sushestvovanie neitronnyh zvezd bylo predskazano teoreticheski eshe v 30-e gody. Oni obrazuyutsya v rezul'tate burnogo gravitacionnogo szhatiya massivnyh zvezd, soprovozhdayushegosya vzryvom sverhnovyh. Posle vzryva davlenie v ostavshemsya yadre massivnoi zvezdy prodolzhaet narastat', elektrony s protonami slivayutsya (s ispuskaniem neitrino) v neitrony. Obrazuetsya ochen' plotnaya zvezda s massoi, neskol'ko bol'shei massy Solnca, no ochen' malogo razmera, poryadka 10-15 kilometrov, ne prevyshayushego razmer asteroida. Nablyudenie neitronnyh zvezd uzhe samo po sebe yavlyaetsya vydayushimsya otkrytiem. Krome togo, tshatel'noe issledovanie dvizheniya dvoinoi zvezdy PSR 1913+16 dalo novoe podtverzhdenie predskazaniya OTO, kasayushegosya nezamknutosti ellipticheskih orbit. Poskol'ku gravitacionnye polya v dannoi sisteme ochen' veliki, periastr orbity vrashaetsya nesravnenno bystree, chem perigelii orbity Merkuriya, on povorachivaetsya na 4°,2 v god. Izuchenie etogo i drugih effektov pozvolilo takzhe opredelit' s vysokoi tochnost'yu massu pul'sara i neitronnoi zvezdy. Oni ravny sootvetstvenno 1,442 i 1,386Mʘ.
V 1918 godu Einshtein predskazal na osnove OTO sushestvovanie gravitacionnogo izlucheniya. Horosho izvestno, chto elektricheski zaryazhennye chasticy, buduchi uskorennymi, izluchayut elektromagnitnye volny. Analogichno, massivnye tela, dvigayas' s uskoreniem, izluchayut gravitacionnye volny – ryab' geometrii prostranstva, rasprostranyayushuyusya tozhe so skorost'yu sveta. Analogiya eta nepolna (vprochem, kak prakticheski i vsyakaya inaya). Odno iz otlichii mezhdu elektromagnitnymi i gravitacionnymi volnami, imeyushee dovol'no sushestvennyi harakter, sostoit v sleduyushem. V otlichie ot sluchaya elektromagnitnogo polya plotnost' energii gravitacionnogo polya, gravitacionnoi volny lokal'na: v dannoi tochke ee vsegda mozhno obratit' v nul' vyborom sootvetstvuyushei sistemy koordinat. Let 60-70 nazad eto obstoyatel'stvo rassmatrivalos' kak ser'eznaya trudnost' teorii. Zatem, odnako, smysl ego byl proyasnen i problema snyata. V poslednie gody vnov' poyavilis' utverzhdeniya o tom, chto vozmozhnost' obrasheniya v nul' lokal'noi plotnosti energii gravitacionnogo polya yavlyaetsya korennym, principial'nym defektom OTO.
Na samom zhe dele nichego strashnogo v etom net. Dannyi vyvod yavlyaetsya pryamym sledstviem principa ekvivale